Най-важното от урока
Признаци за еднаквост:
Равнобедрен триъгълник: \(AC = BC \iff \angle A = \angle B\). Височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат и лежат на симетралата ѝ.
Равностранен триъгълник: Всички страни са равни, а всички ъгли са по \(60^\circ\). Равнобедрен триъгълник с ъгъл \(60^\circ\) е равностранен.
Симетрала на отсечка: Права през средата, перпендикулярна на отсечката. Точка \(X\) лежи на симетралата \(s_{AB} \iff XA = XB\).
- I признак: две страни и ъгъл между тях (\(b, c, \angle A\)).
- II признак: страна и два прилежащи ъгъла (\(c, \angle A, \angle B\)).
- III признак: три равни страни (\(a, b, c\)).
Равнобедрен триъгълник: \(AC = BC \iff \angle A = \angle B\). Височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат и лежат на симетралата ѝ.
Равностранен триъгълник: Всички страни са равни, а всички ъгли са по \(60^\circ\). Равнобедрен триъгълник с ъгъл \(60^\circ\) е равностранен.
Симетрала на отсечка: Права през средата, перпендикулярна на отсечката. Точка \(X\) лежи на симетралата \(s_{AB} \iff XA = XB\).
Ако две страни и ъгълът между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
\[ AB = A_1B_1, \quad AC = A_1C_1, \quad \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \implies \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \]
Ако за правоъгълните триъгълници \(\triangle ABC\) и \(\triangle NMP\) е дадено, че катетите им са равни (\(AB = NM\) и \(BC = MP\)), и \(\angle B = \angle M = 90^\circ\), то триъгълниците са еднакви по I признак.
1. С транспортир се построява ъгъл, равен на дадения ъгъл.
2. Върху раменете му се нанасят отсечки, равни на прилежащите страни.
3. Краищата на нанесените отсечки се съединяват.
2. Върху раменете му се нанасят отсечки, равни на прилежащите страни.
3. Краищата на нанесените отсечки се съединяват.
В триъгълниците \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) страните \(AB = A_1B_1 = 5\text{ cm}\), \(AC = A_1C_1 = 4\text{ cm}\), а \(\angle A = \angle A_1 = 40^\circ\). Еднакви ли са двата триъгълника?
Тъй като две страни и ъгълът между тях от \(\triangle ABC\) са равни съответно на две страни и ъгъла между тях от \(\triangle A_1B_1C_1\), по I признак \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
Ако страна и два прилежащи ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два прилежащи ъгъла на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
\[ AB = A_1B_1, \quad \angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1 \implies \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \]
Тъй като сборът на ъглите във всеки триъгълник е \(180^\circ\), ако два ъгъла в един триъгълник са равни на два ъгъла в друг, третите им ъгли също са равни:
\[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \]
Дадени са \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\) със страни \(AB = DE = 6\text{ cm}\), \(\angle A = \angle D = 45^\circ\) и \(\angle B = \angle E = 30^\circ\). Еднакви ли са триъгълниците?
Имаме страна и два прилежащи ъгъла от единия триъгълник, равни на страна и два прилежащи ъгъла от другия (\(AB = DE\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\)). По II признак \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\).
Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
\[ AB = A_1B_1, \quad BC = B_1C_1, \quad AC = A_1C_1 \implies \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \]
Дадени са \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), за които \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\) и техните медиани \(CM = C_1M_1\) (където \(M\) и \(M_1\) са среди съответно на \(AB\) и \(A_1B_1\)). Докажете, че \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
1. Тъй като \(M\) и \(M_1\) са среди на равните отсечки \(AB = A_1B_1\), то \(AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}A_1B_1 = A_1M_1\).
2. Разглеждаме \(\triangle AMC\) и \(\triangle A_1M_1C_1\): \(AC = A_1C_1\), \(CM = C_1M_1\), \(AM = A_1M_1\). По III признак \(\triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1\).
3. От еднаквостта следва, че съответните им ъгли са равни: \(\angle A = \angle A_1\).
4. Разглеждаме \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\): \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\) и \(\angle A = \angle A_1\). Следователно по I признак \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
2. Разглеждаме \(\triangle AMC\) и \(\triangle A_1M_1C_1\): \(AC = A_1C_1\), \(CM = C_1M_1\), \(AM = A_1M_1\). По III признак \(\triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1\).
3. От еднаквостта следва, че съответните им ъгли са равни: \(\angle A = \angle A_1\).
4. Разглеждаме \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\): \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\) и \(\angle A = \angle A_1\). Следователно по I признак \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
Съответни елементи са страните, ъглите, височините, медианите и ъглополовящите, разположени срещу или при равните елементи на двата еднакви триъгълника.
Ако \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\), то:
- Всички съответни страни са равни: \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\).
- Всички съответни ъгли са равни: \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\).
- Съответните височини са равни: \(h_a = h_{a_1}\), \(h_b = h_{b_1}\), \(h_c = h_{c_1}\).
- Съответните медиани са равни: \(m_a = m_{a_1}\), \(m_b = m_{b_1}\), \(m_c = m_{c_1}\).
- Съответните ъглополовящи са равни: \(l_a = l_{a_1}\), \(l_b = l_{b_1}\), \(l_c = l_{c_1}\).
- Лицата на двата триъгълника са равни: \(S_{ABC} = S_{A_1B_1C_1}\).
Ако \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\), височините \(AD \perp BC\) и \(A_1D_1 \perp B_1C_1\) са равни. Лицата им са равни:
\[ S = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{B_1C_1 \cdot A_1D_1}{2} \]
Равнобедрен триъгълник е триъгълник с две равни страни (бедра: \(AC = BC = b\); основа: \(AB = c\)).
Свойство и признак: В триъгълник срещу равни страни лежат равни ъгли, и обратно – срещу равни ъгли лежат равни страни:
\[ AC = BC \iff \angle A = \angle B \]
За ъглите в равнобедрен триъгълник (\(\angle A = \angle B = \alpha\), \(\angle C = \gamma\)):
\[ 2\alpha + \gamma = 180^\circ \implies \alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2} < 90^\circ \]
Ъглите при основата на равнобедрен триъгълник винаги са остри.
Равностранен триъгълник е триъгълник, на който и трите страни са равни (\(a = b = c\)).
Свойства и признаци на равностранен триъгълник:
- Всички ъгли са равни на \(60^\circ\): \(\angle A = \angle B = \angle C = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\).
- Ако трите ъгъла на един триъгълник са равни, то той е равностранен.
- Всеки равнобедрен триъгълник с поне един ъгъл от \(60^\circ\) е равностранен.
- Два равностранни триъгълника са еднакви, ако страна от единия е равна на страна от другия.
Симетрала на отсечка (\(s_{AB}\)) е права, която е перпендикулярна на отсечката и минава през нейната среда (\(s_{AB} \perp AB\), \(AM = MB\)).
Теорема 1 (Свойство): Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката:
\[ X \in s_{AB} \implies XA = XB \]
Теорема 2 (Обратна теорема / Признак): Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата ѝ:
\[ XA = XB \implies X \in s_{AB} \]
В равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC = BC\)) медианата \(CM\), височината \(CH\) и ъглополовящата \(CL\) към основата \(AB\) съвпадат и лежат на симетралата на основата \(s_{AB}\).
1. Построяват се две окръжности с равни радиуси \(r > \frac{1}{2}AB\) с центрове съответно точките \(A\) и \(B\).
2. Означават се пресечните им точки \(M\) и \(N\).
3. Правата \(MN\) е симетралата \(s_{AB}\) на отсечката \(AB\).
2. Означават се пресечните им точки \(M\) и \(N\).
3. Правата \(MN\) е симетралата \(s_{AB}\) на отсечката \(AB\).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): В \(\triangle ABC\) и \(\triangle MNP\) е дадено: \(AB = MN = 7\text{ cm}\), \(AC = MP = 5\text{ cm}\) и \(\angle A = \angle M = 40^\circ\). Докажете, че двата триъгълника са еднакви, и намерете дължината на страната \(NP\), ако \(BC = 4{,}5\text{ cm}\).
1. В \(\triangle ABC\) и \(\triangle MNP\) имаме:
\(AB = MN = 7\text{ cm}\), \(AC = MP = 5\text{ cm}\) и \(\angle A = \angle M = 40^\circ\).
Следователно по I признак \(\triangle ABC \cong \triangle MNP\).
2. Тъй като триъгълниците са еднакви, съответните им страни са равни: \(NP = BC = 4{,}5\text{ cm}\).
2. Тъй като триъгълниците са еднакви, съответните им страни са равни: \(NP = BC = 4{,}5\text{ cm}\).
Задача 2 (Средна): В равнобедрения \(\triangle ABC\) (\(AC = BC\)) ъгълът между бедрата е \(\angle C = 40^\circ\). Върху бедрата \(AC\) и \(BC\) са избрани съответно точки \(P\) и \(Q\) такива, че \(CP = CQ\). Ако \(M\) е средата на основата \(AB\), докажете, че:
а) \(\triangle AMP \cong \triangle BMQ\);
б) \(MP = MQ\).
а) Тъй като \(AC = BC\) и \(CP = CQ\), то \(AP = AC - CP = BC - CQ = BQ\).
В \(\triangle ABC\) бедрата са равни, следователно ъглите при основата са равни: \(\angle A = \angle B\).
Тъй като \(M\) е среда на \(AB\), следва \(AM = BM\).
Разглеждаме \(\triangle AMP\) и \(\triangle BMQ\): \(AP = BQ\), \(AM = BM\), \(\angle A = \angle B\). По I признак \(\triangle AMP \cong \triangle BMQ\).
б) От еднаквостта \(\triangle AMP \cong \triangle BMQ\) следва равенството на съответните страни: \(MP = MQ\).
В \(\triangle ABC\) бедрата са равни, следователно ъглите при основата са равни: \(\angle A = \angle B\).
Тъй като \(M\) е среда на \(AB\), следва \(AM = BM\).
Разглеждаме \(\triangle AMP\) и \(\triangle BMQ\): \(AP = BQ\), \(AM = BM\), \(\angle A = \angle B\). По I признак \(\triangle AMP \cong \triangle BMQ\).
б) От еднаквостта \(\triangle AMP \cong \triangle BMQ\) следва равенството на съответните страни: \(MP = MQ\).
Задача 3 (Средна): В \(\triangle ABC\) медианата \(BM\) към страната \(AC\) е перпендикулярна на \(AC\). Периметърът на \(\triangle ABC\) е \(32\text{ cm}\), а страната \(AC = 10\text{ cm}\). Намерете дължините на страните \(AB\) и \(BC\).
1. Точка \(M\) е среда на \(AC\) (защото \(BM\) е медиана) и \(BM \perp AC\). Следователно правата \(BM\) е симетрала на отсечката \(AC\).
2. Точка \(B\) лежи на симетралата на \(AC\), откъдето по теоремата за точки от симетрала следва \(BA = BC\).
3. Периметърът е \(P = AB + BC + AC = 2AB + 10 = 32\text{ cm}\). \[ 2AB = 22 \implies AB = BC = 11\text{ cm} \]
2. Точка \(B\) лежи на симетралата на \(AC\), откъдето по теоремата за точки от симетрала следва \(BA = BC\).
3. Периметърът е \(P = AB + BC + AC = 2AB + 10 = 32\text{ cm}\). \[ 2AB = 22 \implies AB = BC = 11\text{ cm} \]
Задача 4 (Трудна): В \(\triangle ABC\) отсечката \(BM\) е медиана. През върха \(A\) е построена права, която пресича \(BM\) в точка \(N\) и страната \(BC\) в точка \(K\), като \(AK \perp BM\) и \(N\) е среда на \(BM\). Докажете, че \(AK\) е симетрала на \(BM\). Ако \(AB = 8\text{ cm}\), намерете дължината на страната \(AC\).
1. Правата \(AK\) е перпендикулярна на \(BM\) и минава през нейната среда \(N\) (\(BN = NM\)). По определение правата \(AK\) е симетрала на отсечката \(BM\).
2. Тъй като точка \(A\) лежи на симетралата на \(BM\), от свойството на симетралата следва \(AM = AB\).
Тъй като \(AB = 8\text{ cm}\), то \(AM = 8\text{ cm}\).
3. Тъй като \(BM\) е медиана, \(M\) е среда на \(AC\), от което следва: \[ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16\text{ cm} \]
2. Тъй като точка \(A\) лежи на симетралата на \(BM\), от свойството на симетралата следва \(AM = AB\).
Тъй като \(AB = 8\text{ cm}\), то \(AM = 8\text{ cm}\).
3. Тъй като \(BM\) е медиана, \(M\) е среда на \(AC\), от което следва: \[ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16\text{ cm} \]
