Най-важното от урока
Системи линейни неравенства: Търси се сечението на решенията на отделните неравенства (\(S = S_1 \cap S_2\)). Записват се с интервали или \(\emptyset\).
Модулно неравенство с \(<\) или \(\le\) (\(c > 0\)): \(|ax + b| < c \iff -c < ax + b < c\) (система/сечение; дава един краен интервал).
Модулно неравенство с \(>\) или \(\ge\) (\(c > 0\)): \(|ax + b| > c \iff ax + b > c \text{ или } ax + b < -c\) (обединение на два интервала).
Особени случаи (\(c \le 0\)): Модулът е винаги \(\ge 0\). Затова \(|ax+b| < -2\) няма решение, докато \(|ax+b| > -2\) е изпълнено за всяко \(x \in \mathbb{R}\).
Свойство на модула: \(|k \cdot u| = |k| \cdot |u|\) позволява изнасяне на множител и групиране на сходни модулни изрази.
Модулно неравенство с \(<\) или \(\le\) (\(c > 0\)): \(|ax + b| < c \iff -c < ax + b < c\) (система/сечение; дава един краен интервал).
Модулно неравенство с \(>\) или \(\ge\) (\(c > 0\)): \(|ax + b| > c \iff ax + b > c \text{ или } ax + b < -c\) (обединение на два интервала).
Особени случаи (\(c \le 0\)): Модулът е винаги \(\ge 0\). Затова \(|ax+b| < -2\) няма решение, докато \(|ax+b| > -2\) е изпълнено за всяко \(x \in \mathbb{R}\).
Свойство на модула: \(|k \cdot u| = |k| \cdot |u|\) позволява изнасяне на множител и групиране на сходни модулни изрази.
Две или повече линейни неравенства с едно и също неизвестно, за които се търсят общите решения, образуват система линейни неравенства. Записват се едно под друго, заградени с обща фигурна скоба.
Решение на системата е всяко число, което е едновременно решение на всяко едно от неравенствата в нея (сечение на решенията им: \(S = S_1 \cap S_2\)).
Решава се всяко линейно неравенство самостоятелно до получаване на вида \(x > a\), \(x \ge a\), \(x < b\) или \(x \le b\).
Решенията на отделните неравенства се нанасят върху една обща числова ос.
Определя се общата част (сечението на интервалите) и се записва окончателният интервал на решенията на системата.
Всяко двойно неравенство от вида \(a < ax + b < c\) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} ax + b > a \\ ax + b < c \end{cases} \]
Решете системата \(\begin{cases} x > -3 \\ x \le 4 \end{cases}\).
Решение: Сечението на интервалите \(x \in (-3; +\infty)\) и \(x \in (-\infty; 4]\) е интервалът \((-3; 4]\).
Следователно решенията са \(x \in (-3; 4]\).
Решение: Сечението на интервалите \(x \in (-3; +\infty)\) и \(x \in (-\infty; 4]\) е интервалът \((-3; 4]\).
Следователно решенията са \(x \in (-3; 4]\).
При намиране на сечението на две неравенства върху числовата ос са възможни следните основни ситуации:
- Краен интервал: \(\begin{cases} x \ge a \\ x < b \end{cases} \Rightarrow x \in [a; b)\) при \(a < b\).
- Еднопосочни интервали (към \(+\infty\)): \(\begin{cases} x > a \\ x > b \end{cases} \Rightarrow x \in (b; +\infty)\) при \(a < b\) (избира се по-строгото ограничение).
- Еднопосочни интервали (към \(-\infty\)): \(\begin{cases} x < a \\ x \le b \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; a)\) при \(a < b\).
- Единична точка: \(\begin{cases} x \ge a \\ x \le a \end{cases} \Rightarrow x = a\).
- Няма решение (празно множество): \(\begin{cases} x > b \\ x < a \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset\) при \(a < b\), тъй като интервалите нямат общи точки.
Намерете решенията на системата \[\begin{cases} x > 7 \\ x < 2 \end{cases}\]
Интервалите \((7; +\infty)\) и \((-\infty; 2)\) не се застъпват. Сечението им е празното множество:
\[ (7; +\infty) \cap (-\infty; 2) = \emptyset \]
Отговор: Системата няма решение (\(x \in \emptyset\)).
При \(c > 0\): Модулното неравенство означава, че разстоянието до нулата е по-малко от \(c\). То се преобразува в двойно неравенство или система от неравенства:
\[ |ax + b| < c \iff -c < ax + b < c \iff \begin{cases} ax + b < c \\ ax + b > -c \end{cases} \]
Решението е крайният интервал, получен от сечението на двете неравенства.
При \(c \le 0\):
- Ако \(c < 0\): Неравенството \(|ax + b| < c\) или \(|ax + b| \le c\) няма решение (\(x \in \emptyset\)), тъй като абсолютната стойност винаги е неотрицателно число (\(\ge 0\)).
- Ако \(c = 0\): Неравенството \(|ax + b| < 0\) няма решение (\(x \in \emptyset\)), а \(|ax + b| \le 0 \iff ax + b = 0\).
Решете неравенството \(|2x - 1| \le 5\).
Тъй като \(5 > 0\), образуваме двойно неравенство: \[ -5 \le 2x - 1 \le 5 \] \[ -5 + 1 \le 2x \le 5 + 1 \implies -4 \le 2x \le 6 \implies -2 \le x \le 3 \] Отговор: \(x \in [-2; 3]\).
Тъй като \(5 > 0\), образуваме двойно неравенство: \[ -5 \le 2x - 1 \le 5 \] \[ -5 + 1 \le 2x \le 5 + 1 \implies -4 \le 2x \le 6 \implies -2 \le x \le 3 \] Отговор: \(x \in [-2; 3]\).
При \(c > 0\): Неравенството означава, че разстоянието до нулата е по-голямо от \(c\). То е еквивалентно на обединението на две отделни неравенства (дизюнкция):
\[ |ax + b| > c \iff ax + b > c \quad \text{или} \quad ax + b < -c \]
Решението се записва като обединение на два интервала: \(x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)\).
При \(c \le 0\):
- Ако \(c < 0\): Неравенството \(|ax + b| > c\) или \(|ax + b| \ge c\) е вярно за всяко реално число (\(x \in \mathbb{R}\)).
- Ако \(c = 0\): Неравенството \(|ax + b| \ge 0\) е вярно за всяко \(x \in \mathbb{R}\), а \(|ax + b| > 0\) е изпълнено за всяко \(x\), за което \(ax + b \ne 0\).
Решете неравенството \(|x - 4| > 2\).
Неравенството се разпада на две независими възможности:
\[ x - 4 > 2 \implies x > 6 \]
\[ x - 4 < -2 \implies x < 2 \]
Вземаме обединението на получените интервали.
Отговор: \(x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)\).
\[ |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \]
Изнасяне на константа пред модул: \(|k \cdot (ax + b)| = |k| \cdot |ax + b|\)
Когато под различни модули участват пропорционални двучлени, изнасяме общ множител, за да приведем към един и същ модул и да съберем подобните членове.
Да се преобразува изразът \(|2x - 3| + |6x - 9|\):
\[ |6x - 9| = |3(2x - 3)| = |3| \cdot |2x - 3| = 3|2x - 3| \]
Тогава:
\[ |2x - 3| + 3|2x - 3| = 4|2x - 3| \]
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Решете системата линейни неравенства:
\[ \begin{cases} 3x - 6 \ge 0 \\ 2x + 1 < 11 \end{cases} \]
Решаваме всяко неравенство самостоятелно:
Отговор: \(x \in [2; 5)\).
- \(3x - 6 \ge 0 \implies 3x \ge 6 \implies x \ge 2\), т.е. \(x \in [2; +\infty)\).
- \(2x + 1 < 11 \implies 2x < 10 \implies x < 5\), т.е. \(x \in (-\infty; 5)\).
Отговор: \(x \in [2; 5)\).
Задача 2 (Средна): Решете модулното неравенство:
\[ |3x - 4| \ge 11 \]
Неравенство от вида \(|u| \ge c\) с \(c > 0\) се разпада на обединение от две неравенства:
\[ 3x - 4 \ge 11 \quad \text{или} \quad 3x - 4 \le -11 \]
Решаваме ги поотделно:
\[ 3x \ge 15 \implies x \ge 5 \]
\[ 3x \le -7 \implies x \le -\frac{7}{3} \]
Отговор: \(x \in \left(-\infty; -\frac{7}{3}\right] \cup [5; +\infty)\).
Задача 3 (Средна): Решете системата линейни неравенства:
\[ \begin{cases} \frac{2x - 1}{3} > 1 \\ (x - 2)^2 - x(x + 1) \ge -6 \end{cases} \]
Решаваме първото неравенство:
\[ 2x - 1 > 3 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \]
Решаваме второто неравенство:
\[ x^2 - 4x + 4 - (x^2 + x) \ge -6 \]
\[ x^2 - 4x + 4 - x^2 - x \ge -6 \]
\[ -5x + 4 \ge -6 \implies -5x \ge -10 \implies x \le 2 \]
Търсим сечението на двете решения: \(x > 2\) и \(x \le 2\).
Тъй като първият интервал не съдържа числото 2, а вторият изисква \(x \le 2\), двете множества нямат общи елементи: \[ (2; +\infty) \cap (-\infty; 2] = \emptyset \] Отговор: Системата няма решение (\(x \in \emptyset\)).
Тъй като първият интервал не съдържа числото 2, а вторият изисква \(x \le 2\), двете множества нямат общи елементи: \[ (2; +\infty) \cap (-\infty; 2] = \emptyset \] Отговор: Системата няма решение (\(x \in \emptyset\)).
Задача 4 (Трудна): Решете модулното неравенство:
\[ |2x - 1| + |4x - 2| < 9 \]
Изнасяме множител от втория модул:
\[ |4x - 2| = |2(2x - 1)| = 2|2x - 1| \]
Заместваме в изходното неравенство:
\[ |2x - 1| + 2|2x - 1| < 9 \implies 3|2x - 1| < 9 \implies |2x - 1| < 3 \]
Тъй като \(3 > 0\), преобразуваме в двойно неравенство:
\[ -3 < 2x - 1 < 3 \]
Добавяме 1 към всички страни:
\[ -2 < 2x < 4 \]
Делим на 2:
\[ -1 < x < 2 \]
Отговор: \(x \in (-1; 2)\).
