Най-важното от урока
Обобщение на ключовите формули и свойства:
- Средна отсечка в триъгълник: \(MN \parallel AB\), \(MN = \frac{1}{2}AB\).
- Медицентър (\(G\)): дели медианите в отношение \(2:1\) от върха (\(AG = \frac{2}{3}m_a\)); разделя лицето на три равни части по \(\frac{1}{3}S\) и шест по \(\frac{1}{6}S\); \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC} = \vec{0}\).
- Средна отсечка на трапец: \(m = \frac{a+b}{2}\); част между диагоналите \(PQ = \frac{a-b}{2}\); лице \(S = m \cdot h\).
- Проекция при равнобедрен трапец: отсечка \(x = \frac{a-b}{2}\), по-голяма част от основата \(y = \frac{a+b}{2} = m\).
- Описана окръжност (\(O\)): пресечна точка на симетралите; за \(\angle C = 90^\circ \implies R = \frac{c}{2}\) (среда на хипотенузата).
- Вписана окръжност (\(I\)): пресечна точка на ъглополовящите; \(S = p \cdot r\); допирателни отсечки \(p-a, p-b, p-c\); за \(\angle C = 90^\circ \implies r = \frac{a+b-c}{2} = p-c\).
- Права на Ойлер: ортоцентърът \(H\), медицентърът \(M\) и описаният център \(O\) са колинеарни с отношение \(HM : MO = 2 : 1\).
- Вписан четириъгълник: \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\) (вписан успоредник е правоъгълник, вписан трапец е равнобедрен).
- Описан четириъгълник: \(a + c = b + d\) (Теорема на Пито); за трапец \(h = 2r\) и \(m = c\) (при равнобедрен).
Средна отсечка в триъгълник е отсечка, която съединява средите на две от страните му. Всеки триъгълник има точно три средни отсечки.
Теорема 1 (Свойство): Средната отсечка в триъгълник е успоредна на третата страна и дължината ѝ е равна на половината от нейната дължина:
\[ MN \parallel AB \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2}AB \]
Векторен запис: \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}\)
Теорема 2 (Обратна теорема): Права, която минава през средата на една страна на триъгълник и е успоредна на друга негова страна, разполовява третата страна.
Теорема на Вариньон: Средите на страните на всеки четириъгълник са върхове на успоредник, чиито страни са успоредни на диагоналите на четириъгълника и са равни на половината от техните дължини.
Ако страните на \(\triangle ABC\) са \(10\text{ cm}\), \(12\text{ cm}\) и \(14\text{ cm}\), то триъгълникът, образуван от трите средни отсечки, има страни \(5\text{ cm}\), \(6\text{ cm}\) и \(7\text{ cm}\), а периметърът му е равен на половината от периметъра на \(\triangle ABC\):
\[ P_{mnl} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\text{ cm} \]
В \(\triangle ABC\) със страна \(AB = 16\text{ cm}\), точките \(M\) и \(N\) са среди съответно на \(AC\) и \(BC\). Намерете дължината на \(MN\).
Отсечката \(MN\) е средна отсечка срещу страната \(AB\). По теоремата за средна отсечка:
\[ MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\text{ cm} \]
Медицентър (център на тежестта, бележи се с \(M\) или \(G\)) е пресечната точка на трите медиани на триъгълника. Той винаги лежи във вътрешността на триъгълника.
Медицентърът дели всяка медиана в отношение \(2:1\), считано от съответния връх:
\[ \frac{AG}{GA_1} = \frac{BG}{GB_1} = \frac{CG}{GC_1} = \frac{2}{1} \]
От това следва, че:
\[ AG = \frac{2}{3}AA_1, \quad GA_1 = \frac{1}{3}AA_1 \]
Свойства на лицата:
- Трите медиани разделят триъгълника на \(6\) по-малки триъгълника с равни лица, всяко равно на \(\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}\).
- Отсечките, съединяващи медицентъра с трите върха, разделят триъгълника на \(3\) равнолицеви триъгълника: \[ S_{\triangle ABG} = S_{\triangle BCG} = S_{\triangle CAG} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \]
- Разстоянието от медицентъра до коя да е страна е равно на \(\frac{1}{3}\) от височината към тази страна: \(h_g = \frac{1}{3}h_c\).
Векторни свойства:
\[ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \]
\[ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) \quad \text{(за произволна точка } O\text{)} \]
\[ \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0} \]
В правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c = 18\text{ cm}\), медианата към хипотенузата е \(CM\), а \(G\) е медицентърът. Намерете дължините на \(CM\) и \(CG\).
1. В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от нея:
\[ CM = \frac{c}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm} \]
2. Медицентърът дели медианата в отношение \(2:1\), считано от върха:
\[ CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\text{ cm} \]
Трапец е четириъгълник, на който точно една двойка срещуположни страни са успоредни (основи \(AB \parallel CD\), бедра \(AD\) и \(BC\)).
Сборът от прилежащите към всяко бедро ъгли е \(180^\circ\):
\[ \angle A + \angle D = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ \]
Равнобедрен трапец (\(AD = BC\)):
- Ъглите при всяка от основите са равни (\(\angle A = \angle B\), \(\angle D = \angle C\)).
- Диагоналите са равни (\(AC = BD\)) и сключват равни ъгли с основите.
- Сборът на срещулежащите ъгли е \(180^\circ\) (\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)).
- Симетралата на голямата основа е симетрала и на малката основа (ос на симетрия).
- Ако \(DD_1 \perp AB\) и \(CC_1 \perp AB\) са височини, проекциите на бедрата върху голямата основа са: \[ AD_1 = BC_1 = \frac{a - b}{2}, \quad D_1B = \frac{a + b}{2} \]
Правоъгълен трапец е трапец с бедро, перпендикулярно на основите. Това бедро съвпада с височината: \(AD = h\).
Периметър и лице на трапец:
\[ P = a + b + c + d, \quad S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]
Средна отсечка (основа) на трапец е отсечката, съединяваща средите на неговите бедра.
Средната отсечка на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума:
\[ MN \parallel AB \parallel CD, \quad m = \frac{a + b}{2} \]
Векторен запис: \(\vec{MN} = \frac{\vec{AB} + \vec{DC}}{2}\)
Свойства при пресичане с диагоналите:
Ако средната отсечка \(MN\) пресича диагоналите \(AC\) и \(BD\) съответно в точки \(P\) и \(Q\):
- Точките \(P\) и \(Q\) са среди съответно на диагоналите \(AC\) и \(BD\).
- \(MP = QN = \frac{b}{2}\) (средни отсечки в \(\triangle ADC\) и \(\triangle BCD\)).
- Отсечката между диагоналите е равна на полуразликата на основите: \[ PQ = \frac{a - b}{2} \]
Лице на трапец чрез средната му отсечка \(m\):
\[ S = m \cdot h \]
Основите на трапец са \(14\text{ cm}\) и \(6\text{ cm}\). Намерете дължината на средната му отсечка и на отсечката от нея, заключена между диагоналите му.
1. Средната отсечка:
\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{14 + 6}{2} = 10\text{ cm} \]
2. Частта от средната отсечка между диагоналите:
\[ PQ = \frac{a - b}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4\text{ cm} \]
Окръжност се нарича описана около триъгълник, ако минава през трите му върха. Тогава триъгълникът е вписан в окръжността.
Симетралите на трите страни на всеки триъгълник се пресичат в една точка – центъра \(O\) на описаната окръжност. Тази окръжност е единствена.
Разположение на центъра \(O\):
- Остроъгълен триъгълник: центърът \(O\) лежи вътре в триъгълника.
- Правоъгълен триъгълник: центърът \(O\) е средата на хипотенузата, като радиусът е \(R = \frac{c}{2}\).
- Тъпоъгълен триъгълник: центърът \(O\) лежи извън триъгълника (срещу тъпия ъгъл).
- Равностранен триъгълник: центърът съвпада с медицентъра, височините и ъглополовящите, като \(R = \frac{2}{3}h\).
Правоъгълен триъгълник има катети \(6\text{ cm}\) и \(8\text{ cm}\). Намерете радиуса на описаната около него окръжност.
По Питагоровата теорема хипотенузата е:
\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm} \]
Центърът на описаната окръжност е средата на хипотенузата:
\[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm} \]
Окръжност се нарича вписана в триъгълник, ако се допира и до трите му страни. Триъгълникът се нарича описан около окръжността.
Ъглополовящите на трите вътрешни ъгъла се пресичат в една точка – центъра \(I\) (или \(O\)) на вписаната окръжност. Центърът винаги лежи вътре в триъгълника.
Лице чрез радиуса на вписаната окръжност:
\[ S = p \cdot r, \quad \text{където } p = \frac{a + b + c}{2} \text{ е полупериметърът} \]
Допирателни отсечки от върховете:
Ако допирните точки със страните \(a, b, c\) са съответно \(P, N, K\), то разстоянията от върховете до допирните точки са:
\[ AK = AN = p - a \]
\[ BK = BP = p - b \]
\[ CP = CN = p - c \]
Свойства при правоъгълен триъгълник (\(\angle C = 90^\circ\)):
- Радиус на вписаната окръжност: \(r = \frac{a + b - c}{2} = p - c\)
- Връзка между полупериметър, хипотенуза и радиус: \(p = r + c\)
- Лице на триъгълника: \(S = AK \cdot BK = (p - a)(p - b)\)
- Ъгъл между ъглополовящите на острите ъгли: \(\angle AIB = 135^\circ\)
В триъгълник със страни \(a = 7\text{ cm}\), \(b = 9\text{ cm}\) и \(c = 12\text{ cm}\) е вписана окръжност. Намерете дължините на отсечките, на които допирната точка дели страната \(c\).
Полупериметърът е \(p = \frac{7 + 9 + 12}{2} = 14\text{ cm}\).
Отсечките от върховете \(A\) и \(B\) до допирната точка \(K\) на страната \(c\) са: \[ AK = p - a = 14 - 7 = 7\text{ cm} \] \[ BK = p - b = 14 - 9 = 5\text{ cm} \] (Проверка: \(AK + BK = 7 + 5 = 12\text{ cm} = c\)).
Отсечките от върховете \(A\) и \(B\) до допирната точка \(K\) на страната \(c\) са: \[ AK = p - a = 14 - 7 = 7\text{ cm} \] \[ BK = p - b = 14 - 9 = 5\text{ cm} \] (Проверка: \(AK + BK = 7 + 5 = 12\text{ cm} = c\)).
Ортоцентър (\(H\)) е пресечната точка на трите прави, върху които лежат височините на триъгълника.
Разположение на ортоцентъра:
- Остроъгълен триъгълник: \(H\) лежи вътре в триъгълника.
- Правоъгълен триъгълник: \(H\) съвпада с върха на правия ъгъл.
- Тъпоъгълен триъгълник: \(H\) лежи извън триъгълника.
- Медицентър (\(M\) или \(G\)): пресечна точка на медианите (винаги вътрешна).
- Център на вписаната окръжност (\(L\) или \(I\)): пресечна точка на ъглополовящите (винаги вътрешна).
- Център на описаната окръжност (\(O\)): пресечна точка на симетралите.
- Ортоцентър (\(H\)): пресечна точка на височините.
В равнобедрен триъгълник четирите точки лежат на оста на симетрия (височината към основата).
Права на Ойлер: Във всеки триъгълник ортоцентърът \(H\), медицентърът \(M\) и центърът на описаната окръжност \(O\) лежат на една права, като медицентърът дели отсечката \(HO\) в отношение:
\[ HM : MO = 2 : 1 \]
Векторно съотношение: \(\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\) (където \(O\) е центърът на описаната окръжност).
Четириъгълник е вписан в окръжност, ако всичките му четири върха лежат на една окръжност.
Основна теорема: Един четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само тогава, когато сборът на всеки два негови срещуположни ъгъла е \(180^\circ\):
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ \]
Еквивалентни признаци за вписан четириъгълник:
- Симетралите на страните му се пресичат в една точка (центъра на описаната окръжност).
- Страна на четириъгълника се вижда от два срещулежащи върха под равни ъгли (напр. \(\angle ADB = \angle ACB\)).
Специални четириъгълници:
- Вписан успоредник е задължително правоъгълник.
- Вписан трапец е задължително равнобедрен.
- Около всеки правоъгълник и около всеки равнобедрен трапец винаги може да се опише окръжност.
Четириъгълникът \(ABCD\) е вписан в окръжност. Ако \(\angle A = 75^\circ\) и \(\angle B = 110^\circ\), намерете \(\angle C\) и \(\angle D\).
Тъй като сборът на срещуположните ъгли е \(180^\circ\):
\[ \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]
\[ \angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
Четириъгълник е описан около окръжност, ако окръжността се допира до всичките му четири страни.
Теорема на Пито: Един четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само тогава, когато сборът на две срещуположни страни е равен на сбора на другите две:
\[ AB + CD = AD + BC \quad (a + c = b + d) \]
Свойства:
- Ъглополовящите на всичките му ъгли се пресичат в една точка – центъра на вписаната окръжност.
- Във всеки ромб може да се впише окръжност.
- Лицето на описан четириъгълник е: \[ S = p \cdot r, \quad \text{където } p = \frac{a + b + c + d}{2} \]
Трапец, описан около окръжност:
- Височината на трапеца е равна на диаметъра на вписаната окръжност: \(h = 2r\).
- В равнобедрен описан трапец средната отсечка е равна на бедрото: \[ m = \frac{a + b}{2} = c \]
- Окръжностите с диаметри бедрата на описания трапец се допират външно една до друга.
Описан четириъгълник има страни \(AB = 7\text{ cm}\), \(BC = 11\text{ cm}\) и \(CD = 9\text{ cm}\). Намерете дължината на страната \(AD\) и периметъра му.
По теоремата на Пито:
\[ AB + CD = AD + BC \implies 7 + 9 = AD + 11 \implies 16 = AD + 11 \implies AD = 5\text{ cm} \]
Периметърът е:
\[ P = (AB + CD) + (AD + BC) = 16 + 16 = 32\text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Четириъгълникът \(ABCD\) е вписан в окръжност, като страните \(AB = BC = CD\). Ако \(\angle BAD = 100^\circ\), намерете останалите ъгли на четириъгълника.
1. Тъй като хордите са равни (\(AB = BC = CD\)), съответните им дъги също са равни: \(\wideparen{AB} = \wideparen{BC} = \wideparen{CD} = x\).
2. Вписаният ъгъл \(\angle BAD = \frac{1}{2}\wideparen{BCD} = \frac{1}{2}(2x) = x\). Следователно \(x = 100^\circ\).
3. Трите дъги общо са \(3 \cdot 100^\circ = 300^\circ\), откъдето четвъртата дъга \(\wideparen{AD} = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).
4. За ъглите на четириъгълника:
2. Вписаният ъгъл \(\angle BAD = \frac{1}{2}\wideparen{BCD} = \frac{1}{2}(2x) = x\). Следователно \(x = 100^\circ\).
3. Трите дъги общо са \(3 \cdot 100^\circ = 300^\circ\), откъдето четвъртата дъга \(\wideparen{AD} = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).
4. За ъглите на четириъгълника:
- \(\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) (срещуположни във вписан четириъгълник).
- \(\angle ABC = \frac{1}{2}\wideparen{ADC} = \frac{1}{2}(60^\circ + 100^\circ) = 80^\circ\).
- \(\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Задача 2 (Средна): В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) катетите са \(AC = 12\text{ cm}\) и \(BC = 9\text{ cm}\). Намерете:
а) Радиуса \(R\) на описаната окръжност;
б) Радиуса \(r\) на вписаната окръжност;
в) Разстоянието от медицентъра \(G\) до центъра \(O\) на описаната окръжност.
а) Радиуса \(R\) на описаната окръжност;
б) Радиуса \(r\) на вписаната окръжност;
в) Разстоянието от медицентъра \(G\) до центъра \(O\) на описаната окръжност.
1. Хипотенузата по Питагоровата теорема е:
\[ AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ cm} \]
2. Радиус на описаната окръжност: центърът \(O\) е средата на хипотенузата:
\[ R = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7,5\text{ cm} \]
3. Радиус на вписаната окръжност:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm} \]
4. Разстояние между медицентъра \(G\) и \(O\):
Отсечката \(CO\) е медиана към хипотенузата, следователно \(CO = R = 7,5\text{ cm}\).
Медицентърът \(G\) лежи на \(CO\) и я дели в отношение \(CG : GO = 2 : 1\). Следователно:
\[ GO = \frac{1}{3}CO = \frac{1}{3} \cdot 7,5 = 2,5\text{ cm} \]
Отговор: а) \(7,5\text{ cm}\); б) \(3\text{ cm}\); в) \(2,5\text{ cm}\).
Задача 3 (Средна): В равнобедрен трапец с основи \(a = 20\text{ cm}\) и \(b = 8\text{ cm}\) е спусната височина. Намерете дължината на средната отсечка \(MN\), на отсечката между диагоналите \(PQ\), и проекцията на бедрото върху голямата основа.
1. Средната отсечка е полусума от основите:
\[ MN = \frac{a + b}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\text{ cm} \]
2. Отсечката между диагоналите е полуразлика от основите:
\[ PQ = \frac{a - b}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6\text{ cm} \]
3. В равнобедрен трапец проекцията на бедрото върху основата е:
\[ AD_1 = \frac{a - b}{2} = 6\text{ cm} \]
Отговор: \(MN = 14\text{ cm}\), \(PQ = 6\text{ cm}\), проекцията е \(6\text{ cm}\).
Задача 4 (Трудна): Равнобедрен трапец с остър ъгъл \(30^\circ\) е описан около окръжност с радиус \(r = 4\text{ cm}\). Намерете бедрото, средната отсечка и лицето на трапеца.
1. Височината на описания трапец е равна на диаметъра на окръжността:
\[ h = 2r = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm} \]
2. Спускаме височината \(DD_1 \perp AB\). В правоъгълния \(\triangle AD_1D\) ъгъл \(\angle A = 30^\circ\).
Катетът срещу ъгъл \(30^\circ\) е височината: \(h = \frac{1}{2}c \implies c = 2h = 2 \cdot 8 = 16\text{ cm}\).
Бедрото на трапеца е \(c = 16\text{ cm}\).
3. За описан равнобедрен трапец средната отсечка е равна на бедрото:
\[ m = \frac{a + b}{2} = c = 16\text{ cm} \]
4. Лицето на трапеца е:
\[ S = m \cdot h = 16 \cdot 8 = 128\text{ cm}^2 \]
Отговор: Бедро = \(16\text{ cm}\), средна отсечка = \(16\text{ cm}\), лице = \(128\text{ cm}^2\).
