Най-важното от урока
Симетрична фигура: Фигура, която се изобразява в себе си при осева симетрия. Правата се нарича ос на симетрия. Пример: квадратът е симетричен спрямо диагоналите си.
Построяване на образ: За да построим симетричен образ на фигура, построяваме симетричните образи на нейните основни точки (върхове, краища). Пример: за да намерим симетричен триъгълник, намираме образите на трите му върха.
Оси на симетрия:
Построяване на образ: За да построим симетричен образ на фигура, построяваме симетричните образи на нейните основни точки (върхове, краища). Пример: за да намерим симетричен триъгълник, намираме образите на трите му върха.
Оси на симетрия:
- Правоъгълник: 2 оси
- Квадрат: 4 оси
- Ромб: 2 оси
- Окръжност: безброй оси
За да намерим симетричния образ на геометрична фигура, е достатъчно да намерим симетричните образи на нейните основни (определящи) точки.
- За отсечка: намираме образите на двата ѝ края.
- За многоъгълник (триъгълник, квадрат и др.): намираме образите на всичките му върхове.
- За окръжност: намираме образа на центъра ѝ (радиусът остава същият).
За да построим симетричния образ \( \triangle A'B'C' \) на \( \triangle ABC \) спрямо ос \( g \), построяваме симетричните точки \( A' \), \( B' \) и \( C' \) на върховете \( A \), \( B \) и \( C \). След това ги свързваме.
Как ще намерите образа на лъч \( OM^\rightarrow \) при осева симетрия спрямо ос \( g \)?
Ще намерим симетричната точка \( O' \) на началото \( O \) и симетричната точка \( M' \) на друга точка \( M \) от лъча. Симетричният образ е лъчът \( O'M'^\rightarrow \).
Една фигура се нарича симетрична, ако съществува права \( g \), наречена ос на симетрия, такава че симетричният образ на фигурата спрямо \( g \) съвпада със самата фигура.
Можем да си го представим така: ако сгънем листа по оста на симетрия, двете половини на фигурата ще съвпаднат напълно.
Равнобедреният триъгълник е симетрична фигура. Неговата ос на симетрия е височината (и съответно медианата и ъглополовящата) към основата му.
Симетрична фигура ли е ъгълът? Ако да, коя е неговата ос на симетрия?
Да, ъгълът е симетрична фигура. Неговата ос на симетрия е ъглополовящата му.
Много от основните геометрични фигури са симетрични и могат да имат една или повече оси на симетрия.
- Равнобедрен триъгълник: 1 ос на симетрия.
- Равностранен триъгълник: 3 оси на симетрия.
- Правоъгълник: 2 оси на симетрия (правите през средите на срещуположните страни).
- Ромб: 2 оси на симетрия (правите, на които лежат диагоналите).
- Квадрат: 4 оси на симетрия.
- Окръжност: Безброй много оси на симетрия (всяка права през центъра).
Квадратът има 4 оси на симетрия: двете прави, които минават през средите на срещуположните страни, и двете прави, на които лежат диагоналите му.
Колко оси на симетрия има отсечката?
Отсечката има две оси на симетрия: правата, на която лежи самата отсечка, и нейната симетрала.
Задачи за упражнение
Лесна: Колко оси на симетрия има правоъгълник, който не е квадрат?
Правоъгълникът има 2 оси на симетрия. Това са правите, които свързват средите на срещуположните му страни. Диагоналите не са оси на симетрия.
Средна: Един триъгълник е симетричен. Какъв може да бъде този триъгълник?
Ако един триъгълник е симетричен, той трябва да има поне две равни страни. Следователно той е най-малкото равнобедрен. Ако има 3 оси на симетрия, той е равностранен.
Отговор: Триъгълникът е равнобедрен или равностранен.
Отговор: Триъгълникът е равнобедрен или равностранен.
Трудна: Даден е \( \triangle ABC \), за който \( \angle BAC = 30^\circ \) и \( \angle ABC = 50^\circ \). Построен е симетричният му \( \triangle AB_1C \) спрямо правата \( AC \). Намерете ъглите на \( \triangle BB_1C \).
От осевата симетрия следва, че \( CB = CB_1 \) и \( AB = AB_1 \). Също \( \angle BAC = \angle B_1AC = 30^\circ \).
Тогава \( \triangle CBB_1 \) е равнобедрен (\( CB=CB_1 \)).
Ъгълът при върха \( C \) на този триъгълник е \( \angle BCB_1 \).
В \( \triangle ABC \): \( \angle ACB = 180^\circ - (30^\circ + 50^\circ) = 100^\circ \).
От симетрията: \( \angle ACB = \angle ACB_1 = 100^\circ \).
Тогава \( \angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 100^\circ + 100^\circ = 200^\circ \). Това не е възможно. Означава, че точка А е между B и B1. Нека проверим. \( \angle BCB_1 = |\angle ACB_1 - \angle ACB| \). Но точките B и B1 са от различни страни на AC. Следователно \( \angle BCB_1 = \angle BCA + \angle B_1CA \).
Да разгледаме \( \triangle ABB_1 \). Той е равнобедрен (\( AB = AB_1 \)). Ъгълът при върха \( A \) е \( \angle BAB_1 = \angle BAC + \angle CAB_1 = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \).
Равнобедрен триъгълник с ъгъл \( 60^\circ \) е равностранен. Значи \( AB = AB_1 = BB_1 \).
В \( \triangle CBB_1 \) знаем, че е равнобедрен (\( CB=CB_1 \)).
Нека намерим ъглите при основата \( BB_1 \). \( \angle CBB_1 = \angle CB_1B \).
В \( \triangle ABC \), по Синусова теорема (или друг метод) можем да намерим страните. Но това е извън материала.
Нека се върнем към ъглите.
\( \angle AB_1C = \angle ABC = 50^\circ \).
В \( \triangle ABB_1 \), \( \angle ABB_1 = \angle AB_1B = 60^\circ \).
Следователно, \( \angle CBB_1 = \angle ABB_1 - \angle ABC = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ \).
Тъй като \( \triangle CBB_1 \) е равнобедрен, \( \angle CB_1B = \angle CBB_1 = 10^\circ \).
Третият ъгъл е \( \angle BCB_1 = 180^\circ - (10^\circ + 10^\circ) = 160^\circ \).
Отговор: Ъглите на \( \triangle BB_1C \) са \( 10^\circ, 10^\circ \) и \( 160^\circ \).
Тогава \( \triangle CBB_1 \) е равнобедрен (\( CB=CB_1 \)).
Ъгълът при върха \( C \) на този триъгълник е \( \angle BCB_1 \).
В \( \triangle ABC \): \( \angle ACB = 180^\circ - (30^\circ + 50^\circ) = 100^\circ \).
От симетрията: \( \angle ACB = \angle ACB_1 = 100^\circ \).
Тогава \( \angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 100^\circ + 100^\circ = 200^\circ \). Това не е възможно. Означава, че точка А е между B и B1. Нека проверим. \( \angle BCB_1 = |\angle ACB_1 - \angle ACB| \). Но точките B и B1 са от различни страни на AC. Следователно \( \angle BCB_1 = \angle BCA + \angle B_1CA \).
Да разгледаме \( \triangle ABB_1 \). Той е равнобедрен (\( AB = AB_1 \)). Ъгълът при върха \( A \) е \( \angle BAB_1 = \angle BAC + \angle CAB_1 = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \).
Равнобедрен триъгълник с ъгъл \( 60^\circ \) е равностранен. Значи \( AB = AB_1 = BB_1 \).
В \( \triangle CBB_1 \) знаем, че е равнобедрен (\( CB=CB_1 \)).
Нека намерим ъглите при основата \( BB_1 \). \( \angle CBB_1 = \angle CB_1B \).
В \( \triangle ABC \), по Синусова теорема (или друг метод) можем да намерим страните. Но това е извън материала.
Нека се върнем към ъглите.
\( \angle AB_1C = \angle ABC = 50^\circ \).
В \( \triangle ABB_1 \), \( \angle ABB_1 = \angle AB_1B = 60^\circ \).
Следователно, \( \angle CBB_1 = \angle ABB_1 - \angle ABC = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ \).
Тъй като \( \triangle CBB_1 \) е равнобедрен, \( \angle CB_1B = \angle CBB_1 = 10^\circ \).
Третият ъгъл е \( \angle BCB_1 = 180^\circ - (10^\circ + 10^\circ) = 160^\circ \).
Отговор: Ъглите на \( \triangle BB_1C \) са \( 10^\circ, 10^\circ \) и \( 160^\circ \).
