Най-важното от урока
Аритметична прогресия (АП): Добавяш константа (\(d\)).
\(a_n = a_1 + (n-1)d\); \(S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\).
Геометрична прогресия (ГП): Умножаваш с константа (\(q\)).
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\); \(S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}\).
Проста лихва: \[K_n = K_0 \left(1 + n \cdot \frac{p}{100}\right)\] Сложна лихва:\[K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]
\(a_n = a_1 + (n-1)d\); \(S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\).
Геометрична прогресия (ГП): Умножаваш с константа (\(q\)).
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\); \(S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}\).
Проста лихва: \[K_n = K_0 \left(1 + n \cdot \frac{p}{100}\right)\] Сложна лихва:\[K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]
Числова редица, в която всеки следващ член се получава от предходния чрез прибавяне на постоянно число \(d\), наречено разлика.
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
Формула за сбор на първите n члена: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\)
Формула за сбор на първите n члена: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\)
Свойство: Всеки член (без първия и последния) е средно аритметично на съседните си два: \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).
Редицата 3, 7, 11, 15, ... е аритметична прогресия с първи член \(a_1=3\) и разлика \(d=4\).
За аритметична прогресия са дадени \(a_1=5\) и \(d=2\). Намерете петия член (\(a_5\)).
Прилагаме формулата за n-ти член:
\(a_5 = a_1 + (5-1)d = 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13\).
\(a_5 = a_1 + (5-1)d = 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13\).
Числова редица с ненулеви членове, в която всеки следващ член се получава от предходния чрез умножение с постоянно число \(q \ne 0\), наречено частно.
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
Формула за сбор на първите n члена: \(S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}\)
Формула за сбор на първите n члена: \(S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}\)
Свойство: Квадратът на всеки член (без първия и последния) е равен на произведението на съседните му два: \(a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\).
Редицата 2, 6, 18, 54, ... е геометрична прогресия с първи член \(a_1=2\) и частно \(q=3\).
За геометрична прогресия са дадени \(a_1=3\) и \(q=2\). Намерете четвъртия член (\(a_4\)).
Прилагаме формулата за n-ти член:
\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24\).
\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24\).
Лихва, която се начислява само върху първоначално вложената сума (капитал) за всеки период. Нарасналият капитал през годините образува аритметична прогресия.
\[K_n = K_0 \left(1 + n \cdot \frac{p}{100}\right)\]
\(K_n\) - нараснал капитал след n периода, \(K_0\) - начален капитал, \(p\) - лихвен процент, \(n\) - брой периоди.
Ако вложите 1000 лв. при 5% проста годишна лихва, след 3 години ще имате:
\(K_3 = 1000 \left(1 + 3 \cdot \frac{5}{100}\right) = 1000(1.15) = 1150\) лв.
\(K_3 = 1000 \left(1 + 3 \cdot \frac{5}{100}\right) = 1000(1.15) = 1150\) лв.
Каква ще е сумата след 2 години, ако вложите 500 лв. при 3% проста годишна лихва?
\(K_2 = 500 \left(1 + 2 \cdot \frac{3}{100}\right) = 500(1 + 0.06) = 500 \cdot 1.06 = 530\) лв.
Лихва, която след всеки период се прибавя към капитала и самата тя носи лихва в следващите периоди. Нарасналият капитал през годините образува геометрична прогресия.
\[K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]
\(K_n\) - нараснал капитал след n периода, \(K_0\) - начален капитал, \(p\) - лихвен процент, \(n\) - брой периоди.
Ако вложите 1000 лв. при 5% сложна годишна лихва, след 2 години ще имате:
\(K_2 = 1000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 1000(1.05)^2 = 1000 \cdot 1.1025 = 1102.50\) лв.
\(K_2 = 1000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 1000(1.05)^2 = 1000 \cdot 1.1025 = 1102.50\) лв.
Каква ще е сумата след 2 години, ако вложите 500 лв. при 3% сложна годишна лихва?
\(K_2 = 500 \left(1 + \frac{3}{100}\right)^2 = 500(1.03)^2 = 500 \cdot 1.0609 = 530.45\) лв.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете десетия член на аритметична прогресия с \(a_1=2\) и \(d=5\).
\(a_{10} = a_1 + (10-1)d = 2 + 9 \cdot 5 = 2 + 45 = 47\).
Средна: Първият член на геометрична прогресия е 5, а частното е 2. Намерете сбора на първите 6 члена.
\(S_6 = a_1 \frac{q^6 - 1}{q-1} = 5 \cdot \frac{2^6 - 1}{2-1} = 5 \cdot (64 - 1) = 5 \cdot 63 = 315\).
Трудна: Три числа, чийто сбор е 15, образуват растяща аритметична прогресия. Ако от второто число извадим 1, а останалите оставим без промяна, новите три числа образуват геометрична прогресия. Намерете първоначалните числа.
1. Нека числата от аритметичната прогресия са \(a-d, a, a+d\).
2. Сборът им е \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 15\), откъдето \(a=5\). Числата са \(5-d, 5, 5+d\).
3. Новите числа са \(5-d, 5-1, 5+d\), тоест \(5-d, 4, 5+d\). Те образуват геометрична прогресия.
4. От свойството на геометричната прогресия: \(4^2 = (5-d)(5+d)\).
5. \(16 = 25 - d^2 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3\).
6. Тъй като първоначалната прогресия е растяща, \(d > 0\), следователно \(d=3\).
7. Първоначалните числа са \(5-3, 5, 5+3\), т.е. 2, 5, 8.
2. Сборът им е \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 15\), откъдето \(a=5\). Числата са \(5-d, 5, 5+d\).
3. Новите числа са \(5-d, 5-1, 5+d\), тоест \(5-d, 4, 5+d\). Те образуват геометрична прогресия.
4. От свойството на геометричната прогресия: \(4^2 = (5-d)(5+d)\).
5. \(16 = 25 - d^2 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3\).
6. Тъй като първоначалната прогресия е растяща, \(d > 0\), следователно \(d=3\).
7. Първоначалните числа са \(5-3, 5, 5+3\), т.е. 2, 5, 8.
