Най-важното от урока
Линейно неравенство: Има вида \(ax + b > 0\) (или с друг знак \(\ge, <, \le\)). Пример: \(5x + 10 \ge 0\).
Решение: Стойност на \(x\), за която неравенството е вярно. За \(x > 4\), числото 5 е решение, но 4 не е.
Строги (\(>, <\)) vs Нестроги (\(\ge, \le\)): При нестрогите неравенства граничната стойност също е решение. \(x \le 2\) има за решение 2, докато \(x < 2\) няма.
Изобразяване: За строги неравенства използваме празен кръг ( \( \circ \) ), за нестроги – запълнен ( \( \bullet \) ).
Решение: Стойност на \(x\), за която неравенството е вярно. За \(x > 4\), числото 5 е решение, но 4 не е.
Строги (\(>, <\)) vs Нестроги (\(\ge, \le\)): При нестрогите неравенства граничната стойност също е решение. \(x \le 2\) има за решение 2, докато \(x < 2\) няма.
Изобразяване: За строги неравенства използваме празен кръг ( \( \circ \) ), за нестроги – запълнен ( \( \bullet \) ).
Решения на неравенство са всички числа, които, поставени на мястото на неизвестното, превръщат неравенството във вярно числово неравенство.
Да решиш едно неравенство означава да намериш всички негови решения или да установиш, че то няма решение.
Да проверим дали \(x=5\) е решение на неравенството \(2x - 7 > 1\).
Заместваме \(x\) с 5: \(2 \cdot 5 - 7 > 1\), което е \(10 - 7 > 1\), или \(3 > 1\).
Тъй като \(3 > 1\) е вярно, числото 5 е решение на неравенството.
Заместваме \(x\) с 5: \(2 \cdot 5 - 7 > 1\), което е \(10 - 7 > 1\), или \(3 > 1\).
Тъй като \(3 > 1\) е вярно, числото 5 е решение на неравенството.
Дали числото \(-2\) е решение на неравенството \(4x + 1 > 8\)?
Заместваме \(x\) с \(-2\): \(4 \cdot (-2) + 1 > 8\).
\(-8 + 1 > 8\)
\(-7 > 8\)
Това е невярно числово неравенство, следователно \(-2\) не е решение.
\(-8 + 1 > 8\)
\(-7 > 8\)
Това е невярно числово неравенство, следователно \(-2\) не е решение.
Неравенства от вида \(ax + b > 0\), \(ax + b < 0\), \(ax + b \ge 0\) или \(ax + b \le 0\), където \(a \ne 0\), се наричат линейни неравенства с едно неизвестно.
- Неравенства със знаци \(>\) и \(<\) се наричат строги. Граничната точка не е решение.
- Неравенства със знаци \(\ge\) и \(\le\) се наричат нестроги. Граничната точка е решение.
Неравенството \(3x - 5 > 0\) е строго линейно неравенство.
Неравенството \(-x + 9 \le 0\) е нестрого линейно неравенство.
Неравенството \(-x + 9 \le 0\) е нестрого линейно неравенство.
Кое от неравенствата е строго и кое нестрого: а) \(x < -4\), б) \(x \ge 0\)?
а) \(x < -4\) е строго неравенство.
б) \(x \ge 0\) е нестрого неравенство.
б) \(x \ge 0\) е нестрого неравенство.
Решенията на линейно неравенство представляват числов интервал, който може да се изобрази графично върху числовата ос.
Граничната точка не е включена в решението и се отбелязва с празен (незапълнен) кръг.
Пример: \(x > 5\)
Пример: \(x > 5\)
Граничната точка е включена в решението и се отбелязва със запълнен кръг.
Пример: \(x \le 5\)
Пример: \(x \le 5\)
Как се изобразяват на числова ос решенията на неравенството \(x \ge -2\)?
Намираме числото -2 на оста. Тъй като знакът е \(\ge\), поставяме запълнен кръг върху -2 и защриховаме оста надясно от него.
Задачи за упражнение
Лесна: Проверете дали числото 7 е решение на неравенството \(10 - 2x < 0\).
Заместваме \(x\) със 7: \(10 - 2 \cdot 7 < 0 \Rightarrow 10 - 14 < 0 \Rightarrow -4 < 0\).
Неравенството е вярно, следователно 7 е решение.
Неравенството е вярно, следователно 7 е решение.
Средна: Намерете най-малкото цяло число, което е решение на неравенството \(x > -6\).
Търсим целите числа, които са по-големи от -6. Това са -5, -4, -3, ...
Най-малкото от тях е -5.
Най-малкото от тях е -5.
Трудна: Намерете най-голямото цяло число, което е решение на неравенството \(x \le -3.2\). Изобразете решенията на числовата ос.
Решенията са всички числа, по-малки или равни на -3.2. Целите числа, които удовлетворяват това условие, са -4, -5, -6, ...
Най-голямото от тях е -4.
Графично представяне:
Най-голямото от тях е -4.
Графично представяне:
