Най-важното от урока
Решаването на правоъгълен триъгълник означава по два дадени елемента да намерите останалите, като комбинирате следните основни зависимости:
- Питагорова теорема: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Метрични зависимости за катети: \(a^2 = a_1 \cdot c\) и \(b^2 = b_1 \cdot c\)
- Метрична зависимост за височина: \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\)
- Свойство на хипотенузата: \(c = a_1 + b_1\)
В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите (\(a, b\)) е равен на квадрата на хипотенузата (\(c\)).
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Ако катетите са \(a=3\) и \(b=4\), то хипотенузата \(c\) се намира така:
\(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5\).
\(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5\).
Даден е правоъгълен триъгълник с катет \(a=5\) и хипотенуза \(c=13\). Намерете другия катет \(b\).
От Питагоровата теорема имаме \(b^2 = c^2 - a^2\).
\(b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\).
\(b = \sqrt{144} = 12\).
\(b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\).
\(b = \sqrt{144} = 12\).
Тези формули свързват всеки катет с неговата проекция върху хипотенузата (\(a_1, b_1\)) и цялата хипотенуза (\(c\)).
\[ a^2 = a_1 \cdot c \]
\[ b^2 = b_1 \cdot c \]
Ако катет \(a=6\) и хипотенуза \(c=9\), то неговата проекция \(a_1\) е:
\(6^2 = a_1 \cdot 9 \implies 36 = 9a_1 \implies a_1 = 4\).
\(6^2 = a_1 \cdot 9 \implies 36 = 9a_1 \implies a_1 = 4\).
В правоъгълен триъгълник са дадени хипотенуза \(c=16\) и проекция \(b_1=4\). Намерете катета \(b\).
Прилагаме формулата \(b^2 = b_1 \cdot c\).
\(b^2 = 4 \cdot 16 = 64\).
\(b = \sqrt{64} = 8\).
\(b^2 = 4 \cdot 16 = 64\).
\(b = \sqrt{64} = 8\).
Квадратът на височината към хипотенузата (\(h_c\)) е равен на произведението от проекциите на двата катета върху хипотенузата (\(a_1, b_1\)).
\[ h_c^2 = a_1 \cdot b_1 \]
Ако проекциите на катетите са \(a_1=4\) и \(b_1=9\), то височината \(h_c\) е:
\(h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = \sqrt{36} = 6\).
\(h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = \sqrt{36} = 6\).
Намерете височината към хипотенузата \(h_c\), ако знаете, че \(a_1=2\) и \(b_1=8\).
Прилагаме формулата \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\).
\(h_c^2 = 2 \cdot 8 = 16\).
\(h_c = \sqrt{16} = 4\).
\(h_c^2 = 2 \cdot 8 = 16\).
\(h_c = \sqrt{16} = 4\).
Тези зависимости са директно следствие от геометрията на триъгълника и Питагоровата теорема, приложена в по-малките триъгълници, образувани от височината.
\[ c = a_1 + b_1 \]
Сборът от проекциите е равен на хипотенузата.
\[ a^2 = a_1^2 + h_c^2 \]
\[ b^2 = b_1^2 + h_c^2 \]
Питагорова теорема за триъгълниците, образувани от височината.
Ако знаем катет \(a=5\) и височина \(h_c=3\), можем да намерим неговата проекция \(a_1\):
\(5^2 = a_1^2 + 3^2 \implies 25 = a_1^2 + 9 \implies a_1^2 = 16 \implies a_1=4\).
\(5^2 = a_1^2 + 3^2 \implies 25 = a_1^2 + 9 \implies a_1^2 = 16 \implies a_1=4\).
Дадени са проекциите на катетите \(a_1=3\) и \(b_1=5\). Намерете дължината на хипотенузата \(c\).
Прилагаме формулата \(c = a_1 + b_1\).
\(c = 3 + 5 = 8\).
\(c = 3 + 5 = 8\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са катети \(a=6\) и \(b=8\). Намерете хипотенузата \(c\).
От Питагоровата теорема:
\(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Отговор: \(c = 10\).
\(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Отговор: \(c = 10\).
Средна: Дадени са хипотенуза \(c=20\) и проекция \(a_1=4\). Намерете катета \(a\), другата проекция \(b_1\) и височината \(h_c\).
1. Намираме \(a\): \(a^2 = a_1 \cdot c = 4 \cdot 20 = 80 \implies a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\).
2. Намираме \(b_1\): \(b_1 = c - a_1 = 20 - 4 = 16\).
3. Намираме \(h_c\): \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1 = 4 \cdot 16 = 64 \implies h_c = 8\).
Отговор: \(a=4\sqrt{5}\), \(b_1=16\), \(h_c=8\).
2. Намираме \(b_1\): \(b_1 = c - a_1 = 20 - 4 = 16\).
3. Намираме \(h_c\): \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1 = 4 \cdot 16 = 64 \implies h_c = 8\).
Отговор: \(a=4\sqrt{5}\), \(b_1=16\), \(h_c=8\).
Трудна: Дадени са катет \(b=10\) и височина към хипотенузата \(h_c=6\). Намерете всички останали основни елементи (\(a, c, a_1, b_1\)).
1. От \(\triangle ADC\), по Питагорова теорема намираме \(b_1\):
\(b^2 = b_1^2 + h_c^2 \implies 10^2 = b_1^2 + 6^2 \implies 100 = b_1^2 + 36 \implies b_1^2 = 64 \implies b_1=8\).
2. От \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\) намираме \(a_1\):
\(6^2 = a_1 \cdot 8 \implies 36 = 8a_1 \implies a_1 = \frac{36}{8} = 4.5\).
3. Намираме хипотенузата \(c\):
\(c = a_1 + b_1 = 4.5 + 8 = 12.5\).
4. Намираме катета \(a\):
\(a^2 = a_1 \cdot c = 4.5 \cdot 12.5 = 56.25 \implies a = \sqrt{56.25} = 7.5\).
Отговор: \(b_1=8\), \(a_1=4.5\), \(c=12.5\), \(a=7.5\).
\(b^2 = b_1^2 + h_c^2 \implies 10^2 = b_1^2 + 6^2 \implies 100 = b_1^2 + 36 \implies b_1^2 = 64 \implies b_1=8\).
2. От \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\) намираме \(a_1\):
\(6^2 = a_1 \cdot 8 \implies 36 = 8a_1 \implies a_1 = \frac{36}{8} = 4.5\).
3. Намираме хипотенузата \(c\):
\(c = a_1 + b_1 = 4.5 + 8 = 12.5\).
4. Намираме катета \(a\):
\(a^2 = a_1 \cdot c = 4.5 \cdot 12.5 = 56.25 \implies a = \sqrt{56.25} = 7.5\).
Отговор: \(b_1=8\), \(a_1=4.5\), \(c=12.5\), \(a=7.5\).
