Най-важното от урока
Център на външновписана окръжност: Пресечна точка на 1 вътрешна и 2 външни ъглополовящи.
Брой: Всеки триъгълник има 3 външновписани окръжности.
Перпендикулярност: Ъглополовящата на вътрешен ъгъл и на съседния му външен ъгъл са перпендикулярни.
Ъгъл при центъра \(O_a\): \(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).
Разстояние между допирни точки (на страна \(a\)): \(MN = |b-c|\).
Брой: Всеки триъгълник има 3 външновписани окръжности.
Перпендикулярност: Ъглополовящата на вътрешен ъгъл и на съседния му външен ъгъл са перпендикулярни.
Ъгъл при центъра \(O_a\): \(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).
Разстояние между допирни точки (на страна \(a\)): \(MN = |b-c|\).
Окръжност, която се допира до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите две, се нарича външновписана окръжност.
Центърът на външновписана окръжност е пресечната точка на ъглополовящата на вътрешния ъгъл при единия връх и ъглополовящите на външните ъгли при другите два върха.
За \(\triangle ABC\), центърът \(O_a\) на външновписаната окръжност към страната BC е пресечната точка на ъглополовящата на \(\angle BAC\) и ъглополовящите на външните ъгли при върховете B и C.
Всеки триъгълник има ли три външновписани окръжности?
Отговор: Да, всеки триъгълник има точно три външновписани окръжности, по една за всяка негова страна.
Ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълник е перпендикулярна на ъглополовящата на съседния му външен ъгъл.
Ако O е център на вписаната, а \(O_a\) е център на външновписаната окръжност към страната BC, то:
\[ \angle OBO_a = 90^\circ \] \[ \angle OCO_a = 90^\circ \]
\[ \angle OBO_a = 90^\circ \] \[ \angle OCO_a = 90^\circ \]
Ъгълът, под който се вижда страната BC от центъра на външновписаната окръжност \(O_a\), е:
\[ \angle BO_aC = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2} \]
Ако в \(\triangle ABC\) имаме \(\angle BAC = 80^\circ\), то ъгълът при центъра на външновписаната окръжност към страната BC ще бъде \(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
В \(\triangle PQR\), \(\angle PQR = 70^\circ\). Ако О е центърът на вписаната окръжност, а \(O_b\) е центърът на външновписаната окръжност към страната PR, какъв е \(\angle QBO_b\)?
Отговор: Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при връх Q са перпендикулярни, следователно \(\angle QBO_b = 90^\circ\).
Разстоянието между допирните точки на вписаната и външновписаната окръжност до една и съща страна на триъгълника е равно на разликата в дължините на другите две страни.
Ако \(M\) и \(N\) са допирните точки съответно на вписаната и външновписаната окръжност до страната \(a=BC\), а другите две страни са \(b=AC\) и \(c=AB\), то:
\[ MN = |c - b| \]
В \(\triangle ABC\) страните са \(AB=10\) cm, \(AC=7\) cm и \(BC=9\) cm. Разстоянието между допирните точки на вписаната и външновписаната окръжност до страната BC е \(|AB - AC| = |10 - 7| = 3\) cm.
В \(\triangle XYZ\) страните са \(XY=15\) cm, \(YZ=13\) cm, \(XZ=11\) cm. Намерете разстоянието между допирните точки на вписаната и външновписаната окръжност до страната YZ.
Страната е YZ. Другите две страни са XY = 15 cm и XZ = 11 cm.
Разстоянието е \(|XY - XZ| = |15 - 11| = 4\) cm.
Разстоянието е \(|XY - XZ| = |15 - 11| = 4\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) е дадено, че \(\angle BAC = 64^\circ\). Намерете големината на \(\angle BO_aC\), където \(O_a\) е центърът на външновписаната окръжност към страната BC.
Прилагаме формулата \(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2}\).
\(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{64^\circ}{2} = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ\).
\(\angle BO_aC = 90^\circ - \frac{64^\circ}{2} = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ\).
Средна: Страните на триъгълник са 13 cm, 14 cm и 15 cm. Намерете разстоянието между допирните точки на вписаната и външновписаната окръжност до страната с дължина 14 cm.
Нека \(a=14\), \(b=13\), \(c=15\). Търсим разстоянието по страната \(a\).
Формулата е \(MN = |c - b|\).
\(MN = |15 - 13| = 2\) cm.
Формулата е \(MN = |c - b|\).
\(MN = |15 - 13| = 2\) cm.
Трудна: В \(\triangle ABC\) точка O е център на вписаната окръжност, а \(O_a\) е център на външновписаната към BC. Ако \(\angle BO_aC = 65^\circ\), намерете \(\angle BOC\).
Първо намираме \(\angle BAC = \alpha\) от формулата за \(\angle BO_aC\).
\(65^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 65^\circ \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 25^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ\).
Сега използваме формулата за \(\angle BOC\) (от темата за вписана окръжност): \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\).
\(\angle BOC = 90^\circ + \frac{50^\circ}{2} = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ\).
\(65^\circ = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - 65^\circ \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 25^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ\).
Сега използваме формулата за \(\angle BOC\) (от темата за вписана окръжност): \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\).
\(\angle BOC = 90^\circ + \frac{50^\circ}{2} = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ\).
