Четириъгълник, вписан в окръжност

Избери решение на задача:

Дадено: Вписан четириъгълник \( ABCD \) с два известни ъгъла: \( 110^\circ \) и \( 50^\circ \).
Търсим: Другите два ъгъла на четириъгълника.

Проверяваме дали дадените ъгли са срещуположни. Тъй като за всеки вписан четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е \( 180^\circ \), пресмятаме:\[ 110^\circ + 50^\circ = 160^\circ \neq 180^\circ \]Следователно двата ъгъла не са срещуположни, а са съседни.
Нека означим ъглите като:\[ \angle A = 110^\circ \]\[ \angle B = 50^\circ \]От свойството на вписан четириъгълник имаме:\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \]\[ \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]Аналогично за другата двойка срещуположни ъгли:\[ \angle B + \angle D = 180^\circ \]\[ \angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \]

Начертайте окръжност с център в началото на координатната система. Върху нея отбележете четири точки \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \) в последователност, като започнете с точка \( A \) в долния ляв квадрант, и продължите с \( B \), \( C \) и \( D \) по посока, обратна на часовниковата стрелка. Свържете тези точки с отсечки \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DA \) за да образувате вписания четириъгълник \( ABCD \). Обозначете вътрешния ъгъл при върха \( A \) като \( \angle A = 110^\circ \) и вътрешния ъгъл при върха \( B \) като \( \angle B = 50^\circ \), поставяйки етикетите близо до съответните върхове. Уверете се, че визуалното представяне на ъглите е приблизително пропорционално на дадените им стойности (т.е. \( \angle A \) да е тъп ъгъл, а \( \angle B \) остър ъгъл).

За да намерим неизвестните ъгли на вписания четириъгълник, ще използваме основното свойство на вписаните четириъгълници: сборът на всеки два срещуположни ъгъла е равен на \( 180^\circ \). 

Стъпка 1: Определяне на взаимното положение на дадените ъгли
Първо трябва да разберем дали двата дадени ъгъла са срещуположни (лежат един срещу друг) или са съседни (имат обща страна).
Знаем, че ако бяха срещуположни, техният сбор трябваше да бъде \( 180^\circ \). Проверяваме техния сбор:
\[ 110^\circ + 50^\circ = 160^\circ \]
Тъй като \( 160^\circ \neq 180^\circ \), правим извода, че тези два ъгъла не са срещуположни. Следователно те са ъгли при два съседни върха на четириъгълника.
Нека ги означим като ъглите при върховете \( A \) и \( B \):
\[ \angle A = 110^\circ \]
\[ \angle B = 50^\circ \]

Стъпка 2: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( A \)
Срещуположният ъгъл на \( \angle A \) е ъгълът при върха \( C \) (означен като \( \angle C \)).
Използваме свойството на вписания четириъгълник, според което сборът на ъглите при върховете \( A \) и \( C \) е \( 180^\circ \):
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \]
Заместваме стойността на \( \angle A \) в уравнението:
\[ 110^\circ + \angle C = 180^\circ \]
Намираме \( \angle C \), като извадим \( 110^\circ \) от \( 180^\circ \):
\[ \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]

Стъпка 3: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( B \)
Срещуположният ъгъл на \( \angle B \) е ъгълът при върха \( D \) (означен като \( \angle D \)).
Отново използваме свойството на вписания четириъгълник, според което сборът на ъглите при върховете \( B \) и \( D \) е \( 180^\circ \):
\[ \angle B + \angle D = 180^\circ \]
Заместваме стойността на \( \angle B \) в уравнението:
\[ 50^\circ + \angle D = 180^\circ \]
Намираме \( \angle D \), като извадим \( 50^\circ \) от \( 180^\circ \):
\[ \angle D = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \]

Така намерихме другите два ъгъла на четириъгълника.

Кратък запис на решението:

Сборът на дадените ъгли е:
\[ 110^\circ + 50^\circ = 160^\circ \neq 180^\circ \]
Тъй като сборът им не е \( 180^\circ \), те не са срещуположни вписани ъгли. Следователно са съседни.
Нека \( \angle A = 110^\circ \) и \( \angle B = 50^\circ \).
От свойството за вписан четириъгълник намираме останалите два ъгъла:
\[ \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
\[ \angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \]

Най-важното от урока

Свойство (Необходимо условие): Ако четириъгълник е вписан в окръжност, сборът на срещуположните му ъгли е $180^\circ$. Пример: Ако $\angle A = 80^\circ$, то $\angle C = 100^\circ$.
Критерий (Достатъчно условие): Ако сборът на срещуположните ъгли в четириъгълник е $180^\circ$, той може да бъде вписан в окръжност. Пример: Всеки правоъгълник може да бъде вписан, защото $90^\circ+90^\circ=180^\circ$.
Специални случаи: Вписан успоредник е правоъгълник. Вписан трапец е равнобедрен.

Четириъгълник е вписан в окръжност, ако всичките му четири върха лежат на окръжността.

Ако един четириъгълник е вписан в окръжност, сборът на всеки два негови срещуположни ъгъла е $180^\circ$.

$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

${Чертеж на вписан четириъгълник ABCD в окръжност k. Срещуположните ъгли $\angle A$ и $\angle C$ са означени. $\angle A$ отсича дъгата BCD, а $\angle C$ отсича дъгата DAB. Двете дъги заедно образуват цялата окръжност ($360^\circ$), което обяснява защо сборът на ъглите е $180^\circ$.}$

Във вписания четириъгълник ABCD е дадено, че $ \angle A = 75^\circ $. За да намерим срещуположния му ъгъл C, използваме свойството: \[ \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]

Четириъгълникът MNPQ е вписан в окръжност. Ако $ \angle M = 60^\circ $ и $ \angle N = 100^\circ $, намерете мерките на $ \angle P $ и $ \angle Q $.

$ \angle P $ е срещуположен на $ \angle N $, следователно: $ \angle P = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $.
$ \angle Q $ е срещуположен на $ \angle M $, следователно: $ \angle Q = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.

Ако в един изпъкнал четириъгълник сборът на два срещуположни ъгъла е $180^\circ$, то около него може да се опише окръжност.

Това е обратната теорема на свойството. Тя ни дава условие, при което можем да твърдим, че четириъгълник е вписан.

Може ли около четириъгълник с последователни ъгли $80^\circ, 110^\circ, 100^\circ, 70^\circ$ да се опише окръжност?
Проверяваме сборовете на срещуположните ъгли:

$80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$
$110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$

Тъй като условието е изпълнено, около този четириъгълник може да се опише окръжност.

Даден е четириъгълник ABCD с $ \angle A = 65^\circ $ и $ \angle C = 115^\circ $. Може ли да се опише окръжност около него?

Проверяваме сбора на срещуположните ъгли A и C: \[ 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ \] Тъй като сборът е $180^\circ$, около четириъгълника може да се опише окръжност.

От свойството и критерия за вписан четириъгълник следват важни твърдения за някои познати фигури.

Всеки вписан в окръжност успоредник е правоъгълник.

Всеки вписан в окръжност трапец е равнобедрен.

{Две фигури: 1. Правоъгълник ABCD, вписан в окръжност. 2. Равнобедрен трапец EFGH, вписан в окръжност.}

Трапец е вписан в окръжност и единият му ъгъл е $80^\circ$. Тъй като вписаният трапец е равнобедрен, ъглите при същата основа са равни. Следователно ъглите му са $80^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 100^\circ$.

Успоредник е вписан в окръжност. Какви са ъглите му?

Тъй като вписаният успоредник е правоъгълник, всичките му ъгли са прави, т.е. по $90^\circ$.

Задачи за упражнение

Лесна: Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност. Ако $ \angle BCD = 125^\circ $, намерете мярката на $ \angle DAB $.

Ъглите $ \angle DAB $ и $ \angle BCD $ са срещуположни. Техният сбор е $180^\circ$.
$ \angle DAB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ $.

Средна: Около трапеца ABCD ($AB || CD$) е описана окръжност. Ако $ \angle ADC = 110^\circ $, намерете останалите ъгли на трапеца.

1. Тъй като трапецът е вписан, той е равнобедрен. Следователно $ \angle BCD = \angle ADC = 110^\circ $.
2. От свойството на вписания четириъгълник:
$ \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $.
3. Тъй като трапецът е равнобедрен:
$ \angle BAD = \angle ABC = 70^\circ $.
Отговор: Ъглите са $70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ$.

Трудна: В четириъгълника ABCD е дадено, че $ \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 7 $. Може ли около този четириъгълник да се опише окръжност?

Нека $ \angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x $.
За да може четириъгълникът да е вписан, трябва $ \angle A + \angle C = 180^\circ $.
$ 2x + 7x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ $.
При $x = 20^\circ$ получаваме: $ \angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 140^\circ $.
Сборът на всички ъгли в четириъгълник е $360^\circ$. Намираме последния ъгъл:
$ \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (40^\circ + 60^\circ + 140^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.
Сега проверяваме сбора на другата двойка срещуположни ъгли:
$ \angle B + \angle D = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ $.
Тъй като сборът и на двете двойки срещуположни ъгли е $180^\circ$, около четириъгълника може да се опише окръжност.

82. Четириъгълник, вписан в окръжност

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Определяне на взаимното положение на дадените ъгли

Стъпка 2: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( A \)

Стъпка 3: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( B \)

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Определяне на взаимното положение на дадените ъгли

Стъпка 2: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( A \)

Стъпка 3: Намиране на ъгъла, срещуположен на ъгъл \( B \)

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: