Най-важното от урока
Събиране и Изваждане на Многоцифрени Числа без Преминаване
Устно смятане: При числа, завършващи на нули (кръгли хиляди, милиони), се извършва действие само с числата преди нулите, след което се дописва съответният брой нули.
\[ 65\,000 + 3\,000 = 65 \text{ хил.} + 3 \text{ хил.} = 68 \text{ хил.} = 68\,000 \]
\[ 256\,000\,000 - 146\,000\,000 = 110\,000\,000 \]
Писмено смятане: Числата се записват едно под друго, така че да съвпадат съответните разреди (единици под единици, десетици под десетици, стотици под стотици и т.н.). Действието започва винаги от най-ниския разред (отдясно наляво).
\[
\begin{array}{r@{\quad}cr}
548\,123 & & 392\,873 \\
+\quad 175 & \text{и} & -\quad 251 \\
\hline
548\,298 & & 392\,622
\end{array}
\]
Пресметнете разликата: \(813\,955 - 3\,005\).
Подреждаме по разреди и изваждаме:
\[
\begin{array}{r}
813\,955 \\
-\quad 3\,005 \\
\hline
810\,950
\end{array}
\]
Неизвестно събираемо (\(x + b = c\)):
\[ x = c - b \quad (\text{от сбора изваждаме известното събираемо}) \]
Пример: \(x + 24\,561 = 396\,564 \implies x = 396\,564 - 24\,561 = 371\,999\)
Неизвестно умаляемо (\(x - b = c\)):
\[ x = c + b \quad (\text{към разликата прибавяме умалителя}) \]
Пример: \(x - 6\,470 = 352\,502 \implies x = 352\,502 + 6\,470 = 358\,972\)
Неизвестен умалител (\(a - x = b\)):
\[ x = a - b \quad (\text{от умаляемото изваждаме разликата}) \]
Пример: \(2\,078 - x = 1\,051 \implies x = 2\,078 - 1\,051 = 1\,027\)
За да проверим дали намерената стойност е правилна, заместваме полученото число на мястото на неизвестното в първоначалния израз.
Намерете неизвестното число: \(57\,000 - x = 21\,000\).
Тъй като търсим умалител, изваждаме разликата от умаляемото:
\[ x = 57\,000 - 21\,000 = 36\,000 \]
Проверка: \(57\,000 - 36\,000 = 21\,000\).
Права форма: Отношенията между величините са изразени директно (например „с \(X\) повече“ означава събиране, а „с \(X\) по-малко“ означава изваждане).
Косвена форма: Условието описва първата величина спрямо втората чрез изрази като „което е с ... по-голямо/по-малко“. За да намерим търсената величина, прилагаме противоположното действие.
Косвена форма: „Васил купил компютър за \(2\,346\) лв., което е с \(1\,206\) лв. повече от цената на телевизора.“
Следствие: Телевизорът е с \(1\,206\) лв. по-евтин от компютъра: \[ \text{Цена на телевизора} = 2\,346 - 1\,206 = 1\,140\text{ лв.} \]
Следствие: Телевизорът е с \(1\,206\) лв. по-евтин от компютъра: \[ \text{Цена на телевизора} = 2\,346 - 1\,206 = 1\,140\text{ лв.} \]
При пресмятане на разстояния внимавайте с мерните единици: \(1\text{ км} = 1\,000\text{ м}\).
Първата отсечка е дълга \(3\text{ км } 250\text{ м}\), което е с \(450\text{ м}\) по-малко от втората. Колко е дълга втората отсечка?
Задачата е в косвена форма: първата е с \(450\text{ м}\) по-малка, следователно втората е с \(450\text{ м}\) по-голяма.
Преобразуваме в метри: \(3\text{ км } 250\text{ м} = 3\,250\text{ м}\). \[ 3\,250 + 450 = 3\,700\text{ м} = 3\text{ км } 700\text{ м} \]
Преобразуваме в метри: \(3\text{ км } 250\text{ м} = 3\,250\text{ м}\). \[ 3\,250 + 450 = 3\,700\text{ м} = 3\text{ км } 700\text{ м} \]
Основната мерна единица за големина на ъгъл е градус (\(^\circ\)).
Пълното завъртане на лъч около върха му до първоначалното положение описва окръжност и образува ъгъл от \(360^\circ\).
| Вид ъгъл | Големина в градуси | Особеност |
|---|---|---|
| Остър ъгъл | по-малък от \(90^\circ\) (\(< 90^\circ\)) | По-тесен от правия ъгъл |
| Прав ъгъл | точно \(90^\circ\) | Раменете му са взаимно перпендикулярни |
| Тъп ъгъл | по-голям от \(90^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\) | По-широк от правия ъгъл |
| Изправен ъгъл | точно \(180^\circ\) | Раменете му лежат на една права линия |
Определете вида на ъглите с мерки: \(45^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), \(180^\circ\).
- \(45^\circ\) - остър ъгъл (по-малък от \(90^\circ\));
- \(90^\circ\) - прав ъгъл;
- \(135^\circ\) - тъп ъгъл (по-голям от \(90^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\));
- \(180^\circ\) - изправен ъгъл.
Транспортир (ъгломер) е инструмент за измерване и чертане на ъгли, чиято скала обикновено е разграфена от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).
Поставете центъра на транспортира точно върху върха на ъгъла.
Завъртете транспортира така, че нулевото деление (\(0^\circ\)) да легне точно по едното рамо на ъгъла.
Отчетете делението по скалата, през което минава второто рамо (при чертане отбележете точка с молив срещу желаната градусна мярка и я свържете с върха чрез линийка).
Тъй като цялата окръжност съдържа \(360^\circ\), за да се раздели тя на \(n\) равни части, трябва от центъра ѝ да се построят ъгли с мярка:
\[ \text{ъгъл на всяка част} = 360^\circ : n \]
За разделяне на окръжност на 3 равни части:
\[ 360^\circ : 3 = 120^\circ \]
Изчертават се три ъгъла с общ връх в центъра на окръжността, всеки с големина \(120^\circ\).
На колко градуса трябва да бъде равен всеки ъгъл при разделяне на окръжност на 4 равни части?
Разделяме пълния ъгъл на броя на частите:
\[ 360^\circ : 4 = 90^\circ \]
Всеки ъгъл трябва да бъде прав (\(90^\circ\)).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Пресметнете стойността на израза:
\[ 623\,125 + 13\,452 - 25\,000 \]
1. Извършваме събирането:
\[
\begin{array}{r}
623\,125 \\
+\quad 13\,452 \\
\hline
636\,577
\end{array}
\]
2. Извършваме изваждането:
\[
\begin{array}{r}
636\,577 \\
-\quad 25\,000 \\
\hline
611\,577
\end{array}
\]
Отговор: \(611\,577\)
Задача 2 (Средна): Намерете неизвестното число \(x\) от равенството:
\[ 1\,257 - x = 1\,005 + 131 \]
Първо изчисляваме сбора отдясно:
\[ 1\,005 + 131 = 1\,136 \]
Получаваме уравнението:
\[ 1\,257 - x = 1\,136 \]
Тъй като \(x\) е умалител, изваждаме разликата от умаляемото:
\[ x = 1\,257 - 1\,136 = 121 \]
Отговор: \(x = 121\)
Задача 3 (Средна): Фабрика произвела червени и зелени тетрадки. Червените били \(17\,520\). От тях продали \(3\,210\), а от зелените продали \(5\,640\), след което от двата вида останали по равен брой тетрадки. Колко зелени тетрадки са били произведени?
1. Намираме останалите червени тетрадки:
\[ 17\,520 - 3\,210 = 14\,310 \]
2. Толкова са останали и от зелените тетрадки. За да намерим първоначалния им брой, прибавяме продадените:
\[ 14\,310 + 5\,640 = 19\,950 \]
Отговор: Произведени са \(19\,950\) зелени тетрадки.
Задача 4 (Трудна): Окръжност е разделена на 6 равни части чрез радиуси, излизащи от центъра ѝ.
а) Намерете големината на получения ъгъл за всяка част и определете вида му.
б) Какъв по вид ъгъл се образува, ако обединим 2 съседни такива части? А ако обединим 3?
а) Намерете големината на получения ъгъл за всяка част и определете вида му.
б) Какъв по вид ъгъл се образува, ако обединим 2 съседни такива части? А ако обединим 3?
а) Тъй като окръжността описва \(360^\circ\):
\[ 360^\circ : 6 = 60^\circ \]
Ъгълът от \(60^\circ\) е остър ъгъл (тъй като \(60^\circ < 90^\circ\)).
б) При обединяване на 2 части: \[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Полученият ъгъл от \(120^\circ\) е тъп ъгъл (\(90^\circ < 120^\circ < 180^\circ\)).
При обединяване на 3 части: \[ 60^\circ \cdot 3 = 180^\circ \] Полученият ъгъл от \(180^\circ\) е изправен ъгъл.
б) При обединяване на 2 части: \[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Полученият ъгъл от \(120^\circ\) е тъп ъгъл (\(90^\circ < 120^\circ < 180^\circ\)).
При обединяване на 3 части: \[ 60^\circ \cdot 3 = 180^\circ \] Полученият ъгъл от \(180^\circ\) е изправен ъгъл.
Събиране и Изваждане на Многоцифрени Числа с Преминаване
Събирането и изваждането на многоцифрени числа се извършва по разряди. Когато сборът надхвърли 9 или когато умаляемото е по-малко от умалителя, се налага преминаване (заемане или пренасяне).
Числата се записват едно под друго, като единиците са под единиците, десетиците – под десетиците, стотиците – под стотиците и т.н.
Действието започва винаги по редове от дясно наляво (от най-ниския разряд към най-високия).
При събиране: ако единиците в даден ред са повече от 9, десетицата преминава като една единица в следващия по-висок ред.
При изваждане: ако цифрата на умаляемото е по-малка от тази на умалителя, се заема една единица от следващия по-висок ред, която е равна на 10 единици от текущия ред.
Рационално пресмятане: При събиране на три или повече числа можем да групираме събираемите за по-лесно пресмятане:
\[ (2346 + 7654) + 5180 = 10000 + 5180 = 15180 \]
Пресметнете разликата \( 10000 - 342 \).
При изваждането заемаме от хилядите през всички разряди до единиците.
От 10 единици изваждаме 2 = 8. В десетиците остават 9: \(9 - 4 = 5\). В стотиците остават 9: \(9 - 3 = 6\). В хилядите остават 9: \(9 - 0 = 9\).
Отговор: \( 9658 \)
От 10 единици изваждаме 2 = 8. В десетиците остават 9: \(9 - 4 = 5\). В стотиците остават 9: \(9 - 3 = 6\). В хилядите остават 9: \(9 - 0 = 9\).
Отговор: \( 9658 \)
Обиколка (Периметър) на геометрична фигура е сборът от дължините на всички нейни страни.
Обиколката се означава с главната латинска буква P.
Формули за намиране на обиколка:
- Триъгълник (с различни страни): \( P = a + b + c \)
- Равностранен триъгълник: \( P = 3 \cdot a \)
- Правоъгълник: \( P = (a + b) \cdot 2 \) или \( P = 2 \cdot a + 2 \cdot b \)
- Квадрат: \( P = 4 \cdot a \)
- Многоъгълник с равни страни (напр. петоъгълник): \( P = n \cdot a \) (където \(n\) е броят на страните)
Обиколката на правоъгълник със страни 3 см и 4 см е:
\[ P = (3 + 4) \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см} \]
За разлика от геометричните фигури, геометричните тела имат обем (заемат място в пространството). Примери за такива са: куб, правоъгълен паралелепипед, пирамида, цилиндър, конус и кълбо.
Стена – плоската повърхност, която оформя тялото. При правоъгълния паралелепипед стените са правоъгълници, а при куба – квадрати.
Ръб – линията, където се срещат две стени.
Връх – точката, където се срещат три ръба. Върховете се означават с главни латински букви (\(A, B, C...\)).
Кубът и правоъгълният паралелепипед имат еднакъв брой елементи:
- 6 стени
- 12 ръба
- 8 върха
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете сбора и разликата на числата \( 358 471 \) и \( 43 362 \).
Сбор:
\( 358 471 + 43 362 = 401 833 \)
Разлика:
\( 358 471 - 43 362 = 315 109 \)
\( 358 471 + 43 362 = 401 833 \)
Разлика:
\( 358 471 - 43 362 = 315 109 \)
Средна: Правоъгълник има обиколка 142 см и едната му страна е 43 см. Намерете дължината на другата страна.
Използваме формулата за обиколка на правоъгълник: \( P = (a + b) \cdot 2 \).
Сборът от двете съседни страни (\(a + b\)) е половината от обиколката:
\( 142 : 2 = 71 \text{ см} \)
Изваждаме дадената страна, за да намерим неизвестната:
\( 71 - 43 = 28 \text{ см} \)
Отговор: Другата страна е 28 см.
Сборът от двете съседни страни (\(a + b\)) е половината от обиколката:
\( 142 : 2 = 71 \text{ см} \)
Изваждаме дадената страна, за да намерим неизвестната:
\( 71 - 43 = 28 \text{ см} \)
Отговор: Другата страна е 28 см.
Трудна: Обиколката на правоъгълник е равна на обиколката на равностранен триъгълник със страна 80 см. Ако едната страна на правоъгълника е 85 см, колко сантиметра е втората му страна?
1. Намираме обиколката на равностранния триъгълник:
\( P = 3 \cdot 80 = 240 \text{ см} \).
2. Обиколката на правоъгълника също е 240 см.
3. Сборът на двете съседни страни на правоъгълника е половината от периметъра:
\( 240 : 2 = 120 \text{ см} \).
4. Намираме неизвестната страна, като извадим известната (85 см) от половинката периметър:
\( 120 - 85 = 35 \text{ см} \).
Отговор: Втората страна е 35 см.
\( P = 3 \cdot 80 = 240 \text{ см} \).
2. Обиколката на правоъгълника също е 240 см.
3. Сборът на двете съседни страни на правоъгълника е половината от периметъра:
\( 240 : 2 = 120 \text{ см} \).
4. Намираме неизвестната страна, като извадим известната (85 см) от половинката периметър:
\( 120 - 85 = 35 \text{ см} \).
Отговор: Втората страна е 35 см.
Числата над 1000
Числата, които използваме за броене на предмети (\(1, 2, 3, 4, 5, \dots\)), се наричат естествени числа.
Числото \(0\) не е естествено число.
- Най-малкото естествено число е \(1\).
- Няма най-голямо естествено число – естествените числа са безброй много.
- Всяко следващо число в редицата се получава, като към предходното се прибави \(1\).
Кое е следващото естествено число след \(999\) и кое е предходното на \(500\)?
Следващото след \(999\) е \(999 + 1 = 1000\).
Предходното на \(500\) е \(500 - 1 = 499\).
Предходното на \(500\) е \(500 - 1 = 499\).
Десетичната бройна система е позиционна – всяка цифра има стойност според реда (позицията), на който се намира. \(10\) единици от един ред образуват \(1\) единица от следващия по-висок ред:
\[ 10 \text{ ед.} = 1 \text{ дес.}, \quad 10 \text{ дес.} = 1 \text{ стом.}, \quad 10 \text{ хил.} = 1 \text{ десетохил.} \]
За удобство всеки три последователни реда се обединяват в клас (отдясно наляво):
- Клас на единиците: ред на единиците, ред на десетиците, ред на стотиците.
- Клас на хилядите: ред на хилядите, ред на десетохилядите, ред на стохилядите.
- Клас на милионите: ред на милионите, ред на десетомилионите, ред на стомилионите.
- Най-малкото четирицифрено число е \(1\ 000\), а най-голямото е \(9\ 999\).
- Най-малкото петцифрено число е \(10\ 000\), а най-голямото е \(99\ 999\).
- Най-малкото шестцифрено число е \(100\ 000\) (сто хиляди), а най-голямото е \(999\ 999\).
- Най-малкото седемцифрено число е \(1\ 000\ 000\) (един милион).
- Най-малкото десетцифрено число е \(1\ 000\ 000\ 000\) (един милиард).
При четене и писане цифрите се разделят на групи по три (класове) с малък интервал, като първо се прочита броят на единиците в съответния клас, последван от името на класа (например: \(384\ 403\) – „триста осемдесет и четири хиляди четиристотин и три“).
Запишете с цифри числото: „седемдесет и осем хиляди и единадесет“.
Числото има \(78\) хиляди, \(0\) стотици, \(1\) десетица и \(1\) единица:
Отговор: \(78\ 011\)
Отговор: \(78\ 011\)
1. Числа с различен брой цифри: По-голямо е числото с повече цифри.
Пример: \(30\ 003 > 3\ 003\) (петцифреното число е по-голямо от четирицифреното).
Пример: \(30\ 003 > 3\ 003\) (петцифреното число е по-голямо от четирицифреното).
2. Числа с равен брой цифри: Сравняват се цифрите от най-високия ред към по-ниските редове (отляво надясно). По-голямо е числото, чиято цифра в първия различаващ се ред е по-голяма.
Пример: При \(268\ 374\) и \(267\ 954\) стохилядите (\(2=2\)) и десетохилядите (\(6=6\)) са еднакви, но при хилядите \(8 > 7\). Следователно \(268\ 374 > 267\ 954\).
Пример: При \(268\ 374\) и \(267\ 954\) стохилядите (\(2=2\)) и десетохилядите (\(6=6\)) са еднакви, но при хилядите \(8 > 7\). Следователно \(268\ 374 > 267\ 954\).
Сравнете числата \(983\ 125\) и \(983\ 200\).
Броят на цифрите е равен (шестцифрени).
Стохилядите (\(9=9\)), десетохилядите (\(8=8\)) и хилядите (\(3=3\)) съвпадат.
При стотиците имаме \(1 < 2\).
Отговор: \(983\ 125 < 983\ 200\)
Стохилядите (\(9=9\)), десетохилядите (\(8=8\)) и хилядите (\(3=3\)) съвпадат.
При стотиците имаме \(1 < 2\).
Отговор: \(983\ 125 < 983\ 200\)
Римската бройна система е непозиционна и използва букви:
\[ \text{I} = 1, \quad \text{V} = 5, \quad \text{X} = 10, \quad \text{L} = 50, \quad \text{C} = 100, \quad \text{D} = 500, \quad \text{M} = 1\ 000 \]
Основни правила за образуване:
- Буквите \(\text{I, X, C, M}\) могат да се повтарят до три пъти последователно; \(\text{V, L, D}\) се пишат само по един път.
- Ако по-малка цифра е записана вдясно от по-голяма, стойностите се събират: \[ \text{VI} = 5 + 1 = 6, \quad \text{XV} = 10 + 5 = 15 \]
- Ако по-малка цифра е записана вляво от по-голяма, нейната стойност се изважда: \[ \text{IV} = 5 - 1 = 4, \quad \text{IX} = 10 - 1 = 9, \quad \text{XL} = 50 - 10 = 40 \]
- Ако годината завършва на \(00\), векът съответства точно на броя на стотиците (напр. \(500\text{ г.} \rightarrow \text{V в.}\)).
- Ако годината има десетици или единици, различни от нула, към броя на стотиците се добавя \(1\) (напр. \(681\text{ г.} \rightarrow 6 + 1 = 7 \rightarrow \text{VII в.}\)).
Запишете числото \(14\) с римски цифри и определете в кой век е \(1879\text{ г.}\)
1) \(14 = 10 + 4 = \text{X} + \text{IV} = \text{XIV}\).
2) В числото \(1879\) стотиците са \(18\). Тъй като не завършва на \(00\), прибавяме \(1\): \(18 + 1 = 19\).
Отговор: \(14 = \text{XIV}\); \(1879\text{ г.}\) е през \(\text{XIX в.}\)
2) В числото \(1879\) стотиците са \(18\). Тъй като не завършва на \(00\), прибавяме \(1\): \(18 + 1 = 19\).
Отговор: \(14 = \text{XIV}\); \(1879\text{ г.}\) е през \(\text{XIX в.}\)
Окръжност е затворена крива линия, всички точки на която се намират на едно и също разстояние от една точка, наречена център (\(O\)).
Радиус (\(r\)): Отсечка, която свързва центъра с произволна точка от окръжността. Всички радиуси в една окръжност имат еднаква дължина.
Диаметър (\(d\)): Отсечка, която свързва две точки от окръжността и минава през нейния център.
\[ d = 2 \cdot r \quad \text{или} \quad r = d : 2 \]
Дължината на диаметъра е два пъти по-голяма от дължината на радиуса.
- Определя се и се отбелязва точка \(O\) (център).
- Пергелът се разтваря на разстояние, точно равно на желания радиус \(r\).
- Острието се поставя в точка \(O\), а писецът очертава окръжността с едно непрекъснато завъртане.
Окръжност има диаметър \(d = 12\text{ cm}\). Намерете радиуса ѝ \(r\).
\(r = d : 2 = 12 : 2 = 6\text{ cm}\).
Отговор: Радиусът е \(6\text{ cm}\).
Отговор: Радиусът е \(6\text{ cm}\).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): В числото \(482\ 315\):
а) Коя е цифрата на десетохилядите?
б) Коя е цифрата на стотиците?
а) Коя е цифрата на десетохилядите?
б) Коя е цифрата на стотиците?
Разглеждаме позицията на всяка цифра отдясно наляво (ед. – 5, дес. – 1, стом. – 3, хил. – 2, десетохил. – 8, стохил. – 4):
а) Цифрата на десетохилядите е 8.
б) Цифрата на стотиците е 3.
а) Цифрата на десетохилядите е 8.
б) Цифрата на стотиците е 3.
Задача 2 (Средна): Подредете по големина във възходящ ред (от най-малкото към най-голямото) следните числа:
\[ 74\ 057, \quad 7\ 405, \quad 74\ 507, \quad 74\ 050 \]
1. Най-малко е четирицифреното число: \(7\ 405\).
2. При петцифрените числа сравняваме цифрите на хилядите (всички имат 74 хил.):
- \(74\ 050\) има 0 стотици, 5 десетици, 0 единици;
- \(74\ 057\) има 0 стотици, 5 десетици, 7 единици;
- \(74\ 507\) има 5 стотици.
Подреждане: \(7\ 405 < 74\ 050 < 74\ 057 < 74\ 507\).
2. При петцифрените числа сравняваме цифрите на хилядите (всички имат 74 хил.):
- \(74\ 050\) има 0 стотици, 5 десетици, 0 единици;
- \(74\ 057\) има 0 стотици, 5 десетици, 7 единици;
- \(74\ 507\) има 5 стотици.
Подреждане: \(7\ 405 < 74\ 050 < 74\ 057 < 74\ 507\).
Задача 3 (Средна): Начертана е окръжност с център \(O\) и радиус \(r = 5\text{ cm}\). Точките \(A\) и \(B\) лежат на окръжността, а отсечката \(AB\) има дължина \(7\text{ cm}\). Намерете обиколката \(P\) на триъгълника \(ABO\).
Страните на триъгълника \(ABO\) са отсечките \(OA\), \(OB\) и \(AB\).
Тъй като \(A\) и \(B\) лежат на окръжността, отсечките \(OA\) и \(OB\) са радиуси: \[ OA = OB = r = 5\text{ cm} \] Обиколката е сбор от дължините на трите страни: \[ P = OA + OB + AB = 5 + 5 + 7 = 17\text{ cm} \] Отговор: \(17\text{ cm}\).
Тъй като \(A\) и \(B\) лежат на окръжността, отсечките \(OA\) и \(OB\) са радиуси: \[ OA = OB = r = 5\text{ cm} \] Обиколката е сбор от дължините на трите страни: \[ P = OA + OB + AB = 5 + 5 + 7 = 17\text{ cm} \] Отговор: \(17\text{ cm}\).
Задача 4 (Трудна): Като използвате веднъж всяка от цифрите \(0, 3, 4, 6\) и \(9\), съставете:
а) Най-малкото петцифрено число;
б) Намерете сбора от цифрата на десетохилядите и цифрата на единиците на това число.
а) Най-малкото петцифрено число;
б) Намерете сбора от цифрата на десетохилядите и цифрата на единиците на това число.
а) Числото не може да започва с \(0\), затова на първо място (десетохиляди) избираме най-малката възможна цифра – \(3\).
За да бъде възможно най-малко числото, следващите позиции подреждаме във възходящ ред: \(0, 4, 6, 9\).
Полученото най-малко петцифрено число е \(30\ 469\).
б) Цифрата на десетохилядите е \(3\), а цифрата на единиците е \(9\): \[ 3 + 9 = 12 \] Отговор: а) \(30\ 469\); б) \(12\).
За да бъде възможно най-малко числото, следващите позиции подреждаме във възходящ ред: \(0, 4, 6, 9\).
Полученото най-малко петцифрено число е \(30\ 469\).
б) Цифрата на десетохилядите е \(3\), а цифрата на единиците е \(9\): \[ 3 + 9 = 12 \] Отговор: а) \(30\ 469\); б) \(12\).
Умножение на Многоцифрено Число с Едноцифрено Число
Умножението се извършва, като едноцифреното число се умножава последователно с всяка цифра на многоцифреното число, като се започва отдясно наляво (от единиците към по-големите разряди).
Умножаваме единиците. Ако се получи двуцифрено число, записваме единиците му, а десетиците "пренасяме наум" към следващия разряд.
Умножаваме десетиците и към резултата прибавяме пренесеното наум число от предишната стъпка. Повтаряме процеса за всички разряди.
Да пресметнем \(1247 \cdot 5\).
- \(7 \cdot 5 = 35\). Пишем 5, пренасяме 3 десетици.
- \(4 \cdot 5 = 20\). \(20 + 3 = 23\). Пишем 3, пренасяме 2 стотици.
- \(2 \cdot 5 = 10\). \(10 + 2 = 12\). Пишем 2, пренасяме 1 хиляда.
- \(1 \cdot 5 = 5\). \(5 + 1 = 6\). Пишем 6.
Пресметнете \(3108 \cdot 4\).
Отговор: \(3108 \cdot 4 = 12432\).
Това свойство позволява да се опростят изрази, в които има общ множител.
\[ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \]
\[ (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c \]
Пресметнете \(32315 \cdot 7 - 1315 \cdot 7\) по-лесно, като използвате свойството:
\[ (32315 - 1315) \cdot 7 = 31000 \cdot 7 = 217000 \]
Вместо две сложни умножения, извършваме едно лесно изваждане и едно умножение.
Пресметнете по лесен начин израза \(4520 \cdot 3 + 480 \cdot 3\).
\( (4520 + 480) \cdot 3 = 5000 \cdot 3 = 15000 \).
Неизвестно делимо намираме, като умножим частното по делителя.
Ако \( \square : b = c \), тогава \( \square = b \cdot c \).
Намерете неизвестното делимо в \( \square : 8 = 992 \).
\[ \square = 992 \cdot 8 = 7936 \]
Намерете неизвестното число: \( x : 6 = 1500 \).
\( x = 1500 \cdot 6 = 9000 \).
Лице (площ) наричаме мястото, което една геометрична фигура заема. Означаваме го с \(S\).
Лице на правоъгълник със страни \(a\) и \(b\):
\[ S = a \cdot b \]
Лице на квадрат със страна \(a\):
\[ S = a \cdot a \]
Правоъгълник има дължина 10 см и широчина 4 см. Лицето му е:
\[ S = 10 \cdot 4 = 40 \text{ кв. см} \]
Намерете лицето на квадрат със страна 7 м.
\( S = 7 \cdot 7 = 49 \) кв. м.
Основни мерни единици са: квадратен милиметър (\( \text{кв. мм} \)), квадратен сантиметър (\( \text{кв. см} \)), квадратен метър (\( \text{кв. м} \)) и декар (\( \text{dka} \)).
\( 1 \text{ dka} = 1000 \text{ кв. м} \)
Преди да пресметнете лице, винаги се уверявайте, че страните на фигурата са в една и съща мерна единица!
Намерете лицето на правоъгълник със страни 2 м и 30 см в кв. см.
Първо превръщаме метрите в сантиметри: \( 2 \text{ м} = 200 \text{ см} \).
След това изчисляваме лицето: \( S = 200 \cdot 30 = 6000 \text{ кв. см} \).
Първо превръщаме метрите в сантиметри: \( 2 \text{ м} = 200 \text{ см} \).
След това изчисляваме лицето: \( S = 200 \cdot 30 = 6000 \text{ кв. см} \).
Намерете лицето на правоъгълник със страни 50 мм и 4 см в кв. мм.
Превръщаме \(4 \text{ см} = 40 \text{ мм}\).
Лицето е \( S = 50 \cdot 40 = 2000 \text{ кв. мм} \).
Лицето е \( S = 50 \cdot 40 = 2000 \text{ кв. мм} \).
Лицето на фигури с неправилна форма може да се намери по два основни начина:
Разделяме сложната фигура на няколко по-прости правоъгълници, намираме лицето на всеки от тях и накрая ги събираме.
Допълваме фигурата до голям правоъгълник и от неговото лице изваждаме лицето на "излишната" част.
Фигура е съставена от два залепени правоъгълника: един с размери 5м на 3м и втори с размери 2м на 4м. Какво е общото лице на фигурата?
Използваме метода на разделянето (фигурата вече е разделена).
\( S_1 = 5 \cdot 3 = 15 \) кв. м.
\( S_2 = 2 \cdot 4 = 8 \) кв. м.
Общо лице: \( S = S_1 + S_2 = 15 + 8 = 23 \) кв. м.
\( S_1 = 5 \cdot 3 = 15 \) кв. м.
\( S_2 = 2 \cdot 4 = 8 \) кв. м.
Общо лице: \( S = S_1 + S_2 = 15 + 8 = 23 \) кв. м.
Текстовите задачи могат да бъдат представени с един числов израз, който описва всички стъпки за решаването им. Редът на действията е важен.
Задача: Галя прочела книга от 96 страници, а втората била с 16 страници повече. Колко страници е прочела общо?
Израз: \( 96 + (96 + 16) \).
Израз: \( 96 + (96 + 16) \).
- \(96\) са страниците на първата книга.
- \((96+16)\) са страниците на втората книга.
- Събираме ги, за да намерим общия брой.
Съставете числов израз за следната задача (без да го решавате): "Иван имал 20 лв. Купил си 3 вафли по 2 лв. всяка. Колко пари са му останали?"
Изразът е \( 20 - 3 \cdot 2 \) или \( 20 - (3 \cdot 2) \).
Задачи за упражнение
Лесна: Обиколката на квадрат е 28 см. Намерете лицето му.
1. Намираме страната на квадрата: \( a = P : 4 = 28 : 4 = 7 \) см.
2. Намираме лицето: \( S = a \cdot a = 7 \cdot 7 = 49 \) кв. см.
2. Намираме лицето: \( S = a \cdot a = 7 \cdot 7 = 49 \) кв. см.
Средна: Стая има форма на правоъгълник с дължина 5 м и широчина 4 м. Колко ще струва да се постеле с мокет, ако цената на мокета е 9 лева на квадратен метър?
1. Намираме лицето на стаята: \( S = 5 \cdot 4 = 20 \) кв. м.
2. Изчисляваме общата цена: \( \text{Цена} = 20 \cdot 9 = 180 \) лева.
2. Изчисляваме общата цена: \( \text{Цена} = 20 \cdot 9 = 180 \) лева.
Трудна: От правоъгълен лист хартия с размери 30 см на 20 см е изрязан квадрат със страна 8 см. Намерете лицето на останалата част от листа.
Използваме метода на изваждането.
1. Лицето на целия лист: \( S_{\text{лист}} = 30 \cdot 20 = 600 \) кв. см.
2. Лицето на изрязания квадрат: \( S_{\text{квадрат}} = 8 \cdot 8 = 64 \) кв. см.
3. Лицето на останалата част: \( S = S_{\text{лист}} - S_{\text{квадрат}} = 600 - 64 = 536 \) кв. см.
1. Лицето на целия лист: \( S_{\text{лист}} = 30 \cdot 20 = 600 \) кв. см.
2. Лицето на изрязания квадрат: \( S_{\text{квадрат}} = 8 \cdot 8 = 64 \) кв. см.
3. Лицето на останалата част: \( S = S_{\text{лист}} - S_{\text{квадрат}} = 600 - 64 = 536 \) кв. см.
Деление на Многоцифрено Число с Едноцифрено Число
Когато делимото завършва на нули, а числото, образувано от останалите цифри, се дели точно на делителя:
1. Разделяме числото, образувано от цифрите преди нулите.
2. Към полученото частно дописваме нулите от края на делимото.
1. Разделяме числото, образувано от цифрите преди нулите.
2. Към полученото частно дописваме нулите от края на делимото.
За да пресметнем \(42000 : 6\):
1. Делим \(42 : 6 = 7\).
2. Дописваме трите нули от делимото.
Получаваме \(42000 : 6 = 7000\).
1. Делим \(42 : 6 = 7\).
2. Дописваме трите нули от делимото.
Получаваме \(42000 : 6 = 7000\).
Пресметнете \(20000 : 5\).
Отговор: \(20 : 5 = 4\). Дописваме трите нули и получаваме \(4000\).
За да разделим сбор или разлика на число, можем да разделим всяко от числата в скобите поотделно и след това да съберем или извадим получените частни.
\((a+b):c = a:c + b:c\)
\((a-b):c = a:c - b:c\)
\((a+b):c = a:c + b:c\)
\((a-b):c = a:c - b:c\)
Пресмятане на \( (14000 - 6000) : 2 \) по два начина:
I начин: \( (14000 - 6000) : 2 = 8000 : 2 = 4000 \)
II начин: \( 14000:2 - 6000:2 = 7000 - 3000 = 4000 \)
I начин: \( (14000 - 6000) : 2 = 8000 : 2 = 4000 \)
II начин: \( 14000:2 - 6000:2 = 7000 - 3000 = 4000 \)
Пресметнете по удобен начин \( (2700 + 180) : 9 \).
Отговор: \( 2700:9 + 180:9 = 300 + 20 = 320 \).
Писменото деление се извършва отляво надясно, като последователно се делят единиците от всеки разред (хиляди, стотици, десетици, единици).
Определяме първото непълно делимо (числото, образувано от първите една или две цифри на делимото, което е по-голямо или равно на делителя).
Делим го на делителя и записваме цифрата в частното.
Умножаваме получената цифра с делителя и намираме остатъка.
Към остатъка "сваляме" следващата цифра от делимото и повтаряме стъпки 2 и 3, докато се изчерпят цифрите на делимото.
Ако при "сваляне" на цифра се получи число, по-малко от делителя, в частното се записва 0 и се сваля следващата цифра.
Да разделим \(18216 : 6\).
1. \(1 < 6\), затова взимаме 18. \(18 : 6 = 3\). Записваме 3 в частното.
2. Сваляме 2. \(2 < 6\). Записваме 0 в частното.
3. Сваляме 1. Получаваме 21. \(21 : 6 = 3\) (ост. 3). Записваме 3 в частното.
4. Към остатъка 3 сваляме 6. Получаваме 36. \(36 : 6 = 6\). Записваме 6 в частното.
Частното е \(3036\).
1. \(1 < 6\), затова взимаме 18. \(18 : 6 = 3\). Записваме 3 в частното.
2. Сваляме 2. \(2 < 6\). Записваме 0 в частното.
3. Сваляме 1. Получаваме 21. \(21 : 6 = 3\) (ост. 3). Записваме 3 в частното.
4. Към остатъка 3 сваляме 6. Получаваме 36. \(36 : 6 = 6\). Записваме 6 в частното.
Частното е \(3036\).
Извършете делението \(9369 : 3\).
Отговор: \(9369 : 3 = 3123\).
Ако първата цифра на делимото е по-голяма или равна на делителя, частното ще има същия брой цифри като делимото.
Ако първата цифра на делимото е по-малка от делителя, частното ще има с една цифра по-малко от делимото.
- \(4968 : 4 \rightarrow 4=4\), значи частното ще е 4-цифрено (1242).
- \(1395 : 3 \rightarrow 1<3\), значи частното ще е 3-цифрено (465).
- \(1395 : 3 \rightarrow 1<3\), значи частното ще е 3-цифрено (465).
Без да пресмятате, определете колко цифри ще има частното на \(5124 : 6\).
Отговор: Тъй като първата цифра 5 е по-малка от делителя 6, частното ще има \(4-1=3\) цифри.
\[ \text{Делител} = \text{Делимо} : \text{Частно} \]
Да намерим неизвестното число в \( 33 : \square = 3 \).
Прилагаме правилото: \(\square = 33 : 3 = 11\).
Прилагаме правилото: \(\square = 33 : 3 = 11\).
Намерете неизвестния делител в равенството \( 144 : x = 12 \).
Отговор: \( x = 144 : 12 = 12 \).
Това е приложение на намирането на неизвестен множител. Тъй като \(\text{Лице} = \text{дължина} \cdot \text{широчина}\), неизвестната страна се намира, като лицето се раздели на известната страна.
\[ \text{Неизвестна страна} = \text{Лице} : \text{Известна страна} \]
Лицето на правоъгълник е 98 кв. м, а широчината му е 7 м.
Дължината е \(98 : 7 = 14\) м.
Дължината е \(98 : 7 = 14\) м.
Лицето на правоъгълна стая е 24 кв. м, а едната ѝ страна е 6 м. Намерете дължината на другата страна.
Отговор: Другата страна е \(24 : 6 = 4\) м.
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(54000 : 9\).
\(54 : 9 = 6\). Добавяме трите нули.
Отговор: \(6000\).
Отговор: \(6000\).
Средна: Намерете неизвестното число: \( (1500 + 120) : \square = 8 \).
1. Изчисляваме израза в скобите: \(1500 + 120 = 1620\).
2. Получаваме \(1620 : \square = 8\).
3. Намираме неизвестния делител: \(\square = 1620 : 8 = 202,5\).
*(Бележка: Ако задачата е предназначена за цели числа, може да има грешка в условието. Да приемем, че е трябвало да бъде 1600+120=1720, тогава 1720/8=215, или 1500+180=1680, тогава 1680/8=210. Приемаме, че условието е било (1500+100) : ☐ = 8, 1600:8 = 200, или (1500+180):9=180.)*
Нека решим \( (1200 + 120) : \square = 8 \).
\(1320 : \square = 8 \)
\(\square = 1320 : 8 = 165 \).
*Решение за оригиналното условие*: \(\square = 1620 : 8 = 202,5\).
2. Получаваме \(1620 : \square = 8\).
3. Намираме неизвестния делител: \(\square = 1620 : 8 = 202,5\).
*(Бележка: Ако задачата е предназначена за цели числа, може да има грешка в условието. Да приемем, че е трябвало да бъде 1600+120=1720, тогава 1720/8=215, или 1500+180=1680, тогава 1680/8=210. Приемаме, че условието е било (1500+100) : ☐ = 8, 1600:8 = 200, или (1500+180):9=180.)*
Нека решим \( (1200 + 120) : \square = 8 \).
\(1320 : \square = 8 \)
\(\square = 1320 : 8 = 165 \).
*Решение за оригиналното условие*: \(\square = 1620 : 8 = 202,5\).
Трудна: Двор с правоъгълна форма има лице 252 кв. м. Широчината на двора е 9 м. Колко метра ограда е необходима, за да се загради целият двор?
1. Намираме дължината на двора:
Дължина = Лице : Широчина = \(252 : 9 = 28\) м.
2. Намираме обиколката (дължината на оградата):
Обиколка = \(2 \cdot (\text{дължина} + \text{широчина}) = 2 \cdot (28 + 9) = 2 \cdot 37 = 74\) м.
Отговор: Необходими са 74 метра ограда.
Дължина = Лице : Широчина = \(252 : 9 = 28\) м.
2. Намираме обиколката (дължината на оградата):
Обиколка = \(2 \cdot (\text{дължина} + \text{широчина}) = 2 \cdot (28 + 9) = 2 \cdot 37 = 74\) м.
Отговор: Необходими са 74 метра ограда.
Умножение на Многоцифрено Число с Двуцифрено Число
За да умножим число с 10, 100, 1000 и т.н., преписваме числото и добавяме вдясно толкова нули, колкото има в множителя (10, 100, 1000...).
Умножение на числото 47:
- \(47 \cdot 10 = 470\) (добавяме една нула)
- \(47 \cdot 100 = 4700\) (добавяме две нули)
- \(47 \cdot 1000 = 47000\) (добавяме три нули)
Пресметнете \(256 \cdot 100\).
Отговор: \(25600\)
За да умножим многоцифрено число с двуцифрено, което завършва на 0 (например 30), умножаваме числото по броя на десетиците (3) и към получения резултат дописваме една нула.
Пресмятане на \(123 \cdot 30\):
1. Умножаваме \(123 \cdot 3 = 369\).
2. Добавяме една нула: \(3690\).
Следователно, \(123 \cdot 30 = 3690\).
1. Умножаваме \(123 \cdot 3 = 369\).
2. Добавяме една нула: \(3690\).
Следователно, \(123 \cdot 30 = 3690\).
Пресметнете \(215 \cdot 40\).
\(215 \cdot 4 = 860\). Като добавим нула, получаваме 8600.
Отговор: \(8600\)
Отговор: \(8600\)
Алгоритъмът за писмено (вертикално) умножение се състои от намиране на частични произведения и тяхното събиране.
Умножаваме първото число с единиците на второто число. Записваме резултата.
Умножаваме първото число с десетиците на второто число. Записваме резултата под първия, но изместен с една позиция наляво (започваме да пишем под десетиците).
Събираме двете получени частични произведения, за да намерим крайния резултат.
Пресмятане на \(243 \cdot 32\):
\[
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c}
& 2 & 4 & 3 \\
\times & & 3 & 2 \\
\hline
& 4 & 8 & 6 & \leftarrow 243 \cdot 2 \\
+ 7 & 2 & 9 & & \leftarrow 243 \cdot 3 \text{ (изместено)} \\
\hline
7 & 7 & 7 & 6 \\
\end{array}
\]
Пресметнете писмено \(158 \cdot 24\).
Частично произведение 1: \(158 \cdot 4 = 632\).
Частично произведение 2: \(158 \cdot 2 = 316\) (записано отместено).
Сбор: \(632 + 3160 = 3792\).
Отговор: \(3792\)
Частично произведение 2: \(158 \cdot 2 = 316\) (записано отместено).
Сбор: \(632 + 3160 = 3792\).
Отговор: \(3792\)
Разместително (комутативно): Редът на множителите не променя произведението. \(a \cdot b = b \cdot a\)
Съдружително (асоциативно): Начинът на групиране на множителите не променя произведението. \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Разпределително (дистрибутивно): Позволява да се разкриват скоби или да се изнася общ множител. \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Тези свойства помагат за рационално (по-лесно) пресмятане на изрази.
Пресметнете рационално \(25 \cdot 35 \cdot 40\).
Групираме множителите, които дават "кръгло" число: \[ (25 \cdot 40) \cdot 35 = 1000 \cdot 35 = 35000 \]
Групираме множителите, които дават "кръгло" число: \[ (25 \cdot 40) \cdot 35 = 1000 \cdot 35 = 35000 \]
Пресметнете рационално \(13 \cdot 48 + 13 \cdot 52\).
Изнасяме общия множител 13 пред скоби:
\(13 \cdot (48 + 52) = 13 \cdot 100 = 1300\).
Отговор: \(1300\)
\(13 \cdot (48 + 52) = 13 \cdot 100 = 1300\).
Отговор: \(1300\)
В изрази без скоби първо се извършват действията умножение и деление, а след това събиране и изваждане в реда, в който са записани (отляво надясно).
Пресметнете \(100 - 12 \cdot 5 + 30 : 3\).
1. Умножение: \(12 \cdot 5 = 60\). Изразът става \(100 - 60 + 30 : 3\).
2. Деление: \(30 : 3 = 10\). Изразът става \(100 - 60 + 10\).
3. Изваждане: \(100 - 60 = 40\). Изразът става \(40 + 10\).
4. Събиране: \(40 + 10 = 50\).
1. Умножение: \(12 \cdot 5 = 60\). Изразът става \(100 - 60 + 30 : 3\).
2. Деление: \(30 : 3 = 10\). Изразът става \(100 - 60 + 10\).
3. Изваждане: \(100 - 60 = 40\). Изразът става \(40 + 10\).
4. Събиране: \(40 + 10 = 50\).
Пресметнете \(50 + 8 \cdot 9\).
Първо извършваме умножението: \(8 \cdot 9 = 72\).
След това събирането: \(50 + 72 = 122\).
Отговор: \(122\)
След това събирането: \(50 + 72 = 122\).
Отговор: \(122\)
Дължина: \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\); \(1 \text{ м} = 100 \text{ см}\); \(1 \text{ см} = 10 \text{ мм}\)
Маса: \(1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}\); \(1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}\)
Време: \(1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}\); \(1 \text{ мин} = 60 \text{ сек}\); \(1 \text{ денонощие} = 24 \text{ ч}\)
Площ: \(1 \text{ дка} = 1000 \text{ кв. м}\)
Колко секунди са 3 минути и 15 секунди?
1. Превръщаме минутите в секунди: \(3 \cdot 60 = 180\) сек.
2. Добавяме останалите секунди: \(180 + 15 = 195\) сек.
1. Превръщаме минутите в секунди: \(3 \cdot 60 = 180\) сек.
2. Добавяме останалите секунди: \(180 + 15 = 195\) сек.
Двор е с площ 2 дка. В него е построена къща, която заема 180 кв. м. Колко квадратни метра е незастроената площ?
Първо превръщаме всичко в еднакви мерни единици: \(2 \text{ дка} = 2 \cdot 1000 = 2000\) кв. м.
След това изваждаме: \(2000 - 180 = 1820\) кв. м.
Отговор: 1820 кв. м.
След това изваждаме: \(2000 - 180 = 1820\) кв. м.
Отговор: 1820 кв. м.
Задачи за упражнение
Лесна: В един киносалон има 25 реда с по 18 места на всеки ред. Колко е общият брой на местата в салона?
Трябва да умножим броя на редовете по броя на местата на ред:
\(25 \cdot 18 = 450\)
Отговор: Общият брой на местата е 450.
\(25 \cdot 18 = 450\)
Отговор: Общият брой на местата е 450.
Средна: Пресметнете стойността на израза: \( 1500 - 45 \cdot 20 \).
Спазваме реда на действията. Първо извършваме умножението:
\(45 \cdot 20 = 900\)
След това извършваме изваждането:
\(1500 - 900 = 600\)
Отговор: Стойността на израза е 600.
\(45 \cdot 20 = 900\)
След това извършваме изваждането:
\(1500 - 900 = 600\)
Отговор: Стойността на израза е 600.
Трудна: Намислих едно число. Умножих го по 30 и от полученото произведение извадих 1000. Получих 200. Кое число съм намислил?
Нека намисленото число е \(\square\). Съставяме уравнението:
\(\square \cdot 30 - 1000 = 200\)
Намираме неизвестния умаляемо:
\(\square \cdot 30 = 200 + 1000\)
\(\square \cdot 30 = 1200\)
Намираме неизвестния множител:
\(\square = 1200 : 30\)
\(\square = 40\)
Отговор: Намисленото число е 40.
\(\square \cdot 30 - 1000 = 200\)
Намираме неизвестния умаляемо:
\(\square \cdot 30 = 200 + 1000\)
\(\square \cdot 30 = 1200\)
Намираме неизвестния множител:
\(\square = 1200 : 30\)
\(\square = 40\)
Отговор: Намисленото число е 40.
Трудна: Един камион превозва 3 тона пясък. Колко курса трябва да направи, за да достави 45 торби с пясък, всяка по 20 кг? Ще му остане ли място за още товар в последния курс?
1. Намираме общото тегло на пясъка: \(45 \text{ торби} \cdot 20 \text{ кг/торба} = 900 \text{ кг}\).
2. Превръщаме товароносимостта на камиона в кг: \(3 \text{ т} = 3000 \text{ кг}\).
3. Сравняваме: \(900 \text{ кг} < 3000 \text{ кг}\).
Това означава, че целият пясък може да се превози с един курс.
4. Намираме оставащото място: \(3000 \text{ кг} - 900 \text{ кг} = 2100 \text{ кг}\).
Отговор: Трябва да направи 1 курс. Ще му остане място за още 2100 кг товар.
2. Превръщаме товароносимостта на камиона в кг: \(3 \text{ т} = 3000 \text{ кг}\).
3. Сравняваме: \(900 \text{ кг} < 3000 \text{ кг}\).
Това означава, че целият пясък може да се превози с един курс.
4. Намираме оставащото място: \(3000 \text{ кг} - 900 \text{ кг} = 2100 \text{ кг}\).
Отговор: Трябва да направи 1 курс. Ще му остане място за още 2100 кг товар.
Деление на Многоцифрено Число с Двуцифрено Число
За да разделим число, което завършва на нули, на 10, 100 или 1000, е достатъчно да премахнем отдясно на числото съответно 1, 2 или 3 нули.
При деление на \(800 \, 000\) на \(100\), премахваме две нули от делимото.
\[ 800 \, 0\cancel{00} : 1\cancel{00} = 8 \, 000 \]
Пресметнете \(56 \, 000 : 10\).
Отговор: \(5 \, 600\). Премахваме една нула от делимото.
Когато делимото и делителят завършват на нули, можем да премахнем равен брой нули от края и на двете числа, без частното да се промени (инвариантно свойство).
При деление на \(3 \, 800 : 200\), можем да премахнем по две нули и от двете числа.
\[ 38\cancel{00} : 2\cancel{00} = 38 : 2 = 19 \]
Пресметнете \(4380 : 30\).
Премахваме по една нула: \(438\cancel{0} : 3\cancel{0} = 438 : 3 = 146\).
Отговор: 146.
Отговор: 146.
Писменото деление на многоцифрено число с двуцифрено се извършва чрез повтаряне на следните стъпки:
Разделяме първата част от делимото, която е по-голяма или равна на делителя. Записваме цифрата в частното.
Умножаваме получената цифра по делителя.
Изваждаме произведението от съответната част на делимото, за да намерим остатъка.
Сваляме следващата цифра от делимото до остатъка и повтаряме процеса.
Деление на \(2938\) с \(26\).
Извършете делението \(876 : 12\).
1. \(87:12=7\) (ост. 3). Пишем 7.
2. Сваляме 6, получаваме 36.
3. \(36:12=3\) (ост. 0). Пишем 3.
Отговор: 73.
Отговор: 73.
Ако числото, образувано от първите цифри на делимото, е по-голямо или равно на делителя, частното ще има с 1 цифра по-малко от делимото.
Ако числото, образувано от първите цифри на делимото, е по-малко от делителя, частното ще има с 2 цифри по-малко от делимото.
Колко цифри ще има частното при делението \(1134 : 18\)?
Тъй като \(11 < 18\), делимото има 4 цифри, а частното ще има \(4 - 2 = 2\) цифри. (Отговорът е 63).
Ако след сваляне на цифра от делимото, полученото число е по-малко от делителя, в частното се записва 0 и се сваля следващата цифра.
Пресмятане на \(6024 : 12\).
1. \(60 : 12 = 5\). Остатък 0.
2. Сваляме 2. Получаваме 2. Тъй като \(2 < 12\), пишем 0 в частното.
3. Сваляме 4. Получаваме 24.
4. \(24 : 12 = 2\).
Резултат: \(502\).
1. \(60 : 12 = 5\). Остатък 0.
2. Сваляме 2. Получаваме 2. Тъй като \(2 < 12\), пишем 0 в частното.
3. Сваляме 4. Получаваме 24.
4. \(24 : 12 = 2\).
Резултат: \(502\).
Пресметнете \(190 \, 171 : 19\).
Отговор: \(10 \, 009\). Нули в частното се получават, когато сваляме 0, после 1, после 7, тъй като получените числа (0, 1, 17) са по-малки от 19.
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(54 \, 000 : 90\).
Премахваме по една нула от делимото и делителя: \(5400 : 9\).
\(54 : 9 = 6\), дописваме останалите две нули.
Отговор: 600.
\(54 : 9 = 6\), дописваме останалите две нули.
Отговор: 600.
Средна: Намерете неизвестния множител: \( \square \cdot 41 = 12 \, 628 \).
За да намерим неизвестния множител, делим произведението на известния множител.
\[ 12 \, 628 : 41 \]
Извършваме дълго деление:
1. \(126 : 41 = 3\) (ост. 3).
2. Сваляме 2, става 32. \(32 < 41\), пишем 0 в частното.
3. Сваляме 8, става 328. \(328 : 41 = 8\).
Отговор: Неизвестният множител е 308.
1. \(126 : 41 = 3\) (ост. 3).
2. Сваляме 2, става 32. \(32 < 41\), пишем 0 в частното.
3. Сваляме 8, става 328. \(328 : 41 = 8\).
Отговор: Неизвестният множител е 308.
Трудна: За училищна екскурзия са нужни 350 билета за влак. Вагоните имат по 54 седящи места. Колко вагона са необходими, за да се настанят всички?
Делим общия брой билети на броя места в един вагон:
\[ 350 : 54 = 6 \text{ (ост. 26)} \]
Това означава, че ще се запълнят 6 вагона и ще останат още 26 души. За тях е нужен още един вагон.
Отговор: Необходими са \(6 + 1 = 7\) вагона.
Отговор: Необходими са \(6 + 1 = 7\) вагона.
