30. Разлагане Чрез Формулите За Съкратено Умножение. Продължение

За да решим тези задачи, ще използваме формулите за съкратено умножение: 1. Квадрат на сбор: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) 2. Квадрат на разлика: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) 3. Куб на разлика: \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

Решение на първото равенство

Дадено е \( x^2 + \square + y^2 = (x + y)^2 \). Разкриваме скобите в дясната страна: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). Сравняваме двете страни и виждаме, че в квадратчето липсва удвоеното произведение \( 2xy \).

Решение на второто равенство

Дадено е \( -2 + x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{\square}{\square}\right)^2 \). Подреждаме лявата страна в нормален вид: \( x^2 - 2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 \). Забелязваме, че средният член \( -2 \) е всъщност \( -2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \), което е удвоеното произведение. Следователно изразът е квадрат на разликата \( \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \). В квадратчетата трябва да запишем числител 1 и знаменател \( x \).

Решение на третото равенство

Дадено е \( x^2 + 6xy + \square = (\square + \square)^2 \). Първият член е \( x^2 \), а удвоеното произведение е \( 6xy = 2 \cdot x \cdot 3y \). Оттук разбираме, че вторият член на сбора в скобите трябва да бъде \( 3y \). Третият член на многочлена е квадратът на втория член: \( (3y)^2 = 9y^2 \). Равенството е: \( x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 \).

Решение на четвъртото равенство

Дадено е \( a^2 - 10a\square + 25b^2 = (\square - \square)^2 \). Първият член е \( a^2 \), а третият е \( 25b^2 = (5b)^2 \). Следователно в дясната страна имаме \( (a - 5b)^2 \). Удвоеното произведение вляво е \( 2 \cdot a \cdot 5b = 10ab \). Тъй като вече имаме \( 10a \), в квадратчето вляво трябва да стои \( b \). Равенството е: \( a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2 \).

Решение на петото равенство

Дадено е \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - \square)^3 \). Използваме формулата за куб на разлика. Първият член е \( 8x^3 = (2x)^3 \). Последният член е \( 1 = 1^3 \). Проверяваме междинните членове: \( 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = 3 \cdot 4x^2 = 12x^2 \) (съвпада) \( 3 \cdot 2x \cdot 1^2 = 6x \) (съвпада) Следователно в квадратчето трябва да стои \( 1 \). Равенството е: \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3 \).

\[ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \] \[ x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 \] \[ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 \] \[ a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2 \] \[ 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3 \]