31. Изследване Броя На Решенията На Система Линейни Уравнения

а) \( \begin{cases} 5x - 3y = 9 \\ 3y - x = 4 \end{cases} \)

Стъпка 1: Използване на метода чрез събиране

Забелязваме, че коефициентите пред \( y \) са противоположни (\( -3 \) и \( 3 \)). Събираме двете уравнения почленно: \[ (5x - \cancel{3y}) + (\cancel{3y} - x) = 9 + 4 \] \[ 4x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{4} = 3,25 \]

Стъпка 2: Намиране на \( y \)

Заместваме \( x \) във второто уравнение: \[ 3y - 3,25 = 4 \Rightarrow 3y = 7,25 \Rightarrow y = \frac{7,25}{3} = \frac{29}{12} \] Решението е \( (3,25; 2\frac{5}{12}) \).

б) \( \begin{cases} 5x - 3y = 9 \\ 3y - 5x = 4 \end{cases} \)

Стъпка 1: Почленно събиране

\[ (5x - 3y) + (3y - 5x) = 9 + 4 \] \[ \cancel{5x} - \cancel{3y} + \cancel{3y} - \cancel{5x} = 13 \Rightarrow 0 = 13 \] Тъй като получихме невярно числово равенство, системата няма решение.

в) \( \begin{cases} 5x - 3y = 9 \\ 3y - 5x = -9 \end{cases} \)

Стъпка 1: Почленно събиране

\[ (5x - 3y) + (3y - 5x) = 9 + (-9) \] \[ \cancel{5x} - \cancel{3y} + \cancel{3y} - \cancel{5x} = 0 \Rightarrow 0 = 0 \] Системата има безброй много решения. Изразяваме \( y \) чрез \( x \): \[ 3y = 5x - 9 \Rightarrow y = \frac{5x - 9}{3} \] Решенията са двойките \( (x; \frac{5x - 9}{3}) \) за всяко \( x \in \mathbb{R} \).

г) \( \begin{cases} \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y = -3 \\ 3x - 5y = -15 \end{cases} \)

Стъпка 1: Освобождаване от знаменател

Умножаваме първото уравнение по \( 6 \): \[ x - 2y = -18 \Rightarrow x = 2y - 18 \]

Стъпка 2: Заместване

Заместваме във второто уравнение: \[ 3(2y - 18) - 5y = -15 \Rightarrow 6y - 54 - 5y = -15 \Rightarrow y = 39 \]

Стъпка 3: Намиране на \( x \)

\[ x = 2 \cdot 39 - 18 = 78 - 18 = 60 \] Решението е \( (60; 39) \).

д) \( \begin{cases} \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y = -3 \\ 3x - 6y = -15 \end{cases} \)

Стъпка 1: Опростяване

Първото уравнение по \( 6 \): \( x - 2y = -18 \). Второто уравнение делим на \( 3 \): \( x - 2y = -5 \). Тъй като \( -18 \neq -5 \), системата няма решение.

е) \( \begin{cases} \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y = -3 \\ 3x - 6y = -54 \end{cases} \)

Стъпка 1: Опростяване

Първото уравнение по \( 6 \): \( x - 2y = -18 \). Второто уравнение делим на \( 3 \): \( x - 2y = -18 \). Уравненията съвпадат. Системата има безброй много решения от вида \( (2y - 18; y) \).

ж) \( \begin{cases} 0,1x - 0,2y = -3 \\ 3x - 6y = -18 \end{cases} \)

Стъпка 1: Опростяване

Първото по \( 10 \): \( x - 2y = -30 \). Второто по \( \frac{1}{3} \): \( x - 2y = -6 \). Системата няма решение (\( -30 \neq -6 \)).

з) \( \begin{cases} 0,1x - 0,2y = -3 \\ 6y + 3x = 30 \end{cases} \)

Стъпка 1: Опростяване

\( \begin{cases} x - 2y = -30 \\ x + 2y = 10 \end{cases} \)

Стъпка 2: Събиране

\( 2x = -20 \Rightarrow x = -10 \).

Стъпка 3: Намиране на \( y \)

\( -10 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10 \). Решението е \( (-10; 10) \).

и) \( \begin{cases} 0,1x - 0,2y = -3 \\ 6y - 3x = 90 \end{cases} \)

Стъпка 1: Опростяване

\( \begin{cases} x - 2y = -30 \\ 2y - x = 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 2y = -30 \\ -x + 2y = 30 \end{cases} \) Второто е еквивалентно на първото. Системата има безброй много решения \( (2y - 30; y) \).

а) \( 4x=13 \Rightarrow x=3,25; y=\frac{29}{12} \). б) \( 0=13 \Rightarrow \emptyset \). в) \( 0=0 \Rightarrow (x; \frac{5x-9}{3}) \). г) \( x-2y=-18 \Rightarrow 3(2y-18)-5y=-15 \Rightarrow y=39, x=60 \). д) \( x-2y=-18; x-2y=-5 \Rightarrow \emptyset \). е) \( x-2y=-18; x-2y=-18 \Rightarrow (2y-18; y) \). ж) \( x-2y=-30; x-2y=-6 \Rightarrow \emptyset \). з) \( 2x=-20 \Rightarrow x=-10, y=10 \). и) \( x-2y=-30; -x+2y=30 \Rightarrow (2y-30; y) \).