Най-важното от урока
Основна формула: \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R\).
Приложение: Позволява да се намери неизвестна страна, ъгъл или радиус на описаната окръжност.
За намиране на страна: Ако знаете ъгъла срещу нея и друга двойка "страна/синус", например \(a = \frac{c \cdot \sin\alpha}{\sin\gamma}\).
За намиране на радиус: Нужни са ви само една страна и ъгълът срещу нея, например \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\).
Приложение: Позволява да се намери неизвестна страна, ъгъл или радиус на описаната окръжност.
За намиране на страна: Ако знаете ъгъла срещу нея и друга двойка "страна/синус", например \(a = \frac{c \cdot \sin\alpha}{\sin\gamma}\).
За намиране на радиус: Нужни са ви само една страна и ъгълът срещу нея, например \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\).
За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ѝ ъгъл е константа, равна на диаметъра (\(2R\)) на описаната около триъгълника окръжност.
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
където \(a, b, c\) са страните, \(\alpha, \beta, \gamma\) са съответните им срещулежащи ъгли, а \(R\) е радиусът на описаната окръжност.
Теоремата се използва за намиране на неизвестни елементи на триъгълник, когато са дадени:
- Два ъгъла и една страна.
- Две страни и ъгъл срещу една от тях.
1. Намиране на радиуса R: \[ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \] Следователно, \(R = 10\sqrt{2}\) cm.
2. Намиране на страната b: Първо намираме третия ъгъл: \(\beta = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ\). \[ \frac{b}{\sin\beta} = 2R \Rightarrow b = 2R \cdot \sin\beta = 20\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ \] Тъй като \(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), получаваме: \[ b = 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 5(\sqrt{12}+2) = 5(2\sqrt{3}+2) = 10(1+\sqrt{3}) \text{ cm} \]
Даден е \(\triangle ABC\) със страна \(c = 15\) cm, \(\gamma=60^\circ\) и \(\alpha=45^\circ\). Намерете страната \(a\).
От синусова теорема: \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}\)
\[ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{15}{\sin 60^\circ} \]
\[ a = 15 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = 15 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 15 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{6}}{3} = 5\sqrt{6} \text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е \(\triangle ABC\) със страна \(b = 24\) cm и ъгъл \(\beta = 30^\circ\). Намерете радиуса \(R\) на описаната около триъгълника окръжност.
Прилагаме синусова теорема: \(\frac{b}{\sin\beta} = 2R\).
\[ 2R = \frac{24}{\sin 30^\circ} = \frac{24}{1/2} = 48 \text{ cm} \]
\[ R = 24 \text{ cm} \]
Отговор: \(R = 24\) cm.
Първо намираме ъгъл \(\beta\):
\[ \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Сега прилагаме синусова теорема: \(\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\).
\[ \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{\sin 105^\circ} \]
Знаем, че \(\sin 105^\circ = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
\[ b = 18 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = 18 \cdot \frac{1/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = 18 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{36}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \]
Рационализираме знаменателя:
\[ b = \frac{36(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{36(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{36(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 9(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \]
Отговор: \(b = 9(\sqrt{6}-\sqrt{2})\).
Трудна: В равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC = BC\)) основата \(AB = 12\) cm, а ъгълът при върха \(C\) е \(\gamma = 30^\circ\). Намерете дължината на бедрото и радиуса на описаната окръжност.
1. Намираме ъглите при основата \(\alpha\) и \(\beta\). Тъй като триъгълникът е равнобедрен, \(\alpha = \beta\).
\[ \alpha = \beta = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \]
2. Намираме радиуса \(R\) чрез основата \(c=AB=12\) и ъгъл \(\gamma = 30^\circ\).
\[ \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{1/2} = 24 \text{ cm} \]
\[ R = 12 \text{ cm} \]
3. Намираме бедрото \(b=AC\) чрез \(\beta=75^\circ\) и вече намерения диаметър \(2R=24\).
\[ \frac{b}{\sin\beta} = 2R \Rightarrow b = 24 \cdot \sin 75^\circ \]
Тъй като \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\):
\[ b = 24 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 6(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \text{ cm} \]
Отговор: Бедрото е \(6(\sqrt{6}+\sqrt{2})\) cm, а радиусът на описаната окръжност е \(12\) cm.
