110. Признаци за Успоредник. Продължение

Стъпка 1: Анализ на дадените данни и свойства на фигурата

Даден е успоредник \( ABCD \). По дефиниция срещуположните страни на успоредника са равни (\( AB = CD \) и \( AD = BC \)) и срещуположните ъгли са равни (\( \sphericalangle ABC = \sphericalangle ADC \)). Тъй като \( BP \) и \( DQ \) са ъглополовящи на тези равни ъгли, то ъглите, които те образуват, също са равни: \( \sphericalangle ABP = \sphericalangle CBP = \sphericalangle ADQ = \sphericalangle CDQ = \frac{1}{2} \sphericalangle ABC \).

Стъпка 2: Използване на свойства на успоредни прави

Тъй като \( AB \parallel CD \), диагоналът \( AC \) се явява пресечна на тези две успоредни прави. От това следва, че кръстните ъгли са равни: \( \sphericalangle BAC = \sphericalangle DCA \) (или \( \sphericalangle BAP = \sphericalangle DCQ \)).

Стъпка 3: Доказване на еднаквост на триъгълници

Разглеждаме \( \triangle ABP \) и \( \triangle CDQ \): 1. \( AB = CD \) (като срещуположни страни в успоредника \( ABCD \)); 2. \( \sphericalangle BAP = \sphericalangle DCQ \) (кръстни ъгли при \( AB \parallel CD \)); 3. \( \sphericalangle ABP = \sphericalangle CDQ \) (половинки от равните ъгли \( \sphericalangle B \) и \( \sphericalangle D \)). По II признак за еднаквост на триъгълници следва, че \( \triangle ABP \cong \triangle CDQ \).

Стъпка 4: Извличане на равни елементи

От еднаквостта на триъгълниците \( \triangle ABP \) и \( \triangle CDQ \) следват съответните равни страни: \( BP = DQ \) и \( AP = CQ \).

Стъпка 5: Доказване на успоредност на страните \( BP \) и \( DQ \)

Тъй като \( \triangle ABP \cong \triangle CDQ \), то съответните им ъгли са равни: \( \sphericalangle APB = \sphericalangle CQD \). Тези ъгли са външни за ъглите \( \sphericalangle QPB \) и \( \sphericalangle PQD \). По-лесно е да забележим, че \( \sphericalangle BPC = 180^\circ - \sphericalangle APB \) и \( \sphericalangle DQA = 180^\circ - \sphericalangle CQD \), което означава \( \sphericalangle BPC = \sphericalangle DQA \). Разглеждаме правите \( BP \) и \( DQ \), пресечени от \( AC \). Ъглите \( \sphericalangle BPC \) и \( \sphericalangle AC D \) не са удобни, затова да разгледаме \( \sphericalangle BPQ \) и \( \sphericalangle DQP \). Тъй като \( \sphericalangle APB = \sphericalangle CQD \), техните съседни ъгли са равни: \( \sphericalangle B P Q = 180^\circ - \sphericalangle APB \) \( \sphericalangle D Q P = 180^\circ - \sphericalangle CQD \) Следователно \( \sphericalangle BPQ = \sphericalangle DQP \). Тези ъгли са кръстни за правите \( BP \) и \( DQ \), пресечени с \( PQ \). От равенството на кръстните ъгли следва, че \( BP \parallel DQ \).

Стъпка 6: Заключение

За четириъгълника \( BPDQ \) установихме, че: 1. \( BP = DQ \) (от еднаквостта на триъгълниците); 2. \( BP \parallel DQ \) (от равенството на кръстните ъгли). Съгласно признака за успоредник (четириъгълник, на който две срещуположни страни са успоредни и равни), следва че \( BPDQ \) е успоредник.

\( ABCD \) е успоредник \( \Rightarrow AB = CD \), \( \sphericalangle B = \sphericalangle D \), \( AB \parallel CD \). \( BP, DQ \) са ъглополовящи \( \Rightarrow \sphericalangle ABP = \sphericalangle CDQ \). \( AB \parallel CD \Rightarrow \sphericalangle BAP = \sphericalangle DCQ \) (кръстни). \( \triangle ABP \cong \triangle CDQ \) (II пр.: \( AB=CD, \sphericalangle BAP=\sphericalangle DCQ, \sphericalangle ABP=\sphericalangle CDQ \)). \( \Rightarrow BP = DQ \) и \( \sphericalangle APB = \sphericalangle CQD \). \( \sphericalangle BPQ = 180^\circ - \sphericalangle APB = 180^\circ - \sphericalangle CQD = \sphericalangle DQP \). \( \sphericalangle BPQ = \sphericalangle DQP \) (кръстни) \( \Rightarrow BP \parallel DQ \). \( BP = DQ, BP \parallel DQ \Rightarrow BPDQ \) е успоредник.