Най-важното от урока
Път, скорост, време: \(S = v \cdot t\).
Движение един срещу друг: Разстоянието е равно на сумата от скоростите, умножена по времето до срещата \(S = (v_1 + v_2) \cdot t\).
Средна скорост: Общият път, разделен на общото време \(v_{ср} = S_{общо} / t_{общо}\).
Движение по вода: По течението скоростите се събират (\(v_{собствена} + v_{течение}\)), а срещу течението се изваждат (\(v_{собствена} - v_{течение}\)).
Движение един срещу друг: Разстоянието е равно на сумата от скоростите, умножена по времето до срещата \(S = (v_1 + v_2) \cdot t\).
Средна скорост: Общият път, разделен на общото време \(v_{ср} = S_{общо} / t_{общо}\).
Движение по вода: По течението скоростите се събират (\(v_{собствена} + v_{течение}\)), а срещу течението се изваждат (\(v_{собствена} - v_{течение}\)).
Връзката между изминатия път (\(S\)), скоростта (\(v\)) и времето (\(t\)) е основна за решаването на задачи от движение.
\[ S = v \cdot t \]
Оттук можем да изразим:
\[ v = \frac{S}{t} \quad \text{и} \quad t = \frac{S}{v} \]
Автомобил се движи 2 часа (\(t\)) със скорост 90 km/h (\(v\)). Изминатият път е:
\(S = 90 \cdot 2 = 180\) km.
\(S = 90 \cdot 2 = 180\) km.
За колко време пешеходец, движещ се със скорост 5 km/h, ще измине разстояние от 12.5 km?
Търсим времето \(t\):
\[ t = \frac{S}{v} = \frac{12.5}{5} = 2.5 \text{ часа} \]
Когато два обекта тръгват едновременно един срещу друг, общият път, който изминават до срещата, е равен на първоначалното разстояние между тях.
\[ S = S_1 + S_2 = (v_1 \cdot t) + (v_2 \cdot t) = (v_1 + v_2) \cdot t \]
\(v_1 + v_2\) се нарича "скорост на сближаване".
От градовете А и В, на разстояние 54 km, тръгват двама велосипедисти един срещу друг. Скоростта на първия е 12.8 km/h, а на втория 14.2 km/h. Времето до срещата им е:
\( t = \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{54}{12.8 + 14.2} = \frac{54}{27} = 2 \) часа.
\( t = \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{54}{12.8 + 14.2} = \frac{54}{27} = 2 \) часа.
Две коли тръгват една срещу друга от два града, намиращи се на 300 km разстояние. Скоростта на едната е 70 km/h, а на другата - 80 km/h. След колко време ще се срещнат?
Времето до срещата е:
\[ t = \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{300}{70 + 80} = \frac{300}{150} = 2 \text{ часа} \]
Средната скорост не е средно аритметично на отделните скорости! Тя се намира като се раздели целият изминат път на цялото време за движение.
\[ v_{средна} = \frac{S_{общо}}{t_{общо}} = \frac{S_1 + S_2 + \dots}{t_1 + t_2 + \dots} \]
Турист върви 3 часа със скорост 6.3 km/h (\(S_1 = 18.9\) km) и кара колело 2 часа със скорост 12.6 km/h (\(S_2 = 25.2\) km).
Общ път: \(S = 18.9 + 25.2 = 44.1\) km.
Общо време: \(t = 3 + 2 = 5\) h.
Средна скорост: \(v_{средна} = \frac{44.1}{5} = 8.82\) km/h.
Общ път: \(S = 18.9 + 25.2 = 44.1\) km.
Общо време: \(t = 3 + 2 = 5\) h.
Средна скорост: \(v_{средна} = \frac{44.1}{5} = 8.82\) km/h.
Автомобил пътува 2 часа със 100 km/h и 3 часа с 60 km/h. Намерете средната му скорост.
\(S_1 = 2 \cdot 100 = 200\) km; \(S_2 = 3 \cdot 60 = 180\) km.
\(S_{общо} = 200 + 180 = 380\) km.
\(t_{общо} = 2 + 3 = 5\) h.
\(v_{средна} = \frac{380}{5} = 76\) km/h.
\(S_{общо} = 200 + 180 = 380\) km.
\(t_{общо} = 2 + 3 = 5\) h.
\(v_{средна} = \frac{380}{5} = 76\) km/h.
Скоростта на плавателен съд се влияе от скоростта на течението на реката.
Скорост по течението (по-бързо):
\[ v_{\text{по течението}} = v_{\text{собствена}} + v_{\text{течение}} \]
Скорост срещу течението (по-бавно):
\[ v_{\text{срещу течението}} = v_{\text{собствена}} - v_{\text{течение}} \]
Лодка със собствена скорост 13.5 km/h се движи по река със скорост на течението 2.7 km/h.
Скоростта ѝ по течението е \(13.5 + 2.7 = 16.2\) km/h.
Скоростта ѝ срещу течението е \(13.5 - 2.7 = 10.8\) km/h.
Скоростта ѝ по течението е \(13.5 + 2.7 = 16.2\) km/h.
Скоростта ѝ срещу течението е \(13.5 - 2.7 = 10.8\) km/h.
Катер се движи по течението със скорост 28 km/h. Ако скоростта на течението е 3 km/h, каква е собствената скорост на катера?
\(v_{\text{по течението}} = v_{\text{собствена}} + v_{\text{течение}}\)
\(28 = v_{\text{собствена}} + 3\)
\(v_{\text{собствена}} = 28 - 3 = 25\) km/h.
\(28 = v_{\text{собствена}} + 3\)
\(v_{\text{собствена}} = 28 - 3 = 25\) km/h.
Задачи за упражнение
Лесна: Камион се движи 3.5 часа със средна скорост 70 km/h. Какво разстояние ще измине?
Прилагаме основната формула \(S = v \cdot t\).
\(S = 70 \cdot 3.5 = 245\) km.
\(S = 70 \cdot 3.5 = 245\) km.
Средна: От два града, разстоянието между които е 255 km, тръгват едновременно един срещу друг камион и кола. Те се срещат след 1.5 часа. Ако скоростта на камиона е 80 km/h, намерете скоростта на колата.
Нека скоростта на колата е \(x\) km/h. Използваме формулата за движение един срещу друг:
\(S = (v_1 + v_2) \cdot t\)
\(255 = (80 + x) \cdot 1.5\)
\(80 + x = \frac{255}{1.5}\)
\(80 + x = 170\)
\(x = 170 - 80 = 90\) km/h.
\(S = (v_1 + v_2) \cdot t\)
\(255 = (80 + x) \cdot 1.5\)
\(80 + x = \frac{255}{1.5}\)
\(80 + x = 170\)
\(x = 170 - 80 = 90\) km/h.
Трудна: Моторна лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението за 4 часа, а срещу течението за 5 часа. Намерете разстоянието между пристанищата, ако скоростта на течението е 2 km/h.
Нека собствената скорост на лодката е \(v\), а разстоянието е \(S\).
По течението: \(S = (v + 2) \cdot 4\)
Срещу течението: \(S = (v - 2) \cdot 5\)
Приравняваме двата израза за \(S\):
\(4(v + 2) = 5(v - 2)\)
\(4v + 8 = 5v - 10\)
\(v = 18\) km/h (това е собствената скорост).
Намираме разстоянието: \(S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80\) km.
По течението: \(S = (v + 2) \cdot 4\)
Срещу течението: \(S = (v - 2) \cdot 5\)
Приравняваме двата израза за \(S\):
\(4(v + 2) = 5(v - 2)\)
\(4v + 8 = 5v - 10\)
\(v = 18\) km/h (това е собствената скорост).
Намираме разстоянието: \(S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80\) km.
