38. Системи Уравнения От Втора Степен, В Които Двете Уравнения Са От Втора Степен

а) \( \begin{cases} 2x^2 - 2xy + y = 0 \\ y^2 - y - 2 = 0 \end{cases} \)

Стъпка 1: Решаване на второто уравнение

Второто уравнение е квадратно спрямо \( y \). Дискриминантата е \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 \). Корените са \( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).

Стъпка 2: Заместване в първото уравнение

- При \( y = -1 \): \( 2x^2 + 2x - 1 = 0 \). Корените са \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \). - При \( y = 2 \): \( 2x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \). Решенията са: \( (\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; -1), (\frac{-1+\sqrt{3}}{2}; -1), (1; 2) \).

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x^2 + 3y - 7 = 0 \end{cases} \)

Стъпка 1: Елиминиране на \( x^2 \)

Изваждаме второто уравнение от първото: \( (x^2 + y^2) - (x^2 + 3y - 7) = 5 - 0 \Rightarrow \cancel{x^2} + y^2 - \cancel{x^2} - 3y + 7 = 5 \) \( y^2 - 3y + 2 = 0 \). Корените са \( y_1 = 2, y_2 = 1 \).

Стъпка 2: Намиране на \( x \)

- При \( y = 2 \): \( x^2 + 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - При \( y = 1 \): \( x^2 + 1 = 5 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \). Решения: \( (1; 2), (-1; 2), (2; 1), (-2; 1) \).

в) \( \begin{cases} x^2 - 2x + y = 0 \\ 4xy = 4 + y^2 \end{cases} \)

Стъпка 1: Заместване

От първото уравнение \( y = 2x - x^2 \). Заместваме във второто: \( 4x(2x - x^2) = 4 + (2x - x^2)^2 \Rightarrow 8x^2 - 4x^3 = 4 + 4x^2 - 4x^3 + x^4 \) \( \cancel{-4x^3} + 8x^2 = 4 + 4x^2 \cancel{-4x^3} + x^4 \Rightarrow x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \)

Стъпка 2: Решаване за \( x \) и \( y \)

\( (x^2 - 2)^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \). - При \( x = \sqrt{2} \): \( y = 2\sqrt{2} - 2 \). - При \( x = -\sqrt{2} \): \( y = -2\sqrt{2} - 2 \). Решения: \( (\sqrt{2}; 2\sqrt{2}-2), (-\sqrt{2}; -2\sqrt{2}-2) \).

г) \( \begin{cases} x + 2y^2 - y = 0 \\ x^2 - 2xy + 2y^2 = \frac{1}{2} \end{cases} \)

Стъпка 1: Изразяване и заместване

От първото уравнение \( x = y - 2y^2 \). Заместваме във второто (умножено по 2): \( 2(y-2y^2)^2 - 4y(y-2y^2) + 4y^2 = 1 \) \( 2(y^2 - 4y^3 + 4y^4) - 4y^2 + 8y^3 + 4y^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 - 8y^3 + 8y^4 + 8y^3 = 1 \) \( 8y^4 + 2y^2 - 1 = 0 \). Полагаме \( t = y^2 \ge 0 \): \( 8t^2 + 2t - 1 = 0 \). Корени: \( t_1 = \frac{1}{4}, t_2 = -\frac{1}{2} \) (не е решение).

Стъпка 2: Намиране на \( y \) и \( x \)

\( y^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{2} \). - При \( y = \frac{1}{2} \): \( x = \frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = 0 \). - При \( y = -\frac{1}{2} \): \( x = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -1 \). Решения: \( (0; 0,5), (-1; -0,5) \).

д) \( \begin{cases} 5x^2 - y^2 = 19 \\ xy = 2 \end{cases} \)

Изразяваме \( y = \frac{2}{x} \) и заместваме: \( 5x^2 - \frac{4}{x^2} = 19 \Rightarrow 5x^4 - 19x^2 - 4 = 0 \). Полагаме \( t = x^2 \ge 0 \). \( 5t^2 - 19t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \) (другият корен е отрицателен). \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \). - При \( x = 2, y = 1 \). При \( x = -2, y = -1 \). Решения: \( (2; 1), (-2; -1) \).

е) \( \begin{cases} x^2 + y = 2 \\ x + y^2 = 2 \end{cases} \)

Изваждаме уравненията: \( x^2 - y^2 - (x - y) = 0 \Rightarrow (x - y)(x + y - 1) = 0 \). 1) \( x = y \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -2 \). Решения: \( (1; 1), (-2; -2) \). 2) \( y = 1 - x \Rightarrow x^2 + 1 - x = 2 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Решения: \( (1; 1), (-2; -2), (\frac{1+\sqrt{5}}{2}; \frac{1-\sqrt{5}}{2}), (\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}) \).

ж) \( \begin{cases} xy + x^2 = 2 \\ 3x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \)

От първото \( y = \frac{2-x^2}{x} \). Заместваме във второто: \( 3x^2 + \frac{(2-x^2)^2}{x^2} = 4 \Rightarrow 3x^4 + 4 - 4x^2 + x^4 = 4x^2 \Rightarrow 4x^4 - 8x^2 + 4 = 0 \). \( 4(x^2 - 1)^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - При \( x = 1, y = 1 \). При \( x = -1, y = -1 \). Решения: \( (1; 1), (-1; -1) \).

з) \( \begin{cases} x - y + 5xy - 5y^2 = 0 \\ x + y = 1 + xy \end{cases} \)

Разлагаме първото: \( (x - y) + 5y(x - y) = 0 \Rightarrow (x - y)(1 + 5y) = 0 \). 1) \( x = y \Rightarrow 2y = 1 + y^2 \Rightarrow (y-1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1, x = 1 \). 2) \( y = -1/5 \Rightarrow x - 1/5 = 1 - x/5 \Rightarrow \frac{6x}{5} = \frac{6}{5} \Rightarrow x = 1 \). Решения: \( (1; 1), (1; -0,2) \).

и) \( \begin{cases} xy + 3x + y + 3 = 0 \\ x^2 + y^2 + x = 9 \end{cases} \)

Разлагаме първото: \( x(y + 3) + 1(y + 3) = 0 \Rightarrow (x + 1)(y + 3) = 0 \). 1) \( x = -1 \Rightarrow 1 + y^2 - 1 = 9 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \). 2) \( y = -3 \Rightarrow x^2 + 9 + x = 9 \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x = 0, x = -1 \). Решения: \( (-1; 3), (-1; -3), (0; -3) \).

а) \( y^2-y-2=0 \Rightarrow y \in \{2, -1\} \). \( y=2 \Rightarrow x=1 \); \( y=-1 \Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \). б) \( y^2-3y+2=0 \Rightarrow y \in \{1, 2\} \). \( y=1 \Rightarrow x=\pm 2 \); \( y=2 \Rightarrow x=\pm 1 \). в) \( y=2x-x^2 \Rightarrow x^4-4x^2+4=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}, y=\pm 2\sqrt{2}-2 \). г) \( x=y-2y^2 \Rightarrow 8y^4+2y^2-1=0 \Rightarrow y^2=1/4 \Rightarrow (0; 0,5), (-1; -0,5) \). д) \( y=2/x \Rightarrow 5x^4-19x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow (2; 1), (-2; -1) \). е) \( (x-y)(x+y-1)=0 \Rightarrow (1; 1), (-2; -2), (\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}; \frac{1 \mp \sqrt{5}}{2}) \). ж) \( y=(2-x^2)/x \Rightarrow 4(x^2-1)^2=0 \Rightarrow (1; 1), (-1; -1) \). з) \( (x-y)(1+5y)=0 \Rightarrow (1; 1), (1; -0,2) \). и) \( (x+1)(y+3)=0 \Rightarrow (-1; 3), (-1; -3), (0; -3) \).