Умножение на Многочлен с Едночлен

Избери решение на задача:

a)\[ -1 \cdot 3,73 = -3,73 \]
б)\[ -6 \cdot (-12) = 72 \]
в)\[ -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{\cancel{4}^1}{9} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}_2} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \]
г)\[
-\frac{7}{12} \cdot 1\frac{1}{14} = -\frac{7}{12} \cdot \frac{15}{14} = -\frac{\cancel{7}^1}{12} \cdot \frac{15}{\cancel{14}_2} = -\frac{1}{\cancel{12}_4} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{5}{8}
\]
д)\[ -0,6 \cdot 12,3 = -7,38 \]
е)\[ 0,5 \cdot (-10,4) = -5,2 \]
ж)\[
-1\frac{7}{9} \cdot \left( -3\frac{3}{8} \right) = -\frac{16}{9} \cdot -\frac{27}{8} = -\frac{\cancel{16}^2}{\cancel{9}_1} \cdot -\frac{\cancel{27}^3}{\cancel{8}_1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} = 6
\]
з)\[
-1\frac{7}{8} \cdot 4\frac{4}{15} = -\frac{15}{8} \cdot \frac{64}{15} = -\frac{\cancel{15}^1}{\cancel{8}_1} \cdot \frac{\cancel{64}^8}{\cancel{15}_1} = -1 \cdot 8 = -8
\]

Разглеждаме всяко произведение поотделно.

a) \( -1 \cdot 3,73 \)

Стъпка 1: Умножение
Умножаваме 1 по 3,73:
\[ 1 \cdot 3,73 = 3,73 \]

Стъпка 2: Определяне на знака
Тъй като едното число е отрицателно, а другото е положително, произведението е отрицателно.
\[ -1 \cdot 3,73 = -3,73 \]

Отговор: -3,73

б) \( -6 \cdot (-12) \)

Стъпка 1: Умножение на модулите
Умножаваме модулите на двете числа:
\[ 6 \cdot 12 = 72 \]

Стъпка 2: Определяне на знака
Тъй като двете числа са отрицателни, произведението е положително.
\[ -6 \cdot (-12) = 72 \]
Отговор: 72

в) \( -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \)

Стъпка 1: Съкращаване на дробите
Съкращаваме 4 и 8 на 4, и 3 и 9 на 3.
\[ -\frac{\cancel{4}^1}{9} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{8} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \]

Стъпка 2: Умножение на числителите и знаменателите
Умножаваме числителите и знаменателите:
\[ -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{1}{6} \]

Отговор: \( -\frac{1}{6} \)

г) \( -\frac{7}{12} \cdot 1\frac{1}{14} \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесеното число в неправилна дроб
\[ 1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14} \]

Стъпка 2: Записване на умножението
\[ -\frac{7}{12} \cdot \frac{15}{14} \]

Стъпка 3: Съкращаване на дробите
Съкращаваме 7 и 14 на 7
\[ -\frac{\cancel{7}^1}{12} \cdot \frac{15}{\cancel{14}_2} = -\frac{1}{12} \cdot \frac{15}{2} \]
Съкращаваме 12 и 15 на 3
\[ -\frac{1}{\cancel{12}_4} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} \]

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите
Умножаваме числителите и знаменателите:
\[ -\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 2} = -\frac{5}{8} \]

Отговор: \( -\frac{5}{8} \)

д) \( -0,6 \cdot 12,3 \)

Стъпка 1: Умножение на числата без десетичната запетая
\[ 6 \cdot 123 = 738 \]

Стъпка 2: Поставяне на десетичната запетая
Тъй като в двете числа има общо 2 знака след десетичната запетая, поставяме запетаята така, че да има 2 знака след нея в резултата.
\[ 7,38 \]

Стъпка 3: Определяне на знака
Тъй като едното число е отрицателно, а другото е положително, произведението е отрицателно.
\[ -0,6 \cdot 12,3 = -7,38 \]

Отговор: -7,38

е) \( 0,5 \cdot (-10,4) \)

Стъпка 1: Умножение на числата без десетичната запетая
\[ 5 \cdot 104 = 520 \]

Стъпка 2: Поставяне на десетичната запетая
Тъй като в двете числа има общо 2 знака след десетичната запетая, поставяме запетаята така, че да има 2 знака след нея в резултата.
\[ 5,20 = 5,2 \]

Стъпка 3: Определяне на знака
Тъй като едното число е отрицателно, а другото е положително, произведението е отрицателно.
\[ 0,5 \cdot (-10,4) = -5,2 \]

Отговор: -5,2

ж) \( -1\frac{7}{9} \cdot \left( -3\frac{3}{8} \right) \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесените числа в неправилни дроби
\[ -1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{16}{9} \]
\[ -3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{27}{8} \]

Стъпка 2: Записване на умножението
\[ -\frac{16}{9} \cdot -\frac{27}{8} \]

Стъпка 3: Съкращаване на дробите
Съкращаваме 16 и 8 на 8, 9 и 27 на 9.
\[ -\frac{\cancel{16}^2}{\cancel{9}_1} \cdot -\frac{\cancel{27}^3}{\cancel{8}_1} = -\frac{2}{1} \cdot -\frac{3}{1} \]

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите
\[ \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6 \]

Стъпка 5: Определяне на знака
Тъй като двете числа са отрицателни, произведението е положително.
\[ -1\frac{7}{9} \cdot \left( -3\frac{3}{8} \right) = 6 \]

Отговор: 6

з) \( -1\frac{7}{8} \cdot 4\frac{4}{15} \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесените числа в неправилни дроби
\[ -1\frac{7}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8} \]
\[ 4\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{64}{15} \]

Стъпка 2: Записване на умножението
\[ -\frac{15}{8} \cdot \frac{64}{15} \]

Стъпка 3: Съкращаване на дробите
Съкращаваме 15 и 15 на 15, и 8 и 64 на 8.
\[ -\frac{\cancel{15}^1}{\cancel{8}_1} \cdot \frac{\cancel{64}^8}{\cancel{15}_1} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{1} \]

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите
\[ -\frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 1} = -\frac{8}{1} = -8 \]

Отговор: -8

Най-важното от урока

Основно правило: Умножаваме едночлена пред скобите с всеки един член вътре в скобите.
Пример: \(3x(x^2 - 2y) = 3x \cdot x^2 - 3x \cdot 2y = 3x^3 - 6xy\).
Внимание със знаците: Минус пред едночлена или в скобите променя знаците на съответните произведения.
Пример: \(-5(a - b) = -5a + 5b\).
Опростяване: След разкриване на скобите, винаги проверявайте за подобни едночлени и ги събирайте.
Пример: \(a(a+3) - 2a = a^2 + 3a - 2a = a^2 + a\).

Умножението на едночлен с двучлен се извършва по разпределителното (дистрибутивно) свойство. Едночленът се умножава с всеки от членовете на двучлена, след което получените произведения се събират.

\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] \[ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a \]

Да се извърши умножението \(x \cdot (2x + 3y)\):
\(x \cdot (2x + 3y) = x \cdot 2x + x \cdot 3y = 2x^2 + 3xy\)

Извършете умножението \(5x(x^2 - y)\).

\(5x(x^2 - y) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot y = 5x^3 - 5xy\)

За да умножим едночлен с многочлен:

Умножаваме едночлена с всеки член на многочлена.
Събираме алгебрично получените едночлени.

Полученият резултат се привежда в нормален вид.

Да се извърши умножението \(x(2x^3 + x^2 - 3x + 1)\):
\(x(2x^3 + x^2 - 3x + 1) = x \cdot 2x^3 + x \cdot x^2 - x \cdot 3x + x \cdot 1 =\)\(= 2x^4 + x^3 - 3x^2 + x\)

Извършете умножението \(2a(a^2 - 4a + 3)\).

\(2a(a^2 - 4a + 3) = 2a \cdot a^2 - 2a \cdot 4a + 2a \cdot 3 = 2a^3 - 8a^2 + 6a\)

След умножаване на едночлен с многочлен (разкриване на скоби), изразът се опростява чрез събиране на подобните едночлени.

Да се приведе в нормален вид изразът \(2x(x^2 - 3x + 1) - (x - 6)x^2\):
\[ 2x(x^2 - 3x + 1) - (x - 6)x^2 = (2x^3 - 6x^2 + 2x) - (x^3 - 6x^2)= \] \[ = 2x^3 - 6x^2 + 2x - x^3 + 6x^2= \] \[ = (2x^3 - x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + 2x = x^3 + 2x \]

Приведете в нормален вид израза \(5a(a - 2) - 2(a^2 - 5a)\).

\[ 5a(a - 2) - 2(a^2 - 5a) = (5a^2 - 10a) - (2a^2 - 10a) \] \[ = 5a^2 - 10a - 2a^2 + 10a = 3a^2 \]

Задачи за упражнение

Лесна: Извършете умножението: \(-3xy(2x^2 + 3y^2)\).

\[ -3xy(2x^2 + 3y^2) = (-3xy) \cdot (2x^2) + (-3xy) \cdot (3y^2) = -6x^3y - 9xy^3 \]

Средна: Приведете в нормален вид израза: \(7x(x+2) - 2(x^2 + 3x - 1)\).

\[ 7x(x+2) - 2(x^2 + 3x - 1) = (7x^2 + 14x) - (2x^2 + 6x - 2) \] \[ = 7x^2 + 14x - 2x^2 - 6x + 2 = 5x^2 + 8x + 2 \]

Трудна: Приведете в нормален вид израза: \(xy(3x + y) - 3y(x^2 + xy - 2)\).

\[ xy(3x + y) - 3y(x^2 + xy - 2) = (3x^2y + xy^2) - (3x^2y + 3xy^2 - 6y) \] \[ = 3x^2y + xy^2 - 3x^2y - 3xy^2 + 6y = -2xy^2 + 6y \]

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

a) \( -1 \cdot 3,73 \)

Стъпка 1: Умножение

Стъпка 2: Определяне на знака

б) \( -6 \cdot (-12) \)

Стъпка 1: Умножение на модулите

Стъпка 2: Определяне на знака

в) \( -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \)

Стъпка 1: Съкращаване на дробите

Стъпка 2: Умножение на числителите и знаменателите

г) \( -\frac{7}{12} \cdot 1\frac{1}{14} \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесеното число в неправилна дроб

Стъпка 2: Записване на умножението

Стъпка 3: Съкращаване на дробите

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите

д) \( -0,6 \cdot 12,3 \)

Стъпка 1: Умножение на числата без десетичната запетая

Стъпка 2: Поставяне на десетичната запетая

Стъпка 3: Определяне на знака

е) \( 0,5 \cdot (-10,4) \)

Стъпка 1: Умножение на числата без десетичната запетая

Стъпка 2: Поставяне на десетичната запетая

Стъпка 3: Определяне на знака

ж) \( -1\frac{7}{9} \cdot \left( -3\frac{3}{8} \right) \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесените числа в неправилни дроби

Стъпка 2: Записване на умножението

Стъпка 3: Съкращаване на дробите

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите

Стъпка 5: Определяне на знака

з) \( -1\frac{7}{8} \cdot 4\frac{4}{15} \)

Стъпка 1: Преобразуване на смесените числа в неправилни дроби

Стъпка 2: Записване на умножението

Стъпка 3: Съкращаване на дробите

Стъпка 4: Умножение на числителите и знаменателите

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: