Най-важното от урока
Стратегия за разлагане на многочлени:
- Винаги първо търсете общ множител! Ако има такъв, изнесете го пред скоби.
Пример: \(3x^2-3y^2 = 3(x^2-y^2)\) - Анализирайте израза в скобите.
- Ако има 4 или повече члена, опитайте групиране.
Пример: \(2(x^2(x-3)+3(x-3)) = 2(x-3)(x^2+3)\) - Ако има 2 или 3 члена, проверете дали отговаря на някоя формула за съкратено умножение.
Пример: \(3(x^2-y^2) = 3(x-y)(x+y)\)
- Ако има 4 или повече члена, опитайте групиране.
- Проверете дали получените множители могат да се разложат още.
Пример: \(a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)\)
Първа стъпка е да се изнесе общ множител (ако има такъв) пред скоби. След това, многочленът в скобите се разлага чрез групиране на членовете му.
Да разложим \(2x^3 - 6x^2 + 6x - 18\).
Изнасяме числото 2 пред скоби:
\[2(x^3 - 3x^2 + 3x - 9)\]
Групираме първите два и последните два члена:
\[2\Big( (x^3 - 3x^2) + (3x - 9) \Big)\]
От първата група изнасяме \(x^2\), а от втората 3:
\[2\Big( x^2(x - 3) + 3(x - 3) \Big)\]
Получаваме крайния разложен вид:
\[2(x - 3)(x^2 + 3)\]
Разложете на множители: \(5ax + 10a + 5bx + 10b\).
1. Изнасяме общ множител 5: \(5(ax + 2a + bx + 2b)\)
2. Групираме: \(5\Big( (ax+2a) + (bx+2b) \Big)\)
3. Изнасяме от всяка група: \(5\Big( a(x+2) + b(x+2) \Big)\)
4. Изнасяме общата скоба: \(5(x+2)(a+b)\)
2. Групираме: \(5\Big( (ax+2a) + (bx+2b) \Big)\)
3. Изнасяме от всяка група: \(5\Big( a(x+2) + b(x+2) \Big)\)
4. Изнасяме общата скоба: \(5(x+2)(a+b)\)
Винаги първо проверявайте за общ множител. След изнасянето му, изразът в скобите често представлява формула за съкратено умножение (разлика от квадрати, точен квадрат и др.).
Да разложим \(5ax^2 - 10ax + 5a\).
1. Изнасяме общия множител \(5a\): \(5a(x^2 - 2x + 1)\)
2. Разпознаваме формулата за точен квадрат \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) в скобите: \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).
3. Записваме крайния резултат: \(5a(x-1)^2\).
1. Изнасяме общия множител \(5a\): \(5a(x^2 - 2x + 1)\)
2. Разпознаваме формулата за точен квадрат \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) в скобите: \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).
3. Записваме крайния резултат: \(5a(x-1)^2\).
Разложете на множители: \(7x^2 - 28\).
1. Изнасяме 7: \(7(x^2 - 4)\)
2. Прилагаме формулата за разлика от квадрати \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \(7(x-2)(x+2)\)
2. Прилагаме формулата за разлика от квадрати \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \(7(x-2)(x+2)\)
Някои многочлени могат да се разложат чрез групиране на членове, които образуват формула за съкратено умножение, последвано от прилагане на друга формула.
Да разложим \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\).
1. Групираме първите три члена, които образуват формула за точен квадрат: \((a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a-b)^2 - c^2\).
2. Сега изразът е разлика от квадрати. Прилагаме формулата \(X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)\), където \(X=a-b\) и \(Y=c\): \[(a-b-c)(a-b+c)\]
1. Групираме първите три члена, които образуват формула за точен квадрат: \((a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a-b)^2 - c^2\).
2. Сега изразът е разлика от квадрати. Прилагаме формулата \(X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)\), където \(X=a-b\) и \(Y=c\): \[(a-b-c)(a-b+c)\]
Внимавайте със знаците при групиране!
Пример: \(4a^2 - x^2 + 6x - 9 = 4a^2 - (x^2 - 6x + 9) = (2a)^2 - (x-3)^2 =\) \(= (2a - (x-3))(2a + (x-3)) = (2a - x + 3)(2a + x - 3)\).
Пример: \(4a^2 - x^2 + 6x - 9 = 4a^2 - (x^2 - 6x + 9) = (2a)^2 - (x-3)^2 =\) \(= (2a - (x-3))(2a + (x-3)) = (2a - x + 3)(2a + x - 3)\).
Разложете на множители: \(x^2 - 10x + 25 - y^2\).
1. Групираме: \((x^2 - 10x + 25) - y^2\)
2. Прилагаме формула за точен квадрат: \((x-5)^2 - y^2\)
3. Прилагаме формула за разлика от квадрати: \((x-5-y)(x-5+y)\)
2. Прилагаме формула за точен квадрат: \((x-5)^2 - y^2\)
3. Прилагаме формула за разлика от квадрати: \((x-5-y)(x-5+y)\)
Задачи за упражнение
Лесна: Разложете \(6x^2y - 6y^3\).
1. Изнасяме общ множител \(6y\): \(6y(x^2 - y^2)\)
2. Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \(6y(x-y)(x+y)\)
2. Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \(6y(x-y)(x+y)\)
Средна: Разложете \(x^2 - y^2 + 4x + 4\).
1. Пренареждаме и групираме членовете: \((x^2 + 4x + 4) - y^2\)
2. Разпознаваме точния квадрат: \((x+2)^2 - y^2\)
3. Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \((x+2-y)(x+2+y)\)
2. Разпознаваме точния квадрат: \((x+2)^2 - y^2\)
3. Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \((x+2-y)(x+2+y)\)
Трудна: Разложете на множители израза \(B = (5x - 2)^3 + 9x^2(2 - 5x)\).
1. Забелязваме, че \(2-5x = -(5x-2)\). Заместваме:
\[B = (5x - 2)^3 - 9x^2(5x - 2)\]
2. Изнасяме общия множител \((5x-2)\):
\[B = (5x - 2) \Big( (5x - 2)^2 - 9x^2 \Big)\]
3. Изразът във вторите скоби е разлика от квадрати, където \(A=5x-2\) и \(B=3x\):
\[B = (5x - 2) \Big( (5x-2-3x)(5x-2+3x) \Big)\]
4. Опростяваме изразите в последните скоби:
\[B = (5x - 2)(2x - 2)(8x - 2)\]
5. Можем да изнесем и общи множители 2 от последните две скоби:
\[B = (5x - 2) \cdot 2(x - 1) \cdot 2(4x - 1) = 4(5x - 2)(x - 1)(4x - 1)\]
