Най-важното от урока
Куб (ръб a): Пълна повърхнина \( S = 6a^2 \). Обем \( V = a^3 \).
Правоъгълен паралелепипед (ръбове a, b, c): Пълна повърхнина \( S = 2(ab+ac+bc) \). Обем \( V = abc \).
Ключови мерни единици: \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \), \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \).
Правоъгълен паралелепипед (ръбове a, b, c): Пълна повърхнина \( S = 2(ab+ac+bc) \). Обем \( V = abc \).
Ключови мерни единици: \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \), \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \).
Кубът е геометрично тяло с 6 стени, които са еднакви квадрати. Всичките му 12 ръба са равни.
Нека ръбът на куба е с дължина a.
- Сбор на ръбовете: \( L = 12 \cdot a \)
- Околна повърхнина: \( S_{ок} = 4 \cdot a^2 \)
- Пълна повърхнина: \( S = 6 \cdot a^2 \)
- Обем: \( V = a^3 \)
Куб с ръб \( a = 5 \text{ cm} \) има:
Пълна повърхнина: \( S = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \text{ cm}^2 \)
Обем: \( V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3 \)
Пълна повърхнина: \( S = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \text{ cm}^2 \)
Обем: \( V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3 \)
Намерете пълната повърхнина на куб с обем \(V = 27 \text{ cm}^3\).
От \(V = a^3\), намираме \(a^3 = 27\), следователно ръбът е \(a = 3 \text{ cm}\).
Заместваме във формулата за пълна повърхнина:
\( S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \text{ cm}^2 \).
Заместваме във формулата за пълна повърхнина:
\( S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \text{ cm}^2 \).
Това е геометрично тяло, чиито 6 стени са правоъгълници. Има три измерения: дължина (a), широчина (b) и височина (c).
Нека измеренията са a, b и c.
- Сбор на ръбовете: \( L = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c) \)
- Околна повърхнина: \( S_{ок} = 2(a+b) \cdot c \)
- Пълна повърхнина: \( S = 2(ab + ac + bc) \)
- Обем: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Правоъгълен паралелепипед с размери \(a=4\text{ cm}\), \(b=3\text{ cm}\), \(c=2\text{ cm}\) има:
Обем: \( V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \text{ cm}^3 \)
Обем: \( V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \text{ cm}^3 \)
Аквариум с дължина 50 cm, широчина 30 cm и височина 20 cm е напълнен с вода. Колко литра вода има в него?
Първо намираме обема в \( \text{cm}^3 \):
\( V = 50 \cdot 30 \cdot 20 = 30000 \text{ cm}^3 \).
Знаем, че \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \).
\( V = 30000 : 1000 = 30 \text{ L} \).
\( V = 50 \cdot 30 \cdot 20 = 30000 \text{ cm}^3 \).
Знаем, че \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \).
\( V = 30000 : 1000 = 30 \text{ L} \).
При преминаване от по-голяма към по-малка мерна единица за дължина, умножаваме по 10. За лице - по 100. За обем - по 1000.
Най-важните връзки за обем са:
- \( 1 \text{ литър (L)} = 1 \text{ кубичен дециметър (dm}^3\text{)} \)
- \( 1 \text{ кубичен метър (m}^3\text{)} = 1000 \text{ литра (L)} \)
- \( 1 \text{ литър (L)} = 1000 \text{ кубични сантиметра (cm}^3\text{)} \)
Преобразуване на \(2.5 \text{ m}^2\) в \( \text{cm}^2 \):
Преминаваме от \(\text{m}^2\) към \(\text{dm}^2\) (x100), и после към \(\text{cm}^2\) (x100).
\( 2.5 \text{ m}^2 = 2.5 \cdot 100 \cdot 100 = 25000 \text{ cm}^2 \)
Преминаваме от \(\text{m}^2\) към \(\text{dm}^2\) (x100), и после към \(\text{cm}^2\) (x100).
\( 2.5 \text{ m}^2 = 2.5 \cdot 100 \cdot 100 = 25000 \text{ cm}^2 \)
Колко литра е обем от \( 0.7 \text{ m}^3 \)?
Тъй като \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L} \), то:
\( 0.7 \text{ m}^3 = 0.7 \cdot 1000 = 700 \text{ L} \).
\( 0.7 \text{ m}^3 = 0.7 \cdot 1000 = 700 \text{ L} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема и пълната повърхнина на куб с ръб \(a = 10 \text{ cm}\).
\(V = a^3 = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3\).
\(S = 6a^2 = 6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600 \text{ cm}^2\).
\(S = 6a^2 = 6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600 \text{ cm}^2\).
Средна: Сборът от дължините на всички ръбове на куб е 48 cm. Намерете околната повърхнина и обема на куба.
Кубът има 12 ръба. Дължината на един ръб е \(a = 48 : 12 = 4 \text{ cm}\).
Околна повърхнина: \(S_{ок} = 4a^2 = 4 \cdot 4^2 = 64 \text{ cm}^2\).
Обем: \(V = a^3 = 4^3 = 64 \text{ cm}^3\).
Околна повърхнина: \(S_{ок} = 4a^2 = 4 \cdot 4^2 = 64 \text{ cm}^2\).
Обем: \(V = a^3 = 4^3 = 64 \text{ cm}^3\).
Трудна: Басейн с форма на правоъгълен паралелепипед е дълъг 10 m и широк 5 m. За облицоване на дъното и стените му са използвани общо 190 m² плочки. Намерете дълбочината (височината) на басейна и неговия обем.
Общата площ за облицоване е пълната повърхнина без горната основа: \(S_{облицовка} = S_{ок} + B\), където \(B\) е лицето на дъното.
Лице на дъното: \(B = a \cdot b = 10 \cdot 5 = 50 \text{ m}^2\).
Площта на стените (околна повърхнина) е: \(S_{ок} = 190 \text{ m}^2 - 50 \text{ m}^2 = 140 \text{ m}^2\).
От формулата \(S_{ок} = 2(a+b)c\), намираме височината \(c\):
\(140 = 2(10+5)c \implies 140 = 30c \implies c = 140/30 = 14/3 \approx 4.67 \text{ m}\).
Обем на басейна: \(V = a \cdot b \cdot c = 10 \cdot 5 \cdot (14/3) = 700/3 \approx 233.33 \text{ m}^3\).
Лице на дъното: \(B = a \cdot b = 10 \cdot 5 = 50 \text{ m}^2\).
Площта на стените (околна повърхнина) е: \(S_{ок} = 190 \text{ m}^2 - 50 \text{ m}^2 = 140 \text{ m}^2\).
От формулата \(S_{ок} = 2(a+b)c\), намираме височината \(c\):
\(140 = 2(10+5)c \implies 140 = 30c \implies c = 140/30 = 14/3 \approx 4.67 \text{ m}\).
Обем на басейна: \(V = a \cdot b \cdot c = 10 \cdot 5 \cdot (14/3) = 700/3 \approx 233.33 \text{ m}^3\).
