13. Функция

За да намерим функционалните стойности на дадена функция \( y = y(x) \) за конкретни стойности на аргумента \( x \), е необходимо да заменим всяко появяване на \( x \) във формулата на функцията със съответното число и да пресметнем получения израз.

а) \( y(x) = 2x \)

Стъпка 1: Заместване и изчисление

Заместваме \( x \) със зададените стойности: - За \( x = 1 \): \( y(1) = 2 \cdot 1 = 2 \) - За \( x = -1 \): \( y(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \) - За \( x = 0 \): \( y(0) = 2 \cdot 0 = 0 \) - За \( x = \frac{1}{2} \): \( y(\frac{1}{2}) = \cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} = 1 \)

б) \( y(x) = x^2 - 1 \)

Стъпка 2: Заместване и изчисление

Внимаваме при повдигането на отрицателни числа на квадрат: - За \( x = 1 \): \( y(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) - За \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) - За \( x = 0 \): \( y(0) = 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \) - За \( x = \frac{1}{2} \): \( y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - 1 = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1-4}{4} = -\frac{3}{4} \)

в) \( y(x) = 1 - x + 2x^2 \)

Стъпка 3: Заместване и изчисление

Следваме реда на действията: първо степенуване, после умножение и накрая събиране/изваждане: - За \( x = 1 \): \( y(1) = 1 - 1 + 2 \cdot 1^2 = \cancel{1} - \cancel{1} + 2 \cdot 1 = 2 \) - За \( x = -1 \): \( y(-1) = 1 - (-1) + 2 \cdot (-1)^2 = 1 + 1 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 \) - За \( x = 0 \): \( y(0) = 1 - 0 + 2 \cdot 0^2 = 1 - 0 + 2 \cdot 0 = 1 - 0 + 0 = 1 \) - За \( x = \frac{1}{2} \): \( y(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} + 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} + \cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{4}_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

г) \( y(x) = 8x^3 + 4x - 1 \)

Стъпка 4: Заместване и изчисление

- За \( x = 1 \): \( y(1) = 8 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1 - 1 = 8 \cdot 1 + 4 - 1 = 8 + 4 - 1 = 11 \) - За \( x = -1 \): \( y(-1) = 8 \cdot (-1)^3 + 4 \cdot (-1) - 1 = 8 \cdot (-1) - 4 - 1 = -8 - 4 - 1 = -13 \) - За \( x = 0 \): \( y(0) = 8 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0 - 1 = 8 \cdot 0 + 0 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 \) - За \( x = \frac{1}{2} \): \( y(\frac{1}{2}) = 8 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \cancel{8}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{8}_1} + \cancel{4}^2 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} - 1 = \cancel{1} + 2 - \cancel{1} = 2 \)

а)

\( y(1) = 2 \cdot 1 = 2 \) \( y(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \) \( y(0) = 2 \cdot 0 = 0 \) \( y(\frac{1}{2}) = \cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} = 1 \)

б)

\( y(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) \( y(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) \( y(0) = 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \) \( y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \)

в)

\( y(1) = 1 - 1 + 2 \cdot 1^2 = \cancel{1} - \cancel{1} + 2 = 2 \) \( y(-1) = 1 - (-1) + 2 \cdot (-1)^2 = 1 + 1 + 2 = 4 \) \( y(0) = 1 - 0 + 2 \cdot 0^2 = 1 - 0 + 0 = 1 \) \( y(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} + 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} + \cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{4}_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)

г)

\( y(1) = 8 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1 - 1 = 8 + 4 - 1 = 11 \) \( y(-1) = 8 \cdot (-1)^3 + 4 \cdot (-1) - 1 = -8 - 4 - 1 = -13 \) \( y(0) = 8 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 \) \( y(\frac{1}{2}) = 8 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \cancel{8}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{8}_1} + \cancel{4}^2 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} - 1 = \cancel{1} + 2 - \cancel{1} = 2 \)