Най-важното от урока
Пропорция: Равенство на две отношения \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \). Основното свойство е \( a \cdot d = b \cdot c \).
Права пропорционалност (\(y=kx\)): Повече от едното означава повече от другото.
Пример: Повече изминати километри → повече изгорено гориво.
Обратна пропорционалност (\(xy=k\)): Повече от едното означава по-малко от другото.
Пример: Повече работници → по-малко време за работа.
Пропорционално разпределение: Разделяне на цяло в дадено отношение \(a:b\), като се използва \(ax + bx = \text{Цялото}\).
Права пропорционалност (\(y=kx\)): Повече от едното означава повече от другото.
Пример: Повече изминати километри → повече изгорено гориво.
Обратна пропорционалност (\(xy=k\)): Повече от едното означава по-малко от другото.
Пример: Повече работници → по-малко време за работа.
Пропорционално разпределение: Разделяне на цяло в дадено отношение \(a:b\), като се използва \(ax + bx = \text{Цялото}\).
Пропорция се нарича равенството на две отношения (две дроби).
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{или} \quad a:b = c:d \]
Четем: „\(a\) се отнася към \(b\) така, както \(c\) се отнася към \(d\)“.
Основно свойство: Произведението на крайните членове (\(a\) и \(d\)) е равно на произведението на средните членове (\(b\) и \(c\)).
\[ \text{Ако } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \text{ то } a \cdot d = b \cdot c \]
Да намерим неизвестния член \(x\) в пропорцията \( \dfrac{x}{9} = \dfrac{5,4}{1,2} \).
Прилагаме основното свойство:
\( x \cdot 1,2 = 9 \cdot 5,4 \)
\( x \cdot 1,2 = 48,6 \)
\( x = \dfrac{48,6}{1,2} = 40,5 \)
Прилагаме основното свойство:
\( x \cdot 1,2 = 9 \cdot 5,4 \)
\( x \cdot 1,2 = 48,6 \)
\( x = \dfrac{48,6}{1,2} = 40,5 \)
Намерете \(x\) от пропорцията \( \dfrac{11}{x} = \dfrac{4}{7} \).
\( 11 \cdot 7 = x \cdot 4 \)
\( 77 = 4x \)
\( x = \dfrac{77}{4} = 19,25 \)
\( 77 = 4x \)
\( x = \dfrac{77}{4} = 19,25 \)
Две величини са в права пропорционалност, когато увеличаването на едната води до пропорционално увеличаване на другата. Тяхното отношение е постоянно число, наречено коефициент на пропорционалност (\(k\)).
\[ y = k \cdot x \quad \text{или} \quad \frac{y}{x} = k \]
Автомобил харчи \(7,2\) L гориво на \(100\mathrm{~ km}\). Колко гориво ще му е нужно за \(345\mathrm{~ km}\)?
Нека нужното гориво е \(x\) L. Разходът на километър е постоянен, затова зависимостта е права. \[ \frac{7,2}{100} = \frac{x}{345} \] \[ x = \frac{7,2 \cdot 345}{100} = \frac{2484}{100} = 24,84 \mathrm{~L} \].
Нека нужното гориво е \(x\) L. Разходът на километър е постоянен, затова зависимостта е права. \[ \frac{7,2}{100} = \frac{x}{345} \] \[ x = \frac{7,2 \cdot 345}{100} = \frac{2484}{100} = 24,84 \mathrm{~L} \].
Ако \(5\) тетрадки струват \(8\) лв, колко ще струват \(12\) такива тетрадки?
Нека цената на \(12\) тетрадки е \(x\) лв.
\[ \frac{5}{8} = \frac{12}{x} \]
\( 5 \cdot x = 8 \cdot 12 \)
\( 5x = 96 \)
\( x = 19.20 \) лв.
\( 5x = 96 \)
\( x = 19.20 \) лв.
Две величини са в обратна пропорционалност, когато увеличаването на едната води до пропорционално намаляване на другата. Тяхното произведение е постоянно число (\(k\)).
\[ y = \frac{k}{x} \quad \text{или} \quad x \cdot y = k \]
\(15\) машини изпълняват поръчка за \(4\) дни. Колко машини са нужни, за да се изпълни същата поръчка за \(3\) дни?
Зависимостта е обратна: повече машини → по-малко дни. Произведението им е константа (обемът работа).
Нека \(x\) е броят на машините. \[ x \cdot 3 = 15 \cdot 4 \] \( 3x = 60 \)
\( x = 20 \) машини.
Зависимостта е обратна: повече машини → по-малко дни. Произведението им е константа (обемът работа).
Нека \(x\) е броят на машините. \[ x \cdot 3 = 15 \cdot 4 \] \( 3x = 60 \)
\( x = 20 \) машини.
Автомобил се движи със скорост \(80\mathrm{~ km/h}\) и изминава разстояние за \(3\) часа. За колко време ще измине същото разстояние, ако се движи с \(60\mathrm{~ km/h}\) ?
Нека новото време е \(t\). Зависимостта е обратна (по-ниска скорост → повече време).
\[ 60 \cdot t = 80 \cdot 3 \]
\( 60t = 240 \)
\( t = 4 \) часа.
\( t = 4 \) часа.
Това е задача, при която дадено количество се разделя на части, които са в предварително зададено отношение (например \(4:5:6\)).
Въвеждаме коефициент на пропорционалност \(x\), който представлява "един дял".
Изразяваме всяка част чрез \(x\) (например \(4x\), \(5x\), \(6x\)).
Съставяме уравнение, като сборът на частите го приравняваме на общото количество.
Трима съдружници разпределят печалба от \(225\, 000\) лв. в отношение \(4:5:6\).
1. Един дял е \(x\) лв.
2. Частите са \(4x\), \(5x\) и \(6x\).
3. \(4x + 5x + 6x = 225\,000\)
\(15x = 225000 \Rightarrow x = 15000\) лв.
Сумите са: \(4 \cdot 15\,000 = 60\,000\) лв, \(5 \cdot 15\,000 = 75\,000\) лв, \(6 \cdot 15\,000 = 90\,000\) лв.
1. Един дял е \(x\) лв.
2. Частите са \(4x\), \(5x\) и \(6x\).
3. \(4x + 5x + 6x = 225\,000\)
\(15x = 225000 \Rightarrow x = 15000\) лв.
Сумите са: \(4 \cdot 15\,000 = 60\,000\) лв, \(5 \cdot 15\,000 = 75\,000\) лв, \(6 \cdot 15\,000 = 90\,000\) лв.
Разделете числото \(80\) на две части в отношение \(3:5\).
Частите са \(3x\) и \(5x\).
\(3x + 5x = 80\)
\(8x = 80 \Rightarrow x=10\)
Частите са \(3 \cdot 10 = 30\) и \(5 \cdot 10 = 50\).
\(3x + 5x = 80\)
\(8x = 80 \Rightarrow x=10\)
Частите са \(3 \cdot 10 = 30\) и \(5 \cdot 10 = 50\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете неизвестния член в пропорцията \(15:x = 9:18\).
Използваме основното свойство: \(15 \cdot 18 = x \cdot 9\).
\(270 = 9x\)
\(x = \dfrac{270}{9} = 30\).
Отговор: \(x = 30\).
\(270 = 9x\)
\(x = \dfrac{270}{9} = 30\).
Отговор: \(x = 30\).
Средна: Блокче сплав с маса \(1.3\mathrm{~ kg}\) съдържа \(330\mathrm{~ g} \) мед. Колко грама мед се съдържат в \(2\mathrm{~ kg}\) от същата сплав? (\(1 \mathrm{~ kg} = 1000\mathrm{~ g}\))
Първо, уеднаквяваме мерните единици: (\(1.3 \mathrm{~ kg} = 1300\mathrm{~ g}\)).
Зависимостта е права пропорционалност. Нека \(x\) е количеството мед в \(2000\mathrm{~ g}\) сплав. \[ \frac{1300}{330} = \frac{2000}{x} \] \(1300 \cdot x = 330 \cdot 2000\)
\(1300x = 660000\)
\(x = \dfrac{660000}{1300} \approx 507.7\mathrm{~ g}\) .
Отговор: Приблизително \(507.7\) грама мед.
Зависимостта е права пропорционалност. Нека \(x\) е количеството мед в \(2000\mathrm{~ g}\) сплав. \[ \frac{1300}{330} = \frac{2000}{x} \] \(1300 \cdot x = 330 \cdot 2000\)
\(1300x = 660000\)
\(x = \dfrac{660000}{1300} \approx 507.7\mathrm{~ g}\) .
Отговор: Приблизително \(507.7\) грама мед.
Трудна: Отношението на дължините на страните на правоъгълник е \(3:5\), а периметърът му е \(48\mathrm{~ cm}\). Намерете лицето на правоъгълника.
Нека страните са \(a=3x\) и \(b=5x\).
Периметърът е \(P = 2(a+b)\).
\(48 = 2(3x + 5x)\)
\(48 = 2(8x)\)
\(48 = 16x \Rightarrow x=3\).
Страните са \(a = 3 \cdot 3 = 9\mathrm{~ cm}\) и \(b = 5 \cdot 3 = 15\mathrm{~ cm}\) .
Лицето е \(S = a \cdot b = 9 \cdot 15 = 135\mathrm{~ cm}^2\) .
Отговор: Лицето е \(135\mathrm{~ cm}^2\) ..
Периметърът е \(P = 2(a+b)\).
\(48 = 2(3x + 5x)\)
\(48 = 2(8x)\)
\(48 = 16x \Rightarrow x=3\).
Страните са \(a = 3 \cdot 3 = 9\mathrm{~ cm}\) и \(b = 5 \cdot 3 = 15\mathrm{~ cm}\) .
Лицето е \(S = a \cdot b = 9 \cdot 15 = 135\mathrm{~ cm}^2\) .
Отговор: Лицето е \(135\mathrm{~ cm}^2\) ..
