Най-важното от урока
Основна формула: Количеството на активната съставка е равно на сумата от количествата ѝ в съставните части: \( \text{Кол}_1 \cdot \%_1 + \text{Кол}_2 \cdot \%_2 = \text{Кол}_{\text{общо}} \cdot \%_{\text{краен}} \).
Разреждане: Прибавяне на компонент с \(0\%\) концентрация (например вода).
Концентриране: Прибавяне на компонент със \(100\%\) концентрация (чиста съставка).
Съотношения: Ако съотношението е \(a:b\), дяловете са \( \dfrac{a}{a+b} \) и \( \dfrac{b}{a+b} \). Често е най-лесно да се състави уравнение по количеството на непроменената съставка.
Разреждане: Прибавяне на компонент с \(0\%\) концентрация (например вода).
Концентриране: Прибавяне на компонент със \(100\%\) концентрация (чиста съставка).
Съотношения: Ако съотношението е \(a:b\), дяловете са \( \dfrac{a}{a+b} \) и \( \dfrac{b}{a+b} \). Често е най-лесно да се състави уравнение по количеството на непроменената съставка.
Ключовият принцип е, че количеството на дадена "чиста" съставка (например цинк, спирт, свинско месо) в крайната смес е равно на сумата от количествата на същата съставка във всички смесени компоненти.
\[ \text{Количество на чиста съставка} = \text{Общо количество} \times \frac{\text{Процентно съдържание}}{100} \]
Това се използва за съставяне на уравнение, като се изравни чистата съставка преди и след смесването.
Задача: Смесват се \(x\) kg месинг с \(40\%\) цинк и \(200\) kg месинг с \(30\%\) цинк, за да се получи смес с \(36\%\) цинк. Търсим количеството месинг от първия вид \(x\).
Уравнението се съставя чрез изравняване на количеството чист цинк:
\[ \frac{40}{100}x + \frac{30}{100} \cdot 200 = \frac{36}{100}(x + 200) \]
Решението е \(x=300\) kg.
Смесват \(100\) г \(20\%\)-ов разтвор на сол с \(300\) г \(40\%\)-ов разтвор на сол. Колко процента сол се съдържа в получената смес?
Нека \(x\) е процентното съдържание в новата смес.
Общото количество на сместа е \(100 + 300 = 400\) г.
Изравняваме количеството чиста сол: \[ \frac{20}{100} \cdot 100 + \frac{40}{100} \cdot 300 = \frac{x}{100} \cdot 400 \] \[ 20 + 120 = 4x \] \[ 140 = 4x \implies x = 35 \] Отговор: Сместа съдържа \(35\%\) сол.
Общото количество на сместа е \(100 + 300 = 400\) г.
Изравняваме количеството чиста сол: \[ \frac{20}{100} \cdot 100 + \frac{40}{100} \cdot 300 = \frac{x}{100} \cdot 400 \] \[ 20 + 120 = 4x \] \[ 140 = 4x \implies x = 35 \] Отговор: Сместа съдържа \(35\%\) сол.
Това е частен случай на смесване.
- При разреждане се добавя вещество с \(0\%\) концентрация на активната съставка (например чиста вода).
- При концентриране се добавя чиста активна съставка (\(100\%\) концентрация).
Задача: Към \(50\) г вода (\(0\%\) спирт) се добавят \(200\) г \(7,5\%\)-ов разтвор на спирт.
Уравнението е:
\[ \frac{0}{100} \cdot 50 + \frac{7,5}{100} \cdot 200 = \frac{x}{100} \cdot 250 \]
Решението е \(x=6\%\).
Колко литра чист спирт (\(100\%\)) трябва да се добавят към \(10\) L \(40\%\)-ов разтвор, за да се получи \(60\%\)-ов разтвор?
Нека \(x\) е количеството добавен чист спирт.
Новото общо количество е \(10 + x\) L.
Изравняваме количеството чист спирт: \[ \frac{100}{100} \cdot x + \frac{40}{100} \cdot 10 = \frac{60}{100} \cdot (10 + x) \] \[ 100x + 400 = 60(10 + x) \] \[ 100x + 400 = 600 + 60x \] \[ 40x = 200 \implies x = 5 \] Отговор: Трябва да се добавят \(5\) L чист спирт.
Новото общо количество е \(10 + x\) L.
Изравняваме количеството чист спирт: \[ \frac{100}{100} \cdot x + \frac{40}{100} \cdot 10 = \frac{60}{100} \cdot (10 + x) \] \[ 100x + 400 = 60(10 + x) \] \[ 100x + 400 = 600 + 60x \] \[ 40x = 200 \implies x = 5 \] Отговор: Трябва да се добавят \(5\) L чист спирт.
Ако две съставки са в съотношение \(a:b\), то първата съставка е \( \dfrac{a}{a+b} \) части от цялото, а втората е \( \dfrac{b}{a+b} \) части.
При добавяне на количество само от едната съставка, количеството на другата съставка в сместа остава непроменено. Често е по-лесно да се състави уравнение на базата на непроменената съставка.
Задача: В \(10\) kg кайма свинското и телешкото са в отношение \(2:3\). Колко свинско (\(x\) kg) трябва да се добави за ново отношение \(4:3\)?
Първоначално: Свинско = \( \dfrac{2}{2+3} \cdot 10 = 4 \) kg,
Телешко = \( \dfrac{3}{2+3} \cdot 10 = 6 \) kg.
След добавяне на \(x\) kg свинско, количеството телешко остава \(6\) kg. В новата смес (\(10+x\) kg) телешкото е \(3\) части от общо \(4+3=7\), т.е. \( \dfrac{3}{7} \) от сместа.
Уравнение спрямо телешкото (непроменената съставка): \[ \frac{3}{7}(10 + x) = 6 \] \[ 3(10+x) = 42 \implies 10+x=14 \implies x=4 \] Трябва да се добавят \(4\) kg свинска кайма.
Сплав от \(30\) кг съдържа мед и цинк в отношение \(2:1\). Колко килограма цинк трябва да се добавят, за да стане съотношението \(3:2\)?
Първоначално количество мед: \( \dfrac{2}{2+1} \cdot 30 = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20 \) kg.
При добавяне на цинк, количеството мед остава \(20\) kg.
Нека са добавени \(x\) kg цинк. Новото общо тегло е \(30+x\).
В новата сплав медта е \(3\) части от общо \(3+2=5\), т.е. \( \dfrac{3}{5} \) от сплавта.
Съставяме уравнение спрямо медта: \[ \frac{3}{5}(30+x) = 20 \] \[ 3(30+x) = 100 \] \[ 90 + 3x = 100 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3} \] Отговор: Трябва да се добавят \(3\frac{1}{3}\) kg цинк.
При добавяне на цинк, количеството мед остава \(20\) kg.
Нека са добавени \(x\) kg цинк. Новото общо тегло е \(30+x\).
В новата сплав медта е \(3\) части от общо \(3+2=5\), т.е. \( \dfrac{3}{5} \) от сплавта.
Съставяме уравнение спрямо медта: \[ \frac{3}{5}(30+x) = 20 \] \[ 3(30+x) = 100 \] \[ 90 + 3x = 100 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3} \] Отговор: Трябва да се добавят \(3\frac{1}{3}\) kg цинк.
Задачи за упражнение
Лесна: Колко процентов разтвор ще се получи, ако смесим \(200\) мл \(15\%\)-ов разтвор и \(300\) мл \(40\%\)-ов разтвор?
Нека \(x\) е търсеният процент. Общото количество е \(200+300=500\) мл.
\[ \frac{15}{100}\cdot 200 + \frac{40}{100}\cdot 300 = \frac{x}{100}\cdot 500 \]
\[ 30 + 120 = 5x \]
\[ 150 = 5x \implies x=30 \]
Отговор: \(30\%\)-ов разтвор.
Средна: От \(40\) тона руда с \(45\%\) съдържание на желязо са отстранени \(15\) тона примеси (\(0\%\) желязо). Какъв е процентът на желязото в обогатената руда?
Количество желязо в началото: \( \dfrac{45}{100} \cdot 40 = 18 \) тона.
Количество на рудата след отстраняване на примесите: \( 40 - 15 = 25 \) тона.
Количеството желязо не се променя.
Нов процент \(x\): \( \dfrac{x}{100} \cdot 25 = 18 \) \[ 25x = 1800 \implies x = 72 \] Отговор: \(72\%\) желязо.
Количество на рудата след отстраняване на примесите: \( 40 - 15 = 25 \) тона.
Количеството желязо не се променя.
Нов процент \(x\): \( \dfrac{x}{100} \cdot 25 = 18 \) \[ 25x = 1800 \implies x = 72 \] Отговор: \(72\%\) желязо.
Трудна: В \(60\) кг смес от пясък и цимент, циментът е \(40\%\). Колко пясък трябва да се добави, за да стане съдържанието на цимент в новата смес \(25\%\)?
Използваме метода с непроменената съставка.
Количеството на цимента в началото е: \( \frac{40}{100} \cdot 60 = 24 \) кг.
Добавяме \(x\) кг пясък. Количеството на цимента остава \(24\) кг.
Новото общо тегло на сместа е \(60+x\) кг.
В новата смес циментът трябва да е \(25\)%. Съставяме уравнение: \[ \frac{25}{100} \cdot (60+x) = 24 \] \[ \frac{1}{4} (60+x) = 24 \] \[ 60+x = 4 \cdot 24 = 96 \] \[ x = 96 - 60 = 36 \] Отговор: Трябва да се добавят \(36\) кг пясък.
Количеството на цимента в началото е: \( \frac{40}{100} \cdot 60 = 24 \) кг.
Добавяме \(x\) кг пясък. Количеството на цимента остава \(24\) кг.
Новото общо тегло на сместа е \(60+x\) кг.
В новата смес циментът трябва да е \(25\)%. Съставяме уравнение: \[ \frac{25}{100} \cdot (60+x) = 24 \] \[ \frac{1}{4} (60+x) = 24 \] \[ 60+x = 4 \cdot 24 = 96 \] \[ x = 96 - 60 = 36 \] Отговор: Трябва да се добавят \(36\) кг пясък.
