Най-важното от урока
Смесени числа: Преди умножение/деление ги превръщаме в неправилни дроби: \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).
Събиране/Изваждане: Само с еднакъв знаменател. \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \).
Умножение: Числител по числител, знаменател по знаменател. \( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \).
Деление: Умножаваме по реципрочната. \( \frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15} \).
Част от число: "от" = "умножение". \( \frac{2}{5} \) от 30 е \( \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 \).
Число по частта му: Ако \( \frac{2}{5} \) от \(x\) е 12, то \( x = 12 : \frac{2}{5} = 30 \).
Събиране/Изваждане: Само с еднакъв знаменател. \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \).
Умножение: Числител по числител, знаменател по знаменател. \( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \).
Деление: Умножаваме по реципрочната. \( \frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15} \).
Част от число: "от" = "умножение". \( \frac{2}{5} \) от 30 е \( \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 \).
Число по частта му: Ако \( \frac{2}{5} \) от \(x\) е 12, то \( x = 12 : \frac{2}{5} = 30 \).
За извършване на аритметични действия (събиране, изваждане, умножение, деление) със смесени числа, те най-често се превръщат в неправилни дроби.
Събиране/Изваждане: Дробите се привеждат към най-малък общ знаменател (НОЗ).
Умножение: Числителите и знаменателите се умножават поотделно.
Деление: Първата дроб се умножава с реципрочната на втората дроб.
Умножение: Числителите и знаменателите се умножават поотделно.
Деление: Първата дроб се умножава с реципрочната на втората дроб.
Пресметнете израза \( \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) : 2 \frac{1}{6} \).
Привеждаме под общ знаменател 6: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \).
\( 2 \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} \).
\( \frac{7}{6} : \frac{13}{6} = \frac{7}{6} \cdot \frac{6}{13} = \frac{7}{13} \).
Задача: Пресметнете \( \left( 3 - 1 \frac{1}{4} \right) \cdot \frac{2}{7} \).
\( \left( \frac{3}{1} - \frac{5}{4} \right) \cdot \frac{2}{7} = \left( \frac{12}{4} - \frac{5}{4} \right) \cdot \frac{2}{7} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \).
За да намерим част от дадено число, умножаваме дробта, изразяваща тази част, по самото число. Думата "от" в математически смисъл означава умножение.
Да намалим числото 60 с \( \frac{4}{5} \) от него.
Намираме колко е \( \frac{4}{5} \) от 60: \( \frac{4}{5} \cdot 60 = \frac{4 \cdot 60}{5} = 4 \cdot 12 = 48 \).
От първоначалното число изваждаме намерената част: \( 60 - 48 = 12 \).
Задача: Камион трябва да измине 120 км. Той е изминал \( \frac{2}{3} \) от пътя. Колко километра му остават?
Изминато разстояние: \( \frac{2}{3} \cdot 120 = 80 \) км.
Оставащо разстояние: \( 120 - 80 = 40 \) км.
Оставащо разстояние: \( 120 - 80 = 40 \) км.
За да намерим цялото число, когато знаем негова част, разделяме известната част на дробта, която я описва.
Никола е решил няколко задачи, които са \( \frac{3}{4} \) от всички задачи за самостоятелна работа. Останали са му 5 нерешени задачи. Колко са били всички задачи?
Цялото е 1. Нерешената част е: \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \).
Знаем, че \( \frac{1}{4} \) от всички задачи са 5.
Всички задачи = \( 5 : \frac{1}{4} = 5 \cdot 4 = 20 \).
Всички задачи = \( 5 : \frac{1}{4} = 5 \cdot 4 = 20 \).
Задача: \( \frac{2}{5} \) от учениците в един клас са 10. Колко са всички ученици в класа?
Нека \(x\) е общият брой ученици. Тогава \( \frac{2}{5} \cdot x = 10 \).
\( x = 10 : \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \).
Всички ученици са 25.
\( x = 10 : \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \).
Всички ученици са 25.
За да намерим неизвестен компонент в уравнение (събираемо, умаляемо, умалител, множител, делимо, делител), прилагаме обратното на даденото действие.
Да решим уравнението \( x : \frac{3}{5} = \frac{10}{21} \).
\(x\) е неизвестно делимо.
Намираме го, като умножим частното по делителя:
\( x = \frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 3}{21 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7} \).
\( x = \frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 3}{21 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7} \).
Задача: Намерете неизвестното число \(x\), ако \( \frac{7}{8} - x = \frac{1}{4} \).
\(x\) е неизвестен умалител. Намираме го, като от умаляемото извадим разликата:
\( x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \).
\( x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( 4 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{6} \).
\( 4 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{6} = \frac{13}{3} - \frac{7}{6} = \frac{26}{6} - \frac{7}{6} = \frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6} \).
Средна: Росен похарчил \( \frac{4}{7} \) от парите си за телефон, който струвал 600 лв. Колко лева са му останали?
Първо намираме колко пари е имал Росен. Нека сумата е \(x\).
\( \frac{4}{7} \cdot x = 600 \implies x = 600 : \frac{4}{7} = 600 \cdot \frac{7}{4} = 150 \cdot 7 = 1050 \) лв.
Останали са му: \( 1050 - 600 = 450 \) лв.
Алтернативно решение: Щом е похарчил \( \frac{4}{7} \), са му останали \( 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \) от парите. Частта, която е похарчил (\( \frac{4}{7} \)), е 600 лв. Една част (\( \frac{1}{7} \)) е \( 600 : 4 = 150 \) лв. Оставащата част (\( \frac{3}{7} \)) е \( 3 \cdot 150 = 450 \) лв.
\( \frac{4}{7} \cdot x = 600 \implies x = 600 : \frac{4}{7} = 600 \cdot \frac{7}{4} = 150 \cdot 7 = 1050 \) лв.
Останали са му: \( 1050 - 600 = 450 \) лв.
Алтернативно решение: Щом е похарчил \( \frac{4}{7} \), са му останали \( 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \) от парите. Частта, която е похарчил (\( \frac{4}{7} \)), е 600 лв. Една част (\( \frac{1}{7} \)) е \( 600 : 4 = 150 \) лв. Оставащата част (\( \frac{3}{7} \)) е \( 3 \cdot 150 = 450 \) лв.
Трудна: От петокласниците в едно училище \( \frac{1}{3} \) тренират баскетбол и \( \frac{1}{4} \) - футбол. Ако 36 петокласници тренират баскетбол, колко от тях тренират футбол?
Нека общият брой на петокласниците е \(x\).
Знаем, че \( \frac{1}{3} \) от тях са 36. Тогава \( \frac{1}{3} \cdot x = 36 \).
Намираме общия брой ученици: \( x = 36 : \frac{1}{3} = 36 \cdot 3 = 108 \) ученици.
Намираме броя на трениращите футбол: \( \frac{1}{4} \) от 108.
\( \frac{1}{4} \cdot 108 = 27 \) ученици.
Отговор: 27 петокласници тренират футбол.
Знаем, че \( \frac{1}{3} \) от тях са 36. Тогава \( \frac{1}{3} \cdot x = 36 \).
Намираме общия брой ученици: \( x = 36 : \frac{1}{3} = 36 \cdot 3 = 108 \) ученици.
Намираме броя на трениращите футбол: \( \frac{1}{4} \) от 108.
\( \frac{1}{4} \cdot 108 = 27 \) ученици.
Отговор: 27 петокласници тренират футбол.
