Най-важното от урока
Основна формула: Винаги започвай с \(S = v \cdot t\). Увери се, че мерните единици са еднакви (km с h, m със s).
Движение едно срещу друго: Сумата от пътищата е равна на цялото разстояние. Пример: \(S_1 + S_2 = S_{\text{общо}}\).
Движение в една посока (настигане): Пътят на бързия е равен на пътя на бавния плюс преднината. Пример: \(S_{\text{бърз}} = S_{\text{бавен}} + S_{\text{предимство}}\).
Движение едно срещу друго: Сумата от пътищата е равна на цялото разстояние. Пример: \(S_1 + S_2 = S_{\text{общо}}\).
Движение в една посока (настигане): Пътят на бързия е равен на пътя на бавния плюс преднината. Пример: \(S_{\text{бърз}} = S_{\text{бавен}} + S_{\text{предимство}}\).
Зависимостта между изминат път (\(S\)), скорост (\(v\)) и време (\(t\)) е основна при решаване на задачи от движение.
\[ S = v \cdot t \]
От тази формула можем да изразим скоростта \(v = \frac{S}{t}\) и времето \(t = \frac{S}{v}\).
Мерните единици трябва да са съгласувани. Ако пътят е в километри (km) и времето в часове (h), скоростта ще е в километри в час (km/h).
Автомобил се движи \(3\) часа със скорост \(80 \text{ km/h}\). Изминатият от него път е:
\(S = 80 \text{ km/h} \cdot 3 \text{ h} = 240 \text{ km}\).
\(S = 80 \text{ km/h} \cdot 3 \text{ h} = 240 \text{ km}\).
Колко време е необходимо на пешеходец, движещ се със скорост \(5 \text{ km/h}\), за да измине разстояние от \(15 \text{ km}\)?
Отговор: Използваме \(t = \dfrac{S}{v}\).
\(t = \dfrac{15 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 3 \text{ h}\).
\(t = \dfrac{15 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 3 \text{ h}\).
Когато две тела се движат едно срещу друго, сумата от пътищата, които изминават до момента на срещата, е равна на първоначалното разстояние между тях.
\[ S_1 + S_2 = S_{\text{общо}} \]
Разстоянието между \(A\) и \(B\) е \(360 \text{ km}\). От \(А\) тръгва камион със скорост \(80 \text{ km/h}\), а от \(В\) срещу него тръгва кола със скорост \(100 \text{ km/h}\). След колко време ще се срещнат?
Нека времето до срещата е \(x\) часа.
Пътят на камиона: \(S_1 = 80x\).
Пътят на колата: \(S_2 = 100x\).
Уравнението е: \(80x + 100x = 360 \Rightarrow 180x = 360 \Rightarrow x = 2\) часа.
Нека времето до срещата е \(x\) часа.
Пътят на камиона: \(S_1 = 80x\).
Пътят на колата: \(S_2 = 100x\).
Уравнението е: \(80x + 100x = 360 \Rightarrow 180x = 360 \Rightarrow x = 2\) часа.
Двама велосипедисти тръгват едновременно един срещу друг от градове, намиращи се на \(90 \text{ km}\) разстояние. Скоростта на първия е \(12 \text{ km/h}\), а на втория е \(18 \text{ km/h}\). След колко време ще се срещнат?
Нека времето е \(x\).
\(12x + 18x = 90\)
\(30x = 90\)
\(x = 3\) часа.
\(12x + 18x = 90\)
\(30x = 90\)
\(x = 3\) часа.
Когато по-бързо тяло настига по-бавно, движещо се в същата посока, изминатият от по-бързото тяло път е равен на пътя на по-бавното плюс първоначалното разстояние (преднината) между тях.
\[ S_{\text{бърз}} = S_{\text{бавен}} + S_{\text{преднина}} \]
От град \(A\) тръгва кола с \(90 \text{ km/h}\). В същото време от град \(C\), който е на \(40 \text{ km}\) пред \(A\) по същия път, тръгва камион с \(70 \text{ km/h}\). След колко време колата ще настигне камиона в град \(B\)?
Нека времето е \(x\) часа.
Пътят на колата: \(S_{\text{кола}} = 90x\).
Пътят на камиона: \(S_{\text{камион}} = 70x\).
Уравнението е: \(90x = 70x + 40 \Rightarrow 20x = 40 \Rightarrow x = 2\) часа.
Нека времето е \(x\) часа.
Пътят на колата: \(S_{\text{кола}} = 90x\).
Пътят на камиона: \(S_{\text{камион}} = 70x\).
Уравнението е: \(90x = 70x + 40 \Rightarrow 20x = 40 \Rightarrow x = 2\) часа.
Гепард (\(90 \text{ km/h}\)) забелязва антилопа (\(75 \text{ km/h}\)) на \(5\mathrm{~ km}\) пред себе си и започва да я преследва. След колко време ще я настигне, ако и двамата поддържат скоростта си?
Нека времето е \(x\).
Път на гепарда: \(90x\). Път на антилопата: \(75x\). Преднина: \(5 \text{ km}\).
\(90x = 75x + 5\)
\(15x = 5\)
\(x = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\) часа, което е \(20\) минути.
Път на гепарда: \(90x\). Път на антилопата: \(75x\). Преднина: \(5 \text{ km}\).
\(90x = 75x + 5\)
\(15x = 5\)
\(x = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\) часа, което е \(20\) минути.
Задачи за упражнение
Лесна: Самолет лети със скорост \(800 \text{ km/h}\). Какво разстояние ще измине за \(4\) часа и \(30\) минути?
Първо, превръщаме времето в часове: \(4\) ч. \(30\) мин. = \(4.5\) ч.
Използваме формулата \(S = v \cdot t\).
\(S = 800 \text{ km/h} \cdot 4.5 \text{ h} = 3600 \text{ km}\).
Отговор: Самолетът ще измине \(3600\mathrm{~km}\) .
Използваме формулата \(S = v \cdot t\).
\(S = 800 \text{ km/h} \cdot 4.5 \text{ h} = 3600 \text{ km}\).
Отговор: Самолетът ще измине \(3600\mathrm{~km}\) .
Средна: От хижа \(A\) и хижа \(B\), разстоянието между които е \(18 \text{ km}\), тръгват едновременно един срещу друг двама туристи. Единият се движи със скорост \(4 \text{ km/h}\), а другият с \(5 \text{ km/h}\). На какво разстояние от хижа \(A\) ще се състои срещата?
1. Намираме времето до срещата (\(t\)):
\(S_1 + S_2 = 18 \Rightarrow 4t + 5t = 18 \Rightarrow 9t = 18 \Rightarrow t = 2\) часа.
2. Намираме разстоянието от хижа А. Това е пътят, изминат от първия турист (тръгнал от А):
\(S_1 = v_1 \cdot t = 4 \text{ km/h} \cdot 2 \text{ h} = 8 \text{ km}\).
Отговор: Срещата ще се състои на \(8 \text{ km}\) от хижа \(A\).
\(S_1 + S_2 = 18 \Rightarrow 4t + 5t = 18 \Rightarrow 9t = 18 \Rightarrow t = 2\) часа.
2. Намираме разстоянието от хижа А. Това е пътят, изминат от първия турист (тръгнал от А):
\(S_1 = v_1 \cdot t = 4 \text{ km/h} \cdot 2 \text{ h} = 8 \text{ km}\).
Отговор: Срещата ще се състои на \(8 \text{ km}\) от хижа \(A\).
Трудна: От Сливен за Ямбол (разстояние \(24 \text{ km}\)) в \(7:00\) ч. тръгва велосипедист със скорост \(10 \text{ km/h}\). В \(7:30\) ч. от Ямбол за Сливен тръгва втори велосипедист със скорост \(12 \text{ km/h}\). В колко часа ще се срещнат?
Нека първият велосипедист се движи \(x\) часа до срещата. Вторият тръгва половин час по-късно, значи се движи \(x - 0.5\) часа.
Пътят на първия: \(S_1 = 10x\).
Пътят на втория: \(S_2 = 12(x - 0.5)\).
Общият път е \(24 \text{ km}\): \(S_1 + S_2 = 24\).
\(10x + 12(x - 0.5) = 24\)
\(10x + 12x - 6 = 24\)
\(22x = 30\)
\(x = \dfrac{30}{22} = \dfrac{15}{11} \approx 1.36\) часа. Това е времето на пътуване на първия колоездач. Той е тръгнал в 7:00 ч.
\(\frac{15}{11}\) часа \(= 1\frac{4}{11}\) часа \(= 1\) час и \(\frac{4}{11} \cdot 60 \approx 22\) минути.
Срещата е станала приблизително в 7:00 + 1 час и 22 минути = 8:22 часа.
Пътят на първия: \(S_1 = 10x\).
Пътят на втория: \(S_2 = 12(x - 0.5)\).
Общият път е \(24 \text{ km}\): \(S_1 + S_2 = 24\).
\(10x + 12(x - 0.5) = 24\)
\(10x + 12x - 6 = 24\)
\(22x = 30\)
\(x = \dfrac{30}{22} = \dfrac{15}{11} \approx 1.36\) часа. Това е времето на пътуване на първия колоездач. Той е тръгнал в 7:00 ч.
\(\frac{15}{11}\) часа \(= 1\frac{4}{11}\) часа \(= 1\) час и \(\frac{4}{11} \cdot 60 \approx 22\) минути.
Срещата е станала приблизително в 7:00 + 1 час и 22 минути = 8:22 часа.
