Най-важното от урока
Общи допирателни: Могат да бъдат външни (не пресичат централата \(O_1O_2\)) и вътрешни (пресичат централата).
Построяване на допирателна от точка: От външна точка \(M\) към \(k(O,r)\) се построява с помощта на окръжност с диаметър \(OM\).
Построяване на общи външни допирателни: Свежда се до построяване на допирателна от \(O_1\) към спомагателна окръжност с радиус \(r - r_1\).
Свойство: Допирните отсечки от външна точка до една окръжност са равни.
Построяване на допирателна от точка: От външна точка \(M\) към \(k(O,r)\) се построява с помощта на окръжност с диаметър \(OM\).
Построяване на общи външни допирателни: Свежда се до построяване на допирателна от \(O_1\) към спомагателна окръжност с радиус \(r - r_1\).
Свойство: Допирните отсечки от външна точка до една окръжност са равни.
Права, която се допира едновременно до две окръжности, се нарича обща допирателна.
Ако допирателната не пресича отсечката, свързваща центровете на окръжностите (\(O_1O_2\)), тя се нарича външна.
Ако допирателната пресича отсечката \(O_1O_2\), тя се нарича вътрешна.
Ако допирателната пресича отсечката \(O_1O_2\), тя се нарича вътрешна.
На фигурата правите \(t_1\) и \(t_2\) са общи външни допирателни, а \(t_3\) и \(t_4\) са общи вътрешни допирателни.
Дадени са две външни една за друга окръжности. Колко най-много общи допирателни могат да имат те?
Отговор: Най-много четири общи допирателни: две външни и две вътрешни.
Отсечките от външна точка \(M\) до допирните точки \(T_1\) и \(T_2\) с една окръжност са равни (\(MT_1 = MT_2\)).
Също така, правата \(OM\) е ъглополовяща на \(\angle T_1MT_2\).
Също така, правата \(OM\) е ъглополовяща на \(\angle T_1MT_2\).
Ако обща външна допирателна \(t\) и обща вътрешна допирателна \(l\) се пресичат в точка \(M\), то \(M\) е средата на отсечката от \(t\) между допирните точки. Това е така, защото \(M\) е външна точка и за двете окръжности и допирните отсечки от нея до всяка окръжност са равни.
Отсечката \(AB\) е част от обща външна допирателна към две окръжности (с допирни точки \(A\) и \(B\)). Дължината на \(AB\) е 20 cm. Обща вътрешна допирателна пресича \(AB\) в точка \(P\). Намерете дължината на \(PA\).
Отговор: Според свойството, точка \(P\) е среда на \(AB\). Следователно \(PA = AB / 2 = 20 / 2 = 10\) cm.
За да построим допирателна от външна точка \(M\) към окръжност \(k(O, r)\), търсим допирна точка \(T\) такава, че \(\angle OTM = 90^\circ\).
Намираме средата \(O_1\) на отсечката \(OM\).
Построяваме окръжност \(k_1\) с център \(O_1\) и диаметър \(OM\).
Пресечните точки на \(k\) и \(k_1\) са търсените допирни точки (\(T_1\) и \(T_2\)).
Правите \(MT_1\) и \(MT_2\) са допирателните.
Това построение се основава на теоремата на Талес, че всеки ъгъл, вписан в полуокръжност, е прав.
Дадена е окръжност \(k(O; 5 \text{ cm})\) и точка \(M\), такава че \(OM = 13 \text{ cm}\). Намерете дължината на допирната отсечка \(MT\).
Триъгълник \(\triangle OTM\) е правоъгълен с хипотенуза \(OM\). От Питагорова теорема:
\[ MT^2 = OM^2 - OT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \]
\[ MT = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]
Задачата за построяване на общи външни допирателни към \(k(O,r)\) и \(k_1(O_1,r_1)\) (при \(r > r_1\)) се свежда до построяване на допирателна от \(O_1\) към спомагателна окръжност.
Построяваме спомагателна окръжност \(k_2\) с център \(O\) и радиус \(R = r - r_1\).
Построяваме допирателна от точка \(O_1\) към \(k_2\). Нека допирната точка е \(M\).
През \(O\) и \(M\) построяваме лъч, който пресича окръжността \(k\) в точка \(T\).
Построяваме права \(t\) през \(T\), успоредна на \(O_1M\). Правата \(t\) е търсената допирателна.
Дадени са \(k(O; 8 \text{ cm})\) и \(k_1(O_1; 3 \text{ cm})\). Какъв е радиусът на спомагателната окръжност, която се използва за построяване на общите им външни допирателни?
Отговор: Радиусът е \(R = r - r_1 = 8 - 3 = 5\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: От точка \(P\) са построени две допирателни към окръжност \(k\). Разстоянието от \(P\) до едната допирна точка е 7 cm. Колко е разстоянието от \(P\) до другата допирна точка?
Според свойството на допирателните отсечки от външна точка, разстоянията са равни.
Отговор: 7 cm.
Отговор: 7 cm.
Средна: Дадени са две окръжности \(k(O; 9)\) и \(k_1(O_1; 4)\). Разстоянието между центровете им \(OO_1=13\). Намерете дължината на отсечката от общата им външна допирателна, заключена между допирните точки.
Нека допирните точки са \(T \in k\) и \(T_1 \in k_1\). Построяваме права през \(O_1\), успоредна на \(TT_1\), която пресича радиуса \(OT\) в точка \(P\). Четириъгълникът \(TT_1O_1P\) е правоъгълник, следователно \(TT_1 = PO_1\). В правоъгълния \(\triangle OPO_1\) имаме:
\(PO_1 = \sqrt{144} = 12\).
Отговор: Дължината на отсечката е 12.
- Хипотенуза \(OO_1 = 13\).
- Катет \(OP = OT - PT = r - r_1 = 9 - 4 = 5\).
- Катет \(PO_1\) е търсената дължина.
\(PO_1 = \sqrt{144} = 12\).
Отговор: Дължината на отсечката е 12.
Трудна: Да се построят общите вътрешни допирателни на две окръжности \(k(O,r)\) и \(k_1(O_1,r_1)\). (Упътване: Методът е аналогичен на този за външни допирателни).
Задачата се свежда до построяване на допирателна от \(O_1\) към спомагателна окръжност \(k_2\), но този път с радиус \(R = r + r_1\).
- Построяваме спомагателна окръжност \(k_2(O; R = r+r_1)\).
- Построяваме допирателна от \(O_1\) до \(k_2\), нека допирната точка е \(M\).
- Правата \(OM\) пресича окръжността \(k\) в точка \(T\).
- Търсената допирателна \(t\) минава през \(T\) и е успоредна на \(O_1M\).
