Най-важното от урока
Ключови изводи:
- Представяне: Започвайте с представяне на неизвестните числа като членове на аритметична (\(a, a+d, ...\)) или геометрична (\(a, aq, ...\)) прогресия.
- Свойства: Основата на решението е прилагането на характеристичните свойства: \(2y = x+z\) за АП и \(y^2 = x \cdot z\) за ГП.
- Система: Превърнете всички текстови условия в система от уравнения.
- Решаване: Най-често системата се решава чрез заместване или почленно деление, което води до квадратно уравнение.
- Проверка: Винаги проверявайте дали получените решения отговарят на всички изходни условия (напр. положителни числа).
Комбинираните задачи изискват намирането на няколко числа, които едновременно изпълняват условията за аритметична и геометрична прогресия, често след трансформация (събиране/изваждане на числа).
Означете неизвестните числа, като използвате формулите за прогресия.
- Ако образуват аритметична прогресия (АП): \(a, a+d, a+2d, ...\)
- Ако образуват геометрична прогресия (ГП): \(a, aq, aq^2, ...\)
Понякога е по-удобно да се означи средният член (напр. \(a-d, a, a+d\)), за да се опростят сборовете.
Преведете всички условия от задачата в математически уравнения. Използвайте ключовите свойства на прогресиите:
- Свойство на АП: Всеки член (без първия) е средно аритметично на съседните си. За три числа \(x, y, z\), това означава \(2y = x+z\).
- Свойство на ГП: Всеки член (без първия) е средно геометрично на съседните си. За три числа \(x, y, z\), това означава \(y^2 = x \cdot z\).
- Използвайте и другите условия, като сбор на членове, сбор на крайни/средни членове и т.н.
Решете получената система. Често срещан метод е да се разделят почленно двете уравнения, за да се елиминира едната променлива (например \(a\)) и да се получи уравнение само за другата (\(d\) или \(q\)). Обикновено това уравнение е квадратно.
Намерете всички възможни стойности за \(d\) или \(q\), след което намерете и \(a\). Проверете дали получените редици от числа отговарят на всички условия в задачата (напр. да са положителни, естествени и т.н.).
Задача: Три числа образуват ГП. Сборът им е 21. Ако от третото число извадим 3, се получава АП. Намерете числата.
Решение:
Решение:
- Представяне: Числата са \(a, aq, aq^2\).
- Система:
- Сбор: \(a + aq + aq^2 = 21 \implies a(1+q+q^2) = 21\)
- Новите числа \(a, aq, aq^2-3\) образуват АП.
От свойството на АП: \(2(aq) = a + (aq^2-3) \implies 2aq = a+aq^2-3 \implies a(q^2-2q+1) = 3 \implies a(q-1)^2 = 3\)
- Решаване: Делим двете уравнения: \[\frac{a(1+q+q^2)}{a(q-1)^2} = \frac{21}{3} \implies \frac{1+q+q^2}{q^2-2q+1} = 7\] \(1+q+q^2 = 7(q^2-2q+1) \implies 6q^2 - 15q + 6 = 0 \implies 2q^2-5q+2=0\). Корените са \(q_1=2\) и \(q_2=1/2\).
- Анализ:
- Ако \(q=2\), то \(a(2-1)^2=3 \implies a=3\). Числата са 3, 6, 12.
- Ако \(q=1/2\), то \(a(1/2-1)^2=3 \implies a(1/4)=3 \implies a=12\). Числата са 12, 6, 3.
Задачи за упражнение
Лесна: Три положителни числа образуват аритметична прогресия със сбор 15. Ако към тях прибавим съответно 1, 1 и 4, получените числа образуват геометрична прогресия. Намерете първоначалните числа.
Нека числата са \(a-d, a, a+d\).
Сборът им е \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 15 \implies a=5\). Числата са \(5-d, 5, 5+d\).
Новите числа са \((5-d+1), (5+1), (5+d+4)\), т.е. \(6-d, 6, 9+d\).
Те образуват ГП, следователно \(6^2 = (6-d)(9+d)\).
\(36 = 54 + 6d - 9d - d^2 \implies d^2 + 3d - 18 = 0\).
Корените са \(d_1=3\) и \(d_2=-6\).
- При \(d=3\): числата са \(5-3, 5, 5+3\), т.е. 2, 5, 8.
- При \(d=-6\): числата са \(5-(-6), 5, 5-6\), т.е. 11, 5, -1. Това решение отпада, защото се искат положителни числа.
Средна: Четири числа са такива, че първите три образуват геометрична прогресия, а последните три – аритметична прогресия. Сборът на крайните числа е 37, а сборът на средните е 36. Намерете числата.
Нека първите три числа са \(a, aq, aq^2\). Последните три са \(aq, aq^2, x\) и образуват АП, следователно \(2(aq^2) = aq + x \implies x = 2aq^2 - aq\).
Четирите числа са: \(a, aq, aq^2, 2aq^2-aq\).
От условията съставяме система:
- Сбор на крайните: \(a + (2aq^2-aq) = 37 \implies a(1-q+2q^2) = 37\)
- Сбор на средните: \(aq + aq^2 = 36 \implies aq(1+q) = 36\)
- При \(q=9/7\): \(a \cdot \frac{9}{7}(1+\frac{9}{7}) = 36 \implies a \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{16}{7} = 36 \implies a = \frac{49}{4}\). Числата са 49/4, 63/4, 81/4, 99/4.
- При \(q=4/5\): \(a \cdot \frac{4}{5}(1+\frac{4}{5}) = 36 \implies a \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{5} = 36 \implies a = 25\). Числата са 25, 20, 16, 12.
Трудна: Дадени са аритметична прогресия \(a_1, a_2, a_3\) и геометрична прогресия \(b_1, b_2, b_3\). Известно е, че \(a_1=b_1\), \(a_2=b_2\) и \(a_3=b_3-8\). Намерете прогресиите, ако \(a_1+a_2+a_3=33\).
Нека АП е \(a, a+d, a+2d\). Сборът им е \(3a+3d=33 \implies a+d=11 \implies a_2=11\).
Оттук \(a_1 = 11-d\) и \(a_3=11+d\).
От условията за ГП \(b_1, b_2, b_3\):
- \(b_1 = a_1 = 11-d\)
- \(b_2 = a_2 = 11\)
- \(b_3 = a_3+8 = (11+d)+8 = 19+d\)
