Кратко решение
а)
\[ \frac{2^{7} \cdot 3^{8}}{2^{6} \cdot 3^{7}} = 2^{7-6} \cdot 3^{8-7} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6 \]
б)
\[ \frac{3^{5} \cdot 5^{11}}{81 \cdot 5^{4} \cdot 5^{7}} = \frac{3^5 \cdot 5^{11}}{3^4 \cdot 5^{4+7}} = \frac{3^5 \cdot \cancel{5^{11}}}{3^4 \cdot \cancel{5^{11}}} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 \]
в)
\[ \frac{64 \cdot 7^{3} \cdot 7^{11}}{2^{7} \cdot 7^{6} \cdot 7^{7}} = \frac{2^6 \cdot 7^{3+11}}{2^7 \cdot 7^{6+7}} = \frac{2^6 \cdot 7^{14}}{2^7 \cdot 7^{13}} = \frac{7^{14-13}}{2^{7-6}} = \frac{7^1}{2^1} = \frac{7}{2} = 3,5 \]
г)
\[ \frac{125 \cdot 11^{3} \cdot 11^{8}}{5^{2} \cdot 11^{4} \cdot 11^{6}} = \frac{5^3 \cdot 11^{3+8}}{5^2 \cdot 11^{4+6}} = \frac{5^3 \cdot 11^{11}}{5^2 \cdot 11^{10}} = 5^{3-2} \cdot 11^{11-10} = 5^1 \cdot 11^1 = 5 \cdot 11 = 55 \]
Подробно решение
а) \( \frac{2^{7} \cdot 3^{8}}{2^{6} \cdot 3^{7}} \)
Стъпка 1: Прилагаме правилата за деление на степени с равни основи
Използваме свойството \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) за степените с основа \( 2 \) и основа \( 3 \):
\[ \frac{2^{7} \cdot 3^{8}}{2^{6} \cdot 3^{7}} = 2^{7-6} \cdot 3^{8-7} \]
Стъпка 2: Пресмятаме стойността на израза
\[ 2^{7-6} \cdot 3^{8-7} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6 \]
б) \( \frac{3^{5} \cdot 5^{11}}{81 \cdot 5^{4} \cdot 5^{7}} \)
Стъпка 1: Представяме числата като степени с прости основи
Представяме числото \( 81 \) като степен на числото \( 3 \):
\[ 81 = 3^4 \]
Стъпка 2: Прилагаме свойството за умножение на степени в знаменателя
Използваме \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) за степените с основа \( 5 \):
\[ 81 \cdot 5^4 \cdot 5^7 = 3^4 \cdot 5^{4+7} = 3^4 \cdot 5^{11} \]
Стъпка 3: Съкращаваме и делим степените с равни основи
\[ \frac{3^5 \cdot \cancel{5^{11}}}{3^4 \cdot \cancel{5^{11}}} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 \]
в) \( \frac{64 \cdot 7^{3} \cdot 7^{11}}{2^{7} \cdot 7^{6} \cdot 7^{7}} \)
Стъпка 1: Представяме съставните числа като степени с прости основи
Представяме числото \( 64 \) като степен с основа \( 2 \):
\[ 64 = 2^6 \]
Стъпка 2: Опростяваме числителя и знаменателя
Прилагаме правилото за умножение на степени с равни основи \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
- За числителя:
\[ 64 \cdot 7^3 \cdot 7^{11} = 2^6 \cdot 7^{3+11} = 2^6 \cdot 7^{14} \]
- За знаменателя:
\[ 2^7 \cdot 7^6 \cdot 7^7 = 2^7 \cdot 7^{6+7} = 2^7 \cdot 7^{13} \]
Стъпка 3: Съкращаваме и делим степените
\[ \frac{2^6 \cdot 7^{14}}{2^7 \cdot 7^{13}} = \frac{7^{14-13}}{2^{7-6}} = \frac{7^1}{2^1} = \frac{7}{2} = 3,5 \]
г) \( \frac{125 \cdot 11^{3} \cdot 11^{8}}{5^{2} \cdot 11^{4} \cdot 11^{6}} \)
Стъпка 1: Представяме съставните числа като степени с прости основи
Представяме числото \( 125 \) като степен с основа \( 5 \):
\[ 125 = 5^3 \]
Стъпка 2: Опростяваме числителя и знаменателя
Прилагаме свойството за умножение на степени с равни основи:
- За числителя:
\[ 125 \cdot 11^3 \cdot 11^8 = 5^3 \cdot 11^{3+8} = 5^3 \cdot 11^{11} \]
- За знаменателя:
\[ 5^2 \cdot 11^4 \cdot 11^6 = 5^2 \cdot 11^{4+6} = 5^2 \cdot 11^{10} \]
Стъпка 3: Делим степените и намираме крайния резултат
\[ \frac{5^3 \cdot 11^{11}}{5^2 \cdot 11^{10}} = 5^{3-2} \cdot 11^{11-10} = 5^1 \cdot 11^1 = 5 \cdot 11 = 55 \]
Кратък запис на решението:
а)
\[ \frac{2^7 \cdot 3^8}{2^6 \cdot 3^7} = 2^{7-6} \cdot 3^{8-7} = 2 \cdot 3 = 6 \]
б)
\[ \frac{3^5 \cdot 5^{11}}{81 \cdot 5^4 \cdot 5^7} = \frac{3^5 \cdot \cancel{5^{11}}}{3^4 \cdot \cancel{5^{11}}} = 3^{5-4} = 3 \]
в)
\[ \frac{64 \cdot 7^3 \cdot 7^{11}}{2^7 \cdot 7^6 \cdot 7^7} = \frac{2^6 \cdot 7^{14}}{2^7 \cdot 7^{13}} = \frac{7}{2} = 3,5 \]
г)
\[ \frac{125 \cdot 11^3 \cdot 11^8}{5^2 \cdot 11^4 \cdot 11^6} = \frac{5^3 \cdot 11^{11}}{5^2 \cdot 11^{10}} = 5 \cdot 11 = 55 \]
