Най-важното от урока
Проста лихва (L): Изчислява се само върху началния капитал (К). Формула: \( L = K \cdot \frac{p}{100} \cdot n \).
Пример: Лихвата по 1000 лв. за 2 год. при 5% е \( 1000 \cdot \frac{5}{100} \cdot 2 = 100 \) лв.
Нараснал капитал (\(K_n\)): Сумата от началния капитал и лихвата. Формула: \( K_n = K + L \).
Пример: Нарасналият капитал от горния пример е \( 1000 + 100 = 1100 \) лв.
Намиране на неизвестни: Формулите се преобразуват, за да се намери К или p.
Пример: Лихвата по 1000 лв. за 2 год. при 5% е \( 1000 \cdot \frac{5}{100} \cdot 2 = 100 \) лв.
Нараснал капитал (\(K_n\)): Сумата от началния капитал и лихвата. Формула: \( K_n = K + L \).
Пример: Нарасналият капитал от горния пример е \( 1000 + 100 = 1100 \) лв.
Намиране на неизвестни: Формулите се преобразуват, за да се намери К или p.
Начален капитал (K): Първоначалната сума пари, която е вложена в банка или дадена в заем.
Лихвен процент (p): Процентът от началния капитал, който се начислява като лихва за един лихвен период (обикновено 1 година).
Лихвен срок (n): Времето (брой периоди), за което се начислява лихвата.
Проста лихва: Лихва, която се изчислява винаги върху началния капитал, без да се прибавя към него за следващи периоди.
Ако вземете заем от 5000 лв. (начален капитал) при 8% (лихвен процент) проста годишна лихва за срок от 3 години (лихвен срок), лихвата всяка година ще се смята върху първоначалните 5000 лв.
Мария внася 2000 лв. в банка при 3% проста годишна лихва за 5 години. Посочете началния капитал, лихвения процент и лихвения срок.
Начален капитал (K): 2000 лв.
Лихвен процент (p): 3%
Лихвен срок (n): 5 години
Лихвен процент (p): 3%
Лихвен срок (n): 5 години
\[ \text{Лихва} = \text{Начален капитал} \cdot \frac{\text{Лихвен процент}}{100} \cdot \text{Брой периоди} \]
\[ L = K \cdot \frac{p}{100} \cdot n \]
Фирма дала заем от 10 000 лв. при 4% проста годишна лихва за 3 години.
Лихвата за 1 година е: \( \frac{4}{100} \cdot 10\,000 = 400 \) лв.
Лихвата за 3 години е: \( 3 \cdot 400 = 1\,200 \) лв.
Или директно с формулата: \( L = 10\,000 \cdot \frac{4}{100} \cdot 3 = 1\,200 \) лв.
Лихвата за 1 година е: \( \frac{4}{100} \cdot 10\,000 = 400 \) лв.
Лихвата за 3 години е: \( 3 \cdot 400 = 1\,200 \) лв.
Или директно с формулата: \( L = 10\,000 \cdot \frac{4}{100} \cdot 3 = 1\,200 \) лв.
Намерете лихвата по заем от 6000 лв., взет за 5 години при 7% проста годишна лихва.
\( L = 6000 \cdot \frac{7}{100} \cdot 5 = 60 \cdot 7 \cdot 5 = 2100 \) лв.
Отговор: Лихвата е 2100 лв.
Отговор: Лихвата е 2100 лв.
Нарасналият капитал (\(K_n\)) е крайната сума, която се получава, като към началния капитал се прибави натрупаната лихва.
\[ \text{Нараснал капитал} = \text{Начален капитал} + \text{Лихва} \]
\[ K_n = K + L \]
Бизнесмен дал заем от 30 000 лв. при 6% проста годишна лихва за 4 години.
Лихвата за 4 години е: \( L = 30\,000 \cdot \frac{6}{100} \cdot 4 = 7\,200 \) лв.
Сумата, която трябва да се върне (нараснал капитал), е: \( K_n = 30\,000 + 7\,200 = 37\,200 \) лв.
Лихвата за 4 години е: \( L = 30\,000 \cdot \frac{6}{100} \cdot 4 = 7\,200 \) лв.
Сумата, която трябва да се върне (нараснал капитал), е: \( K_n = 30\,000 + 7\,200 = 37\,200 \) лв.
Господин Иванов вложил 15 000 лв. при 2% проста годишна лихва. Каква сума ще има в сметката си след 10 години?
Първо намираме лихвата: \( L = 15\,000 \cdot \frac{2}{100} \cdot 10 = 3000 \) лв.
След това нарасналия капитал: \( K_n = 15\,000 + 3000 = 18\,000 \) лв.
Отговор: Ще има 18 000 лв.
След това нарасналия капитал: \( K_n = 15\,000 + 3000 = 18\,000 \) лв.
Отговор: Ще има 18 000 лв.
Чрез преобразуване на основните формули можем да намерим всяка от величините (капитал, процент), ако останалите са известни.
Намиране на начален капитал: Влог при 3% проста годишна лихва за 4 години е нараснал на 44 800 лв. Колко е бил първоначалният влог (K)?
Общият процент на нарастване е \( 4 \text{ год.} \cdot 3\% = 12\% \).
Крайната сума е \(100\% + 12\% = 112\%\) от началния капитал.
\( 1.12 \cdot K = 44\,800 \Rightarrow K = 44\,800 : 1.12 = 40\,000 \) лв.
Общият процент на нарастване е \( 4 \text{ год.} \cdot 3\% = 12\% \).
Крайната сума е \(100\% + 12\% = 112\%\) от началния капитал.
\( 1.12 \cdot K = 44\,800 \Rightarrow K = 44\,800 : 1.12 = 40\,000 \) лв.
За 5 години заем от 20 000 лв. е нараснал до 23 200 лв. Намерете годишния лихвен процент (p).
Общата лихва е \(23\,200 - 20\,000 = 3200\) лв.
Лихвата за 1 година е \(3200 : 5 = 640\) лв.
Търсим \(p\%\) от 20 000, което да е равно на 640 лв.
\( \frac{p}{100} \cdot 20\,000 = 640 \Rightarrow 200 \cdot p = 640 \Rightarrow p = 3.2 \)
Отговор: Лихвеният процент е 3.2%.
Лихвата за 1 година е \(3200 : 5 = 640\) лв.
Търсим \(p\%\) от 20 000, което да е равно на 640 лв.
\( \frac{p}{100} \cdot 20\,000 = 640 \Rightarrow 200 \cdot p = 640 \Rightarrow p = 3.2 \)
Отговор: Лихвеният процент е 3.2%.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лихвата за 1 година по влог от 2500 лв. при 4% проста годишна лихва.
\( L = 2500 \cdot \frac{4}{100} \cdot 1 = 100 \) лв.
Отговор: Лихвата е 100 лв.
Отговор: Лихвата е 100 лв.
Средна: Взет е заем от 12 000 лв. при 5.5% проста годишна лихва. Каква сума трябва да се върне след 6 години?
Лихвата за 6 години е: \( L = 12\,000 \cdot \frac{5.5}{100} \cdot 6 = 120 \cdot 5.5 \cdot 6 = 3960 \) лв.
Нарасналият капитал е: \( K_n = 12\,000 + 3960 = 15\,960 \) лв.
Отговор: Трябва да се върнат 15 960 лв.
Нарасналият капитал е: \( K_n = 12\,000 + 3960 = 15\,960 \) лв.
Отговор: Трябва да се върнат 15 960 лв.
Трудна: След 8 години влогът на г-жа Стоянова нараснал на 17 700 лв. Лихвеният процент на банката е 5% проста годишна лихва. Каква е била първоначалната сума, която е внесла?
Общият процент лихва за 8 години е \(8 \cdot 5\% = 40\%\).
Нарасналият капитал е \(100\% + 40\% = 140\%\) от началния капитал (K).
\( 1.40 \cdot K = 17\,700 \)
\( K = 17\,700 : 1.4 = 12\,642.86 \) лв. (закръглено)
Отговор: Първоначалната сума е била около 12 642.86 лв.
Нарасналият капитал е \(100\% + 40\% = 140\%\) от началния капитал (K).
\( 1.40 \cdot K = 17\,700 \)
\( K = 17\,700 : 1.4 = 12\,642.86 \) лв. (закръглено)
Отговор: Първоначалната сума е била около 12 642.86 лв.
