50. Окръжност Взаимни Положения На Точка И Окръжност Взаимни Положения На Права И Окръжност

Стъпка 1: Начертаване на окръжността

Започваме с построяването на дадената окръжност.
Поставете точка \( O \) в центъра на чертежа, например при координати \((0,0)\). Начертайте окръжност с център \( O \) и радиус \( r \), като за целите на чертежа изберете радиус от 3 единици. Означете точката \( O \) и самата окръжност с обозначението \( k(O; r) \).

а) точки \( M, N \) и \( P \), лежащи на окръжността

Стъпка 2: Построяване на точки върху окръжността

Точките, които лежат на окръжността, се намират на разстояние точно равно на радиуса \( r \) от центъра \( O \).
Върху окръжността \( k(O; r) \), начертана в предходната стъпка, изберете три различни произволни точки. Разположете ги на различни места по контура на окръжността, за да бъдат ясно различими. Означете тези точки съответно с буквите \( M, N \) и \( P \).

б) точки \( K \) и \( L \), вътрешни за окръжността

Стъпка 3: Построяване на вътрешни точки

Точките, които са вътрешни за окръжността, се намират на разстояние от центъра \( O \), което е по-малко от радиуса \( r \) (\( OK < r \) и \( OL < r \)).
Отбележете две произволни, ясно различими точки строго във вътрешността на вече начертаната окръжност \( k(O; r) \). Уверете се, че те са различни от центъра \( O \) и от точките \( M, N, P \) лежащи на окръжността. Означете тези вътрешни точки с \( K \) и \( L \).

в) точки \( D \) и \( E \), външни за окръжността

Стъпка 4: Построяване на външни точки

Точките, които са външни за окръжността, се намират на разстояние от центъра \( O \), което е по-голямо от радиуса \( r \) (\( OD > r \) и \( OE > r \)).
Начертайте две произволни точки извън окръжността \( k(O; r) \), така че да са ясно различими и разположени на различни места около окръжността. Означете тези точки съответно с \( D \) и \( E \).

г) диаметър, единият край на който е точка \( M \)

Стъпка 5: Построяване на диаметър

Диаметърът е хорда, която минава през центъра на окръжността. За да построим диаметър с край точка \( M \), трябва да свържем \( M \) с центъра \( O \) и да продължим правата до пресичането ѝ с окръжността.
Начертайте права отсечка, която започва от точка \( M \) (която е вече поставена на окръжността). Тази отсечка трябва прецизно да премине през центъра \( O \) на окръжността. Продължете отсечката отвъд центъра \( O \), докато тя пресече окръжността отново в противоположната страна спрямо точка \( M \). Означете тази втора пресечна точка с \( M_1 \). Цялата отсечка \( MM_1 \) представлява търсеният диаметър на окръжността.

д) две хорди, минаващи съответно през точките \( P \) и \( K \)

Стъпка 6: Построяване на хорда през точка \( P \)

Хордата е отсечка, свързваща две точки от окръжността. Тъй като \( P \) вече лежи на окръжността, е нужно да изберем само още една точка върху нея.
Върху вече начертаната окръжност \( k(O; r) \), изберете произволна точка, различна от \( P \), и я означете с \( P_1 \). Начертайте права отсечка, която свързва точка \( P \) с точка \( P_1 \). Тази отсечка \( PP_1 \) е хордата, минаваща през \( P \).

Стъпка 7: Построяване на хорда през точка \( K \)

Точка \( K \) е вътрешна за окръжността. За да построим хорда през нея, трябва да прекараме права, която минава през \( K \) и пресича окръжността в две точки.
В контекста на вече начертаната окръжност \( k(O; r) \) с център \( O \) и вътрешна точка \( K \), прекарайте произволна права линия през точка \( K \). Тази права трябва да пресича окръжността на две различни места. Означете тези две пресечни точки като \( A \) и \( B \). Отсечката \( AB \) е търсената хорда, минаваща през точка \( K \), и следва да бъде изобразена като права линия, свързваща \( A \) и \( B \).

а)

\( M, N, P \in k \)

б)

\( OK < r \Rightarrow K \) е вътрешна \( OL < r \Rightarrow L \) е вътрешна

в)

\( OD > r \Rightarrow D \) е външна \( OE > r \Rightarrow E \) е външна

г)

Диаметър \( MM_1 \) (\( O \in MM_1, M_1 \in k \))

д)

Хорда \( PP_1 \) (\( P_1 \in k \)) Хорда \( AB \), минаваща през \( K \) (\( A, B \in k \))