Най-важното от урока
Внасяне под корен: При \(a \ge 0 \implies a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\). При \(a < 0 \implies a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}\) (пр. \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)).
Сравняване: \(\sqrt{a} \ge \sqrt{b} \iff a \ge b\). При отрицателни числа редът се обръща: \(-\sqrt{10} < -\sqrt{8}\).
Подобни радикали: Привеждат се в нормален вид и се извършва действие само с коефициентите им: \(3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\).
Корен от точен квадрат: \(\sqrt{A^2} = |A|\). Внимавайте с модула при разлики: \(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1\).
Сравняване: \(\sqrt{a} \ge \sqrt{b} \iff a \ge b\). При отрицателни числа редът се обръща: \(-\sqrt{10} < -\sqrt{8}\).
Подобни радикали: Привеждат се в нормален вид и се извършва действие само с коефициентите им: \(3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\).
Корен от точен квадрат: \(\sqrt{A^2} = |A|\). Внимавайте с модула при разлики: \(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1\).
За положителен множител (\(a \ge 0\)), числото се повдига на втора степен и се умножава по подкоренната величина:
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} \quad (a \ge 0, b \ge 0) \]
За отрицателен множител (\(a < 0\)), под корена се внася само абсолютната стойност (положителното число), а знакът минус остава пред корена:
\[ a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b} \quad (a < 0, b \ge 0) \]
- Положителен множител: \(3\sqrt{11} = \sqrt{3^2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}\)
- Отрицателен множител: \(-4\sqrt{3} = -\sqrt{4^2 \cdot 3} = -\sqrt{16 \cdot 3} = -\sqrt{48}\)
Внесете множителя под корена за изразите: \(5\sqrt{2}\) и \(-3\sqrt{7}\).
- \(5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)
- \(-3\sqrt{7} = -\sqrt{3^2 \cdot 7} = -\sqrt{9 \cdot 7} = -\sqrt{63}\)
За всеки две неотрицателни числа \(a\) и \(b\):
\[ a \ge b \ge 0 \iff \sqrt{a} \ge \sqrt{b} \]
Колкото по-голяма е подкоренната величина (радикантът), толкова по-голям е квадратният корен.
Приведете числата във вид на корени, като внесете всички коефициенти под знака на корена (или представите целите числа като \(c = \sqrt{c^2}\)).
Сравнете получените подкоренни величини.
При отрицателни ирационални числа обърнете знака на неравенството: ако \(\sqrt{A} < \sqrt{B}\), то \(-\sqrt{A} > -\sqrt{B}\).
Сравняване на отрицателни корени:
\(-5\sqrt{7} = -\sqrt{175}\) и \(-8\sqrt{3} = -\sqrt{192}\).
Тъй като \(175 < 192\), то \(\sqrt{175} < \sqrt{192}\), откъдето \(-\sqrt{175} > -\sqrt{192}\), т.е. \(-5\sqrt{7} > -8\sqrt{3}\).
За да определите между кои цели числа лежи даден корен (например \(2\sqrt{13}\)):
1. Внасяме под корена: \(2\sqrt{13} = \sqrt{52}\).
2. Намираме най-близките точни квадрати: \(49 < 52 < 64\).
3. Коренуваме: \(\sqrt{49} < \sqrt{52} < \sqrt{64} \implies 7 < 2\sqrt{13} < 8\).
1. Внасяме под корена: \(2\sqrt{13} = \sqrt{52}\).
2. Намираме най-близките точни квадрати: \(49 < 52 < 64\).
3. Коренуваме: \(\sqrt{49} < \sqrt{52} < \sqrt{64} \implies 7 < 2\sqrt{13} < 8\).
Сравнете числата \(3\sqrt{5}\) и \(7\).
Представяме и двете числа като квадратни корени:
\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
\(7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}\)
Тъй като \(45 < 49\), то \(\sqrt{45} < \sqrt{49}\), следователно \(3\sqrt{5} < 7\).
\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
\(7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}\)
Тъй като \(45 < 49\), то \(\sqrt{45} < \sqrt{49}\), следователно \(3\sqrt{5} < 7\).
Подобни радикали са корени, които след привеждане в нормален вид имат еднакви подкоренни величини.
Събираме и изваждаме само подобни радикали чрез събиране или изваждане на техните коефициенти:
\[ k\sqrt{a} \pm m\sqrt{a} = (k \pm m)\sqrt{a} \]
Ако подкоренните числа са различни, първо ги привеждаме в нормален вид чрез изнасяне на множител пред знака на корена:
\(\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).
\(\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).
Опростете израза: \(3\sqrt{20} - \sqrt{45} + 2\sqrt{5}\).
Изнасяме множители пред корена:
\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
Заместваме в израза:
\(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (6 - 3 + 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\).
\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
Заместваме в израза:
\(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (6 - 3 + 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\).
При умножение и деление на корени се използват свойствата на квадратните корени и дистрибутивният закон:
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad (a \ge 0, b \ge 0) \]
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0, b > 0) \]
При пресмятане на числови изрази с квадратни корени се спазва стандартният ред:
- Действия в скоби;
- Степенуване и коренуване;
- Умножение и деление;
- Събиране и изваждане.
Деление на сбор с корен:
\[ (\sqrt{10} - \sqrt{6}) : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} - \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \]
Извършете умножението: \(\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{2})\).
Разкриваме скобите:
\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{36} - \sqrt{6} = 6 - \sqrt{6} \]
\[ (\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{ab} + b \]
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b \]
\[ \sqrt{A^2} = |A| \]
Винаги взимайте абсолютна стойност при освобождаване от квадратен корен: \(\sqrt{A^2} = |A|\).
Ако \(A < 0\), то \(|A| = -A\).
Ако \(A < 0\), то \(|A| = -A\).
Пресмятане на \(\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}\):
Представяме подкоренния израз като квадрат на разлика: \[ 11 - 4\sqrt{7} = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (2 - \sqrt{7})^2 \] Следователно: \[ \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 \quad (\text{тъй като } 2 < \sqrt{7}) \]
Представяме подкоренния израз като квадрат на разлика: \[ 11 - 4\sqrt{7} = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (2 - \sqrt{7})^2 \] Следователно: \[ \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 \quad (\text{тъй като } 2 < \sqrt{7}) \]
Пресметнете \((\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})\).
Прилагаме формулата \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):
\[ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \]
Practice problems
Задача 1 (Лесна): Подредете по големина в нарастващ ред числата: \(4\sqrt{2}\), \(3\sqrt{3}\) и \(5\).
Внасяме множителите под знака на корена:
\(4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}\)
\(3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}\)
\(5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}\)
Сравняваме радикантите: \(25 < 27 < 32\).
Отговор: \(5 < 3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}\)
\(3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}\)
\(5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}\)
Сравняваме радикантите: \(25 < 27 < 32\).
Отговор: \(5 < 3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}\)
Задача 2 (Средна): Опростете и намерете числовата стойност на израза:
\[ A = 2\sqrt{75} - 4\sqrt{27} + \sqrt{48} \]
Изнасяме точните квадрати пред знака на корена:
\(2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{27} = 4\sqrt{9 \cdot 3} = 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
Привеждаме подобните радикали: \[ A = 10\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (10 - 12 + 4)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]
Отговор: \(2\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{27} = 4\sqrt{9 \cdot 3} = 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
Привеждаме подобните радикали: \[ A = 10\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (10 - 12 + 4)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]
Отговор: \(2\sqrt{3}\)
Задача 3 (Средна): Пресметнете стойността на израза:
\[ B = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} \]
Прилагаме формулата за съкратено умножение \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\[ (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10} \]
Изнасяме множител от \(\sqrt{40}\):
\[ \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \]
Заместваме в израза:
\[ B = 7 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} = 7 \]
Отговор: \(7\)
Отговор: \(7\)
Задача 4 (Трудна): Докажете тъждеството:
\[ \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 3 \]
Преобразуваме подкоренния израз \(11 + 6\sqrt{2}\) във вид на точен квадрат:
\[ 11 + 6\sqrt{2} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 + \sqrt{2})^2 \]
Коренуваме:
\[ \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2} \]
Заместваме обратно в израза:
\[ (3 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3 \]
Тъждеството е доказано.
