94. Транслация

Начертайте успоредник \( ABCD \). Точка \( A \) е в долния ляв ъгъл, \( B \) е в долния десен, \( C \) е в горния десен, а \( D \) е в горния ляв. Страната \( AB \) е хоризонтална. Обозначете вектора \( \vec{AB} = \vec{a} \) с плътна черна стрелка, насочена от \( A \) към \( B \). Етикетът \( \vec{a} \) трябва да е разположен под средата на страната \( AB \). Обозначете вектора \( \vec{AD} = \vec{b} \) с плътна черна стрелка, насочена от \( A \) към \( D \). Етикетът \( \vec{b} \) трябва да е разположен до средата на страната \( AD \). Начертайте двата диагонала на успоредника с пунктирани линии. Диагоналът \( AC \) трябва да има стрелка, насочена от \( A \) към \( C \), обозначавайки вектора \( \vec{AC} \). Разположете етикета \( \vec{AC} \) близо до средата на диагонала \( AC \). Диагоналът \( DB \) също трябва да има стрелка, насочена от \( D \) към \( B \), обозначавайки вектора \( \vec{DB} \). Разположете етикета \( \vec{DB} \) близо до средата на диагонала \( DB \). За да решим задачата, първо припомняме дефиницията за транслация с даден вектор. Ако имаме транслация с вектор \( \vec{v} \), то образът на всяка точка \( M \) е такава точка \( M' \), че векторът \( \vec{MM'} \) е равен на вектора на транслацията \( \vec{v} \). Също така, от свойствата на успоредника знаем, че срещуположните му страни са успоредни и равни, следователно: \[ \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a} \] \[ \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b} \] Освен това, противоположните вектори имат същата дължина и права, но обратна посока: \[ \vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a} \] \[ \vec{CB} = -\vec{AD} = -\vec{b} \]

а) образът на A при транслация с вектора \( \vec{a} \)

Прилагане на дефиницията за транслация

Търсим точка \( X \), която е образ на \( A \) при транслация с вектор \( \vec{a} \). Това означава, че: \[ \vec{AX} = \vec{a} \] От условието знаем, че \( \vec{AB} = \vec{a} \). Следователно началната точка на вектора е \( A \), а крайната е \( B \). Образът на точка \( A \) е точка \( B \).

б) образът на A при транслация с вектора \( \vec{b} \)

Намиране на съответния вектор

По аналогичен начин, търсим точка \( Y \), за която: \[ \vec{AY} = \vec{b} \] Тъй като по условие \( \vec{AD} = \vec{b} \), то крайната точка на този вектор е \( D \). Образът на точка \( A \) е точка \( D \).

в) образът на A при транслация с вектора \( \vec{a}+\vec{b} \)

Събиране на вектори по правилото на успоредника

Търсим образ на точка \( A \), тоест точка \( Z \), за която: \[ \vec{AZ} = \vec{a} + \vec{b} \] Заместваме векторите с техните равни от чертежа: \[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{AD} \] Според правилото на успоредника за събиране на вектори с общо начало, сборът \( \vec{AB} + \vec{AD} \) е равен на диагонала на успоредника, излизащ от същия връх: \[ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \] Следователно \( \vec{AZ} = \vec{AC} \), откъдето следва, че образът на точка \( A \) е точка \( C \).

г) образът на D при транслация с вектора \( \vec{a}-\vec{b} \)

Представяне на разликата на векторите

Търсим точка \( W \), която е образ на \( D \) при тази транслация. Трябва да е изпълнено: \[ \vec{DW} = \vec{a} - \vec{b} \] Можем да изразим разликата \( \vec{a} - \vec{b} \) като сбор на вектора \( \vec{a} \) и противоположния на \( \vec{b} \): \[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \] Използваме равните вектори в успоредника. Знаем, че \( \vec{DC} = \vec{a} \) и \( \vec{CB} = -\vec{b} \). Заместваме ги в сбора: \[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{DC} + \vec{CB} \] По правилото на триъгълника за събиране на вектори (верижно правило), получаваме: \[ \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB} \] Следователно \( \vec{DW} = \vec{DB} \), което означава, че образът на точка \( D \) е точка \( B \).

д) образът на C при транслация с вектора \( -\vec{a} \)

Използване на противоположен вектор

Търсим точка \( U \), за която е изпълнено: \[ \vec{CU} = -\vec{a} \] Векторът \( -\vec{a} \) е противоположен на вектора \( \vec{a} = \vec{AB} \). В успоредника страната \( CD \) е успоредна и равна на \( AB \). Векторът с посока от \( C \) към \( D \) е противоположен на \( \vec{AB} \), следователно: \[ \vec{CD} = -\vec{a} \] От равенството \( \vec{CU} = \vec{CD} \) правим извода, че образът на точка \( C \) е точка \( D \).

\( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{a} \) \( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b} \)

а)

\[ T_{\vec{a}}(A) = B \text{, защото } \vec{AB} = \vec{a} \]

б)

\[ T_{\vec{b}}(A) = D \text{, защото } \vec{AD} = \vec{b} \]

в)

\[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \Rightarrow T_{\vec{a}+\vec{b}}(A) = C \]

г)

\[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{DC} - \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB} \Rightarrow T_{\vec{a}-\vec{b}}(D) = B \]

д)

\[ -\vec{a} = -\vec{DC} = \vec{CD} \Rightarrow T_{-\vec{a}}(C) = D \]