Най-важното от урока
Умножение: Умножете коефициентите, съберете степените на еднаквите променливи.
Пример: \( (3x^2) \cdot (4x^5) = 12x^7 \)
Степенуване: Повдигнете на степен всеки множител (коефициент и променливи).
Пример: \( (-2a^3)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{12} \)
Ред на действия: Първо степенуване, после умножение.
Пример: \( 5y \cdot (2y)^3 = 5y \cdot (8y^3) = 40y^4 \)
Пример: \( (3x^2) \cdot (4x^5) = 12x^7 \)
Степенуване: Повдигнете на степен всеки множител (коефициент и променливи).
Пример: \( (-2a^3)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{12} \)
Ред на действия: Първо степенуване, после умножение.
Пример: \( 5y \cdot (2y)^3 = 5y \cdot (8y^3) = 40y^4 \)
За да умножим два или повече едночлена, умножаваме техните коефициенти и събираме степените на еднаквите променливи.
Умножете числовите коефициенти.
Умножете променливите, като приложите правилото \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) за всяка основа.
Да умножим \(u = -5x^3\) и \(v = 3xy\).
\(u \cdot v = (-5x^3) \cdot (3xy) = (-5 \cdot 3) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot y = -15x^4y\)
\(u \cdot v = (-5x^3) \cdot (3xy) = (-5 \cdot 3) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot y = -15x^4y\)
Намерете произведението на \(2x^2y\) и \(6x^3y^4\).
\(2x^2y \cdot 6x^3y^4 = (2 \cdot 6) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^1 \cdot y^4) = 12x^{2+3}y^{1+4} =\)\(= 12x^5y^5\)
При умножението на едночлени важат разместителното (\(u \cdot v = v \cdot u\)) и съдружителното (\((u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\)) свойства. Това означава, че можем да умножаваме едночлените в произволен ред.
Ако \(u = -2x\), \(v = 3y\) и \(w = 4x^2\), то:
\((u \cdot v) \cdot w = ((-2x) \cdot (3y)) \cdot 4x^2 = (-6xy) \cdot 4x^2 = -24x^3y\)
\(u \cdot (v \cdot w) = -2x \cdot ((3y) \cdot (4x^2)) = -2x \cdot (12x^2y) = -24x^3y\)
\((u \cdot v) \cdot w = ((-2x) \cdot (3y)) \cdot 4x^2 = (-6xy) \cdot 4x^2 = -24x^3y\)
\(u \cdot (v \cdot w) = -2x \cdot ((3y) \cdot (4x^2)) = -2x \cdot (12x^2y) = -24x^3y\)
Опростете израза \((5a) \cdot (-2b^2) \cdot (3ab)\).
\((5 \cdot (-2) \cdot 3) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) = -30a^2b^3\)
За да повдигнем едночлен на степен, повдигаме на тази степен всеки негов множител (коефициента и всяка от променливите).
\[ (k \cdot x^m \cdot y^n)^p = k^p \cdot (x^m)^p \cdot (y^n)^p = k^p \cdot x^{m \cdot p} \cdot y^{n \cdot p} \]
\((5x^3y^2)^2 = 5^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = 25x^{3 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 25x^6y^4\)
Извършете степенуването: \((-2a^3b^5)^3\).
\((-2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^5)^3 = -8a^{3 \cdot 3}b^{5 \cdot 3} = -8a^9b^{15}\)
Както при числата, действието степенуване се извършва преди действието умножение.
При изчисляване на израза \(u \cdot v^2\) за \(u = 3x\) и \(v = 2x^2\), първо степенуваме \(v\), а след това умножаваме.
\(v^2 = (2x^2)^2 = 4x^4\)
\(u \cdot v^2 = 3x \cdot 4x^4 = 12x^5\)
\(v^2 = (2x^2)^2 = 4x^4\)
\(u \cdot v^2 = 3x \cdot 4x^4 = 12x^5\)
Ако \(u = 2x^2y\) и \(v = -3xy^2\), намерете \(u^2 \cdot v\).
Първо намираме \(u^2\): \(u^2 = (2x^2y)^2 = 4x^4y^2\).
След това умножаваме: \(u^2 \cdot v = (4x^4y^2) \cdot (-3xy^2) = -12x^5y^4\).
След това умножаваме: \(u^2 \cdot v = (4x^4y^2) \cdot (-3xy^2) = -12x^5y^4\).
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( (-4a^2b) \cdot (3ab^3) \).
\((-4 \cdot 3) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) = -12a^3b^4\)
Средна: Извършете действията: \( (2xy^3)^2 \cdot (-3x^2y) \).
Първо степенуваме: \((2xy^3)^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = 4x^2y^6\).
След това умножаваме: \( (4x^2y^6) \cdot (-3x^2y) = (4 \cdot -3) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y^6 \cdot y) = -12x^4y^7 \).
След това умножаваме: \( (4x^2y^6) \cdot (-3x^2y) = (4 \cdot -3) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y^6 \cdot y) = -12x^4y^7 \).
Трудна: Дадени са едночлените \(u=ax^2\) и \(v=-2x^3y\), където \(a\) е параметър. Намерете нормалния вид на \(u^3 \cdot v\) и определете степента и коефициента му.
Намираме \(u^3\): \( u^3 = (ax^2)^3 = a^3(x^2)^3 = a^3x^6 \).
Умножаваме: \( u^3 \cdot v = (a^3x^6) \cdot (-2x^3y) = -2a^3(x^6 \cdot x^3)y = -2a^3x^9y \).
Нормален вид: \(-2a^3x^9y\)
Коефициент: \(-2a^3\) (тъй като \(a\) е параметър)
Степен: \(9+1=10\) (спрямо променливите \(x\) и \(y\))
Умножаваме: \( u^3 \cdot v = (a^3x^6) \cdot (-2x^3y) = -2a^3(x^6 \cdot x^3)y = -2a^3x^9y \).
Нормален вид: \(-2a^3x^9y\)
Коефициент: \(-2a^3\) (тъй като \(a\) е параметър)
Степен: \(9+1=10\) (спрямо променливите \(x\) и \(y\))
