Най-важното от урока
Ключови изводи: Уравнения от вида \((ax+b)(cx+d)=0\) се решават, като се използва основното свойство на нулевото произведение.
Основен принцип: Ако \(\text{израз}_1 \cdot \text{израз}_2 = 0\), то \(\text{израз}_1=0\) или \(\text{израз}_2=0\).
Стратегия:
Основен принцип: Ако \(\text{израз}_1 \cdot \text{израз}_2 = 0\), то \(\text{израз}_1=0\) или \(\text{израз}_2=0\).
Стратегия:
- Преобразувайте уравнението до вида \(\text{израз} = 0\).
- Разложете израза на множители. Пример: \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0\).
- Приравнете всеки множител на нула и намерете корените. Пример: \(x-3=0 \Rightarrow x_1=3\); \(x+3=0 \Rightarrow x_2=-3\).
Произведението на два или повече множителя е равно на нула, само когато поне един от множителите е равен на нула.
\[ (ax+b)(cx+d)=0 \Leftrightarrow ax+b=0 \quad \text{или} \quad cx+d=0 \]
Уравнението \((2x+1)(3x-2) = 0\) се решава, като приравним всеки от множителите на нула:
- \(2x+1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_1 = -\dfrac{1}{2}\)
- \(3x-2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2}{3}\)
Задача: Решете уравнението \((x-8)(x+2) = 0\).
Приравняваме всеки множител на 0:
\(x-8 = 0 \Rightarrow x_1 = 8\)
\(x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2\)
\(x-8 = 0 \Rightarrow x_1 = 8\)
\(x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2\)
Много уравнения могат да бъдат решени, като първо се преобразуват до вида \(\text{израз}_1 \cdot \text{израз}_2 = 0\). Това става чрез разлагане на една от страните на уравнението на множители, след като всички членове са прехвърлени от едната страна.
Прехвърлете всички членове на уравнението от едната страна, така че от другата да остане 0.
Разложете получения израз на множители, като използвате подходящ метод (изнасяне на общ множител, формули за съкратено умножение, групиране и др.).
Приравнете всеки от получените множители на 0 и решете получените по-прости уравнения.
Уравнението \(2x^2 + 5x = 0\) се решава чрез изнасяне на общ множител \(x\):
\[ x(2x+5) = 0 \]
Оттук следва:
- \(x_1 = 0\)
- \(2x+5 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2}\)
Задача: Представете уравнението \(x^2 = 7x\) във вида \((ax+b)(cx+d)=0\) и го решете.
\(x^2 - 7x = 0\)
\(x(x-7) = 0\)
Корените са \(x_1=0\) и \(x_2=7\).
\(x(x-7) = 0\)
Корените са \(x_1=0\) и \(x_2=7\).
Често се използват формулите за съкратено умножение, за да се разложи израз на множители.
\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
\[ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \]
Уравнението \(9x^2 - 4 = 0\) се разлага чрез формулата за разлика от квадрати:
\[ (3x)^2 - 2^2 = 0 \]
\[ (3x-2)(3x+2) = 0 \]
Корените са \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = -\frac{2}{3}\).
Задача: Решете уравнението \(x^2 - 10x + 25 = 0\).
Лявата страна е точен квадрат:
\(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = 0\)
\((x-5)^2 = 0\)
\((x-5)(x-5) = 0\)
Уравнението има един двоен корен: \(x_1 = x_2 = 5\).
\(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = 0\)
\((x-5)^2 = 0\)
\((x-5)(x-5) = 0\)
Уравнението има един двоен корен: \(x_1 = x_2 = 5\).
Най-ефективният начин за решаване на уравнения от вида \(A^2 = B^2\) е чрез прехвърляне на всички членове от едната страна и използване на формулата за разлика от квадрати.
Преобразувайте уравнението във вида \(A^2 - B^2 = 0\).
Разложете лявата страна по формулата \((A-B)(A+B) = 0\).
Решете двете получени линейни уравнения \(A-B=0\) и \(A+B=0\).
За уравнението \((2x+3)^2 = (x-2)^2\):
\[ (2x+3)^2 - (x-2)^2 = 0 \]
\[ ((2x+3) - (x-2)) \cdot ((2x+3) + (x-2)) = 0 \]
\[ (2x+3-x+2)(2x+3+x-2) = 0 \]
\[ (x+5)(3x+1) = 0 \]
Корените са \(x_1 = -5\) и \(x_2 = -\frac{1}{3}\).
Задача: Решете уравнението \((3x-1)^2 = x^2\).
\((3x-1)^2 - x^2 = 0\)
\(((3x-1) - x)((3x-1) + x) = 0\)
\((2x-1)(4x-1) = 0\)
Корените са \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{4}\).
\(((3x-1) - x)((3x-1) + x) = 0\)
\((2x-1)(4x-1) = 0\)
Корените са \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{4}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \((4x-1)(x+6)=0\).
\(4x-1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{4}\)
\(x+6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6\)
\(x+6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6\)
Средна: Решете уравнението \(25x^2 - 1 = 0\).
Разлагаме по формулата за разлика от квадрати:
\((5x)^2 - 1^2 = 0\)
\((5x-1)(5x+1) = 0\)
Корените са \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -\frac{1}{5}\).
\((5x)^2 - 1^2 = 0\)
\((5x-1)(5x+1) = 0\)
Корените са \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -\frac{1}{5}\).
Трудна: Решете уравнението \(x^2 + 3x - 10 = 0\) чрез разлагане на множители. (Упътване: представете \(3x\) като \(5x - 2x\)).
\(x^2 + 5x - 2x - 10 = 0\)
\(x(x+5) - 2(x+5) = 0\)
\((x+5)(x-2) = 0\)
Корените са \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 2\).
\(x(x+5) - 2(x+5) = 0\)
\((x+5)(x-2) = 0\)
Корените са \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 2\).
