Най-важното от урока
Основно правило: За да събереш дроби с различни знаменатели, първо ги приведи към общ знаменател (НОК).
Действие: Събери новите числители, а общият знаменател се запазва.
Пример: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \).
Приложение: Правилото важи и за събиране на три или повече дроби, както и при задачи за сравняване.
Действие: Събери новите числители, а общият знаменател се запазва.
Пример: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \).
Приложение: Правилото важи и за събиране на три или повече дроби, както и при задачи за сравняване.
За да съберем дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги приведем към един и същ (общ) знаменател и след това да съберем числителите им.
Намираме най-малкото общо кратно (НОК) на знаменателите. Това ще бъде нашият общ знаменател.
Разширяваме всяка дроб, като умножим числителя и знаменателя ѝ с числото, което е нужно, за да получим общия знаменател.
Събираме числителите на новите дроби, а знаменателят остава същият.
Да съберем \( \frac{5}{12} + \frac{7}{15} \).
1. Намираме НОК(12, 15) = 60.
2. Разширяваме дробите: за \( \frac{5}{12} \) допълнителният множител е \(60:12=5\), а за \( \frac{7}{15} \) е \(60:15=4\). \[ \frac{5^{\cdot 5}}{12^{\cdot 5}} + \frac{7^{\cdot 4}}{15^{\cdot 4}} = \frac{25}{60} + \frac{28}{60} \] 3. Събираме числителите: \[ \frac{25 + 28}{60} = \frac{53}{60} \]
1. Намираме НОК(12, 15) = 60.
2. Разширяваме дробите: за \( \frac{5}{12} \) допълнителният множител е \(60:12=5\), а за \( \frac{7}{15} \) е \(60:15=4\). \[ \frac{5^{\cdot 5}}{12^{\cdot 5}} + \frac{7^{\cdot 4}}{15^{\cdot 4}} = \frac{25}{60} + \frac{28}{60} \] 3. Събираме числителите: \[ \frac{25 + 28}{60} = \frac{53}{60} \]
Пресметнете сбора \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \).
НОК(5, 3) = 15.
\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2^{\cdot 3}}{15} + \frac{1^{\cdot 5}}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15} \]
Правилото за събиране важи и когато събираме три или повече дроби. Намираме общия знаменател (НОК) за всички дроби едновременно.
Пресметнете \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \).
НОК(3, 4, 5) = 60. \[ \frac{1^{\cdot 20}}{3^{\cdot 20}} + \frac{1^{\cdot 15}}{4^{\cdot 15}} + \frac{2^{\cdot 12}}{5^{\cdot 12}} = \frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{24}{60} = \frac{20+15+24}{60} = \frac{59}{60} \]
НОК(3, 4, 5) = 60. \[ \frac{1^{\cdot 20}}{3^{\cdot 20}} + \frac{1^{\cdot 15}}{4^{\cdot 15}} + \frac{2^{\cdot 12}}{5^{\cdot 12}} = \frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{24}{60} = \frac{20+15+24}{60} = \frac{59}{60} \]
Намерете сбора \( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \).
НОК(2, 3, 6) = 6.
\[ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+4+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
За да сравним сбор от дроби с друга дроб (или с друг сбор), първо трябва да извършим събирането. След това сравняваме получените резултати.
Да сравним \( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \) и \( \frac{7}{15} \).
1. Изчисляваме сбора: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \] 2. Сравняваме резултата с другата дроб: \[ \frac{8}{15} > \frac{7}{15} \] Следователно \( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} > \frac{7}{15} \).
1. Изчисляваме сбора: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \] 2. Сравняваме резултата с другата дроб: \[ \frac{8}{15} > \frac{7}{15} \] Следователно \( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} > \frac{7}{15} \).
Сравнете сборовете \( \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \) и \( \frac{1}{28} + \frac{1}{7} \).
Първи сбор: \( \frac{2}{7} + \frac{1}{4} = \frac{8}{28} + \frac{7}{28} = \frac{15}{28} \).
Втори сбор: \( \frac{1}{28} + \frac{1}{7} = \frac{1}{28} + \frac{4}{28} = \frac{5}{28} \).
Сравнение: \( \frac{15}{28} > \frac{5}{28} \).
Втори сбор: \( \frac{1}{28} + \frac{1}{7} = \frac{1}{28} + \frac{4}{28} = \frac{5}{28} \).
Сравнение: \( \frac{15}{28} > \frac{5}{28} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{1}{2} + \frac{3}{7} \).
НОК(2, 7) = 14.
\[ \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{13}{14} \]
Средна: Пресметнете \( \frac{3}{8} + \frac{5}{6} \).
НОК(8, 6) = 24.
\[ \frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} \]
Трудна: Намерете стойността на израза \( \frac{1}{4} + \frac{5}{6} + \frac{2}{9} \).
НОК(4, 6, 9) = 36.
\[ \frac{1}{4} + \frac{5}{6} + \frac{2}{9} = \frac{9}{36} + \frac{30}{36} + \frac{8}{36} = \frac{9+30+8}{36} = \frac{47}{36} \]
