Най-важното от урока
Формули за лице (S):
- Правоъгълник: \(S = a \cdot b\) (дължина по ширина)
- Квадрат: \(S = a \cdot a\) (страна по страна)
- Триъгълник: \(S = \frac{\text{страна} \cdot \text{височина}}{2}\)
- Правоъгълен триъгълник: \(S = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{2}\)
- Успоредник: \(S = \text{страна} \cdot \text{височина}\)
- Трапец: \(S = \frac{(\text{основа}_1 + \text{основа}_2) \cdot \text{височина}}{2}\)
Триъгълникът е равнинна фигура, определена от три точки и трите отсечки, съединяващи тези точки.
Периметър (P): Сборът от дължините на трите страни.
\[ P = a + b + c \]
Лице (S): Половината от произведението на една страна и височината към нея.
\[ S = \frac{a \cdot h_a}{2} \]
Триъгълник има страна \(a = 10 \text{ см}\) и височина към нея \(h_a = 6 \text{ см}\). Лицето му е:
\[ S = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}^2 \]
Намерете периметъра на триъгълник със страни 7 см, 8 см и 11 см.
\(P = 7 + 8 + 11 = 26 \text{ см}\).
Правоъгълният триъгълник е триъгълник с един прав ъгъл (90°). Страните, които сключват правия ъгъл, се наричат катети, а третата страна е хипотенуза.
При правоъгълния триъгълник единият катет служи за височина към другия.
Лице (S): Половината от произведението на двата катета.
\[ S = \frac{a \cdot b}{2} \]
Правоъгълен триъгълник има катети \(a = 8 \text{ см}\) и \(b = 5 \text{ см}\). Лицето му е:
\[ S = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}^2 \]
Лицето на правоъгълен триъгълник е 24 см², а единият му катет е 6 см. Намерете дължината на другия катет.
\( S = \frac{a \cdot b}{2} \Rightarrow 24 = \frac{6 \cdot b}{2} \Rightarrow 24 = 3 \cdot b \Rightarrow b = 8 \text{ см} \).
Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни и равни. Правоъгълникът, квадратът и ромбът са видове успоредници.
Периметър (P): \[ P = 2 \cdot (a + b) \]
Лице (S): Произведението на една страна и височината към нея.
\[ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \]
Успоредник има страна \(a = 12 \text{ см}\) и височина към нея \(h_a = 5 \text{ см}\). Лицето му е:
\[ S = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2 \]
Лицето на успоредник е 45 см², а една от страните му е 9 см. Намерете височината към тази страна.
\( S = a \cdot h_a \Rightarrow 45 = 9 \cdot h_a \Rightarrow h_a = 5 \text{ см} \).
Трапецът е четириъгълник с една двойка успоредни страни, наречени основи.
Периметър (P): Сборът от дължините на четирите му страни.
\[ P = a + b + c + d \]
Лице (S): Произведението на полусбора на основите и височината.
\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]
Трапец има основи \(a = 10 \text{ см}\), \(b = 6 \text{ см}\) и височина \(h = 4 \text{ см}\). Лицето му е:
\[ S = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 \text{ см}^2 \]
Намерете лицето на трапец с основи 5 см и 9 см и височина 6 см.
\( S = \frac{5 + 9}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2 \).
Лице на сложна фигура, начертана в квадратна мрежа, може да се намери чрез два основни метода.
Метод 1: Разделяне (Декомпозиция)
Фигурата се разделя на по-прости фигури (правоъгълници, триъгълници), чиито лица можем да изчислим. Общото лице е сбор от лицата на съставните части.
Фигурата се разделя на по-прости фигури (правоъгълници, триъгълници), чиито лица можем да изчислим. Общото лице е сбор от лицата на съставните части.
Метод 2: Допълване (Опаковане)
Фигурата се вписва (опакова) в правоъгълник. От лицето на правоъгълника се изваждат лицата на излишните части (обикновено правоъгълни триъгълници), които са извън търсената фигура.
Фигурата се вписва (опакова) в правоъгълник. От лицето на правоъгълника се изваждат лицата на излишните части (обикновено правоъгълни триъгълници), които са извън търсената фигура.
Да намерим лицето на \(\Delta ABC\) от "Задача 4" чрез "опаковане".
1. Опаковаме \(\Delta ABC\) в правоъгълник MNQC с размери 9x6. \(S_{MNQC} = 9 \cdot 6 = 54 \text{ кв. ед.}\)
2. Намираме лицата на трите "излишни" правоъгълни триъгълника около \(\Delta ABC\): \(S_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\); \(S_2 = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6\); \(S_3 = \frac{9 \cdot 4}{2} = 18\).
3. Вадим сбора им от лицето на правоъгълника: \(S_{ABC} = 54 - (9+6+18) = 54 - 33 = 21 \text{ кв. ед.}\)
2. Намираме лицата на трите "излишни" правоъгълни триъгълника около \(\Delta ABC\): \(S_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\); \(S_2 = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6\); \(S_3 = \frac{9 \cdot 4}{2} = 18\).
3. Вадим сбора им от лицето на правоъгълника: \(S_{ABC} = 54 - (9+6+18) = 54 - 33 = 21 \text{ кв. ед.}\)
Задачи за упражнение
Лесна: Правоъгълник има дължина 12 см и ширина 5 см. Намерете периметъра и лицето му.
Периметър: \(P = 2 \cdot (12+5) = 2 \cdot 17 = 34 \text{ см}\).
Лице: \(S = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2\).
Лице: \(S = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2\).
Средна: Лицето на квадрат е 49 см². Намерете периметъра му.
1. Намираме страната \(a\) на квадрата: \(S = a \cdot a = 49 \Rightarrow a = 7 \text{ см}\).
2. Намираме периметъра: \(P = 4 \cdot a = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}\).
2. Намираме периметъра: \(P = 4 \cdot a = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}\).
Трудна: В квадратна мрежа (1 деление = 1 см) е начертан четириъгълник с върхове в точки с координати A(1,1), B(4,5), C(7,2) и D(5,0). Намерете лицето му.
Ще използваме метода "опаковане".
1. Опаковаме фигурата в правоъгълник с върхове (1,0) и (7,5). Размерите му са 6 см (по x) и 5 см (по y). \(S_{правоъгълник} = 6 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицата на 4-те правоъгълни триъгълника в ъглите:
1. Опаковаме фигурата в правоъгълник с върхове (1,0) и (7,5). Размерите му са 6 см (по x) и 5 см (по y). \(S_{правоъгълник} = 6 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицата на 4-те правоъгълни триъгълника в ъглите:
- Горе вляво: катети 3 и 4. \(S_1 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ см}^2\).
- Горе вдясно: катети 3 и 3. \(S_2 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5 \text{ см}^2\).
- Долу вдясно: катети 2 и 2. \(S_3 = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2 \text{ см}^2\).
- Долу вляво: катети 4 и 1. \(S_4 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 \text{ см}^2\).
