Най-важното от урока
Опростяване: Използвай формулите за съкратено умножение, за да разкриеш скоби и комбинирай подобните членове. Пример: \( (x+3)^2 - 6x = (x^2+6x+9) - 6x = x^2+9 \).
Рационално пресмятане: Превърни числовия израз в удобна формула. Пример: \( 51^2 - 49^2 = (51-49)(51+49) = 2 \cdot 100 = 200 \).
Доказване на делимост: Разложи израза на множители. Ако търсеният делител е един от множителите, твърдението е вярно. Пример: \( a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \), следователно \(a^2-4\) се дели на \(a+2\).
Рационално пресмятане: Превърни числовия израз в удобна формула. Пример: \( 51^2 - 49^2 = (51-49)(51+49) = 2 \cdot 100 = 200 \).
Доказване на делимост: Разложи израза на множители. Ако търсеният делител е един от множителите, твърдението е вярно. Пример: \( a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \), следователно \(a^2-4\) се дели на \(a+2\).
Тъждествено преобразуване (опростяване) на израз означава да се приложат формулите за съкратено умножение, да се разкрият скоби и да се извършат действия с подобните едночлени, за да се получи по-прост (но тъждествено равен) израз.
Опростете израза \( (x-3)^2 - (x+2)(x-2) \).
Прилагаме формулите \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 - 2^2) = \] \[ = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 4) = \] Разкриваме скобите (внимание за знака отпред): \[ = x^2 - 6x + 9 - x^2 + 4 = -6x + 13 \]
Прилагаме формулите \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 - 2^2) = \] \[ = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 4) = \] Разкриваме скобите (внимание за знака отпред): \[ = x^2 - 6x + 9 - x^2 + 4 = -6x + 13 \]
Опростете израза \( (y+5)^2 - 5(2y+5) \).
\( (y^2 + 10y + 25) - (10y + 25) = y^2 + 10y + 25 - 10y - 25 = y^2 \)
За да докажем, че едно равенство е тъждество, преобразуваме едната му страна (обикновено по-сложната) чрез тъждествени преобразувания, докато получим другата страна.
Докажете тъждеството \( (a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2 \).
Преобразуваме лявата страна: \[ u = (a-b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 \] Полученият израз е точно формулата за дясната страна: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = v \).
Тъй като \( u=v \), равенството е тъждество.
Преобразуваме лявата страна: \[ u = (a-b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 \] Полученият израз е точно формулата за дясната страна: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = v \).
Тъй като \( u=v \), равенството е тъждество.
Докажете, че \( (x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1 \) е тъждество.
Това е директно приложение на формулата за съкратено умножение \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\). Лявата страна е равна на дясната по определение.
Прилагането на формулите за съкратено умножение и дистрибутивното свойство може значително да улесни пресмятането на стойностите на числови изрази.
Пресметнете \( 71,23^2 - 28,77^2 \).
Използваме формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ 71,23^2 - 28,77^2 = (71,23 - 28,77)(71,23 + 28,77) = 42,46 \cdot 100 = 4246 \]
Използваме формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ 71,23^2 - 28,77^2 = (71,23 - 28,77)(71,23 + 28,77) = 42,46 \cdot 100 = 4246 \]
Пресметнете \( 102 \cdot 98 \).
Представяме израза като \( (100+2)(100-2) \).
Прилагаме формулата \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[ (100+2)(100-2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996 \]
Прилагаме формулата \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[ (100+2)(100-2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996 \]
За да докажем, че многочленът A се дели на многочлена B, трябва да представим A като произведение от множители, един от които е B.
Докажете, че многочленът \( A = a^3 - 9a \) се дели на \( a-3 \).
Разлагаме A на множители: \[ A = a(a^2 - 9) = a(a-3)(a+3) \] Тъй като \( (a-3) \) е множител в разлагането, то A се дели на \( (a-3) \).
Разлагаме A на множители: \[ A = a(a^2 - 9) = a(a-3)(a+3) \] Тъй като \( (a-3) \) е множител в разлагането, то A се дели на \( (a-3) \).
Докажете, че \( x^3 + 4x^2 + 4x \) се дели на \( x+2 \).
Разлагаме израза на множители:
\[ x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4) = x(x+2)^2 = x(x+2)(x+2) \]
Тъй като \( (x+2) \) е множител, изразът се дели на \( (x+2) \).
Свойства на числата могат да се докажат, като се състави алгебричен израз, който описва условието на задачата, и след това се разложи на множители.
Докажете, че сборът на двуцифрено число и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, се дели на 11.
Нека числото е \( 10y+x \) (с цифри \(y\) и \(x\)). Числото в обратен ред е \( 10x+y \).
Техният сбор е: \[ A = (10y+x) + (10x+y) = 11x+11y = 11(x+y) \] Тъй като 11 е множител в получения израз, сборът винаги се дели на 11.
Нека числото е \( 10y+x \) (с цифри \(y\) и \(x\)). Числото в обратен ред е \( 10x+y \).
Техният сбор е: \[ A = (10y+x) + (10x+y) = 11x+11y = 11(x+y) \] Тъй като 11 е множител в получения израз, сборът винаги се дели на 11.
Докажете, че разликата от квадратите на две последователни естествени числа е нечетно число.
Нека числата са \(n\) и \(n+1\).
Разликата от квадратите им е \( (n+1)^2 - n^2 \).
Разлагаме по формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ ((n+1)-n)((n+1)+n) = (1)(2n+1) = 2n+1 \] Изразът \(2n+1\) е общият вид на нечетно число, с което твърдението е доказано.
Разликата от квадратите им е \( (n+1)^2 - n^2 \).
Разлагаме по формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ ((n+1)-n)((n+1)+n) = (1)(2n+1) = 2n+1 \] Изразът \(2n+1\) е общият вид на нечетно число, с което твърдението е доказано.
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( (2a+1)^2 - 4a(a+1) \).
\( (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a = 1 \)
Средна: Пресметнете рационално \( 66^2 - 34^2 \).
Прилагаме формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\( (66-34)(66+34) = 32 \cdot 100 = 3200 \)
\( (66-34)(66+34) = 32 \cdot 100 = 3200 \)
Трудна: Докажете, че числото \( A = n^3 - n \) се дели на 6 за всяко цяло число n.
Разлагаме израза на множители:
\[ A = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1) \]
Пренареждаме множителите:
\[ A = (n-1)n(n+1) \]
Това е произведението на три последователни цели числа.
- Сред три последователни числа винаги има поне едно, което се дели на 2 (четно).
- Сред три последователни числа винаги има точно едно, което се дели на 3.
