Най-важното от урока
Основна формула: \(S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2}\).
Приложение: Формулата е валидна за всички видове триъгълници - остроъгълни, тъпоъгълни и правоъгълни.
Внимание: Винаги преобразувайте размерите в еднакви мерни единици преди изчисление! (напр. \(b=0.2\) dm, \(h_b=5\) cm \(\rightarrow\) \(b=2\) cm, \(h_b=5\) cm).
Приложение: Формулата е валидна за всички видове триъгълници - остроъгълни, тъпоъгълни и правоъгълни.
Внимание: Винаги преобразувайте размерите в еднакви мерни единици преди изчисление! (напр. \(b=0.2\) dm, \(h_b=5\) cm \(\rightarrow\) \(b=2\) cm, \(h_b=5\) cm).
Лицето на триъгълник е равно на половината от произведението на една от страните му (основа) и височината към нея.
Даден е \(\triangle ABC\) със страна \(a = 9\) cm и височина към нея \(h_a = 5\) cm. Лицето е:
\[ S = \frac{9 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}}{2} = \frac{45}{2} = 22,5 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на триъгълник със страна \(c = 10\) cm и височина към нея \(h_c = 8\) cm.
\(S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{10 \cdot 8}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ cm}^2\).
При остроъгълния триъгълник височината лежи вътре в него и го разделя на два правоъгълни триъгълника. Лицето му е сбор от лицата на тези два триъгълника.
В \(\triangle ABC\) височината \(CC_1 = 4\) cm разделя страната \(AB\) на части \(AC_1 = 5\) cm и \(C_1B = 3\) cm. Страната \(AB\) е \(5+3=8\) cm. Лицето е:
\[ S = \frac{AB \cdot CC_1}{2} = \frac{(5+3) \cdot 4}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16 \text{ cm}^2 \]
В остроъгълен \(\triangle ABC\), височината \(CH = 6\) cm към страната \(AB\). Петата на височината \(H\) разделя \(AB\) на отсечки \(AH=4\) cm и \(HB=5\) cm. Намерете лицето.
Страната \(AB = AH + HB = 4 + 5 = 9\) cm.
\(S = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27 \text{ cm}^2\).
\(S = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27 \text{ cm}^2\).
При тъпоъгълен триъгълник височината към страна, съседна на тъпия ъгъл, лежи извън триъгълника. Тя се спуска към продължението на страната.
В тъпоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle B > 90^\circ\)) е спусната височина \(CC_1 = 4\) cm към продължението на \(AB\). Дадени са \(AC_1=7\) cm и \(BC_1=2\) cm. Основата \(AB = AC_1 - BC_1 = 7-2=5\) cm. Лицето е:
\[ S = \frac{AB \cdot CC_1}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \text{ cm}^2 \]
В тъпоъгълен \(\triangle PQR\) (\(\angle Q > 90^\circ\)) височината \(RH = 5\) cm е спусната към продължението на \(PQ\). Ако \(PH = 12\) cm, а \(QH = 4\) cm, намерете лицето на \(\triangle PQR\).
Страната \(PQ = PH - QH = 12 - 4 = 8\) cm.
\(S = \frac{PQ \cdot RH}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2\).
\(S = \frac{PQ \cdot RH}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2\).
Преди да приложите формулата за лице, уверете се, че дължините на страната и височината са в една и съща мерна единица (напр. и двете в cm, mm или dm).
Даден е \(\triangle ABC\) със страна \(b = 70\) mm и височина \(h_b = 0,5\) dm. Търсим лицето в \(\text{cm}^2\).
1. Преобразуваме: \(b = 70 \text{ mm} = 7 \text{ cm}\); \(h_b = 0,5 \text{ dm} = 5 \text{ cm}\).
2. Изчисляваме: \(S = \frac{7 \cdot 5}{2} = \frac{35}{2} = 17,5 \text{ cm}^2\).
1. Преобразуваме: \(b = 70 \text{ mm} = 7 \text{ cm}\); \(h_b = 0,5 \text{ dm} = 5 \text{ cm}\).
2. Изчисляваме: \(S = \frac{7 \cdot 5}{2} = \frac{35}{2} = 17,5 \text{ cm}^2\).
Намерете лицето на триъгълник в \(\text{cm}^2\), ако страната му е \(0,6\) dm, а височината към нея е \(30\) mm.
Преобразуваме: \(0,6 \text{ dm} = 6 \text{ cm}\); \(30 \text{ mm} = 3 \text{ cm}\).
\(S = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}^2\).
\(S = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на триъгълник със страна 14 cm и височина към нея 5 cm.
\(S = \frac{14 \cdot 5}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2\).
Средна: Лицето на триъгълник е \(42 \text{ cm}^2\), а една от страните му е 12 cm. Намерете дължината на височината към тази страна.
От формулата \(S = \frac{a \cdot h_a}{2}\) имаме \(42 = \frac{12 \cdot h_a}{2}\).
\(42 = 6 \cdot h_a\)
\(h_a = 42 : 6 = 7\) cm.
\(42 = 6 \cdot h_a\)
\(h_a = 42 : 6 = 7\) cm.
Трудна: В правоъгълен триъгълник катетите (страните при правия ъгъл) са с дължини 8 cm и 15 cm. Намерете лицето на триъгълника. (Подсказка: Всеки катет е височина към другия катет.)
Можем да приемем единия катет за основа, а другия за височина към нея.
\(S = \frac{8 \cdot 15}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
\(S = \frac{8 \cdot 15}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
