36. Разлагане на квадратния тричлен на множители

а) \( 7x^2 - 3x \)

Стъпка 1: Изнасяне на общ множител

Изнасяме общия множител \( x \): \[ 7x^2 - 3x = x(7x - 3) \]

б) \( x^2 - 2 \)

Стъпка 1: Прилагане на формула за съкратено умножение

Използваме формулата за разлика на квадрати \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

в) \( x^2 - 3x - 4 \)

Стъпка 1: Намиране корените на съответното квадратно уравнение

Приравняваме на нула: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). Коефициентите са \( a = 1, b = -3, c = -4 \). Пресмятаме дискриминантата: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Корените са: \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

По формулата \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \): \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \]

г) \( 5x^2 - 8x - 21 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( 5x^2 - 8x - 21 = 0 \). Коефициентите са \( a = 5, k = -4, c = -21 \). \[ D_1 = (-4)^2 - 5 \cdot (-21) = 16 + 105 = 121 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{121}}{5} = \frac{4 \pm 11}{5} \] \[ x_1 = \frac{4 + 11}{5} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 11}{5} = -\frac{7}{5} \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ 5x^2 - 8x - 21 = 5(x - 3)\left(x + \frac{7}{5}\right) = (x - 3)(5x + 7) \]

д) \( 9x^2 - 24x + 16 \)

Стъпка 1: Прилагане на формула за съкратено умножение

Забелязваме, че изразът е точен квадрат: \[ 9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = (3x - 4)^2 \]

е) \( x^2 - 3x + 3 \)

Стъпка 1: Проверка на дискриминантата

Приравняваме на нула: \( x^2 - 3x + 3 = 0 \). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \] Тъй като \( D < 0 \), тричленът е неразложим над множеството на реалните числа.

ж) \( 2x^2 + 3x - 9 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( 2x^2 + 3x - 9 = 0 \). \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 \] \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 9}{4} \] \[ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ 2x^2 + 3x - 9 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x + 3) = (2x - 3)(x + 3) \]

з) \( 4x^2 + 3x - 2 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( 4x^2 + 3x - 2 = 0 \). \[ D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 9 + 32 = 41 \] \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{8} \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ 4x^2 + 3x - 2 = 4\left(x - \frac{-3 + \sqrt{41}}{8}\right)\left(x - \frac{-3 - \sqrt{41}}{8}\right) \]

и) \( -2x^2 + 5x + 3 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( -2x^2 + 5x + 3 = 0 \). \[ D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 25 + 24 = 49 \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{-4} \] \[ x_1 = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{-4} = 3 \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ -2x^2 + 5x + 3 = -2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 3) = -(2x + 1)(x - 3) \]

й) \( -25x^2 + 30x - 9 \)

Стъпка 1: Изнасяне на знак минус и формула за точен квадрат

\[ -25x^2 + 30x - 9 = -(25x^2 - 30x + 9) = -(5x - 3)^2 \]

к) \( -7x^2 + 2x - 1 \)

Стъпка 1: Проверка на дискриминантата

Приравняваме на нула: \( -7x^2 + 2x - 1 = 0 \). \[ D_1 = 1^2 - (-7) \cdot (-1) = 1 - 7 = -6 \] Тъй като \( D_1 < 0 \), тричленът е неразложим над множеството на реалните числа.

л) \( -4x^2 + 7x - 3 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( -4x^2 + 7x - 3 = 0 \). \[ D = 7^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-3) = 49 - 48 = 1 \] \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm 1}{-8} \] \[ x_1 = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{-8}{-8} = 1 \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ -4x^2 + 7x - 3 = -4\left(x - \frac{3}{4}\right)(x - 1) = -(4x - 3)(x - 1) \]

м) \( 6x^2 - 5x + 6 \)

Стъпка 1: Проверка на дискриминантата

Приравняваме на нула: \( 6x^2 - 5x + 6 = 0 \). \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 25 - 144 = -119 \] Тъй като \( D < 0 \), тричленът е неразложим над множеството на реалните числа.

н) \( 15x^2 - 13x + 2 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( 15x^2 - 13x + 2 = 0 \). \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2 = 169 - 120 = 49 \] \[ x_{1,2} = \frac{13 \pm 7}{30} \] \[ x_1 = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ 15x^2 - 13x + 2 = 15\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) = (3x - 2)(5x - 1) \]

о) \( -2x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 \)

Стъпка 1: Намиране корените на квадратното уравнение

Приравняваме на нула: \( -2x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0 \). \[ D_1 = (-\sqrt{3})^2 - (-2) \cdot 3 = 3 + 6 = 9 \] \[ x_{1,2} = \frac{\sqrt{3} \pm 3}{-2} = \frac{-\sqrt{3} \mp 3}{2} \] \[ x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2} \]

Стъпка 2: Разлагане на множители

\[ -2x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = -2\left(x - \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right) \]

п) \( 2x^2 - 3x + \sqrt{5} \)

Стъпка 1: Проверка на дискриминантата

Приравняваме на нула: \( 2x^2 - 3x + \sqrt{5} = 0 \). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 9 - 8\sqrt{5} \] Тъй като \( 8\sqrt{5} = \sqrt{320} > \sqrt{81} = 9 \), следва че \( D < 0 \). Следователно тричленът е неразложим над множеството на реалните числа.

а)

\( x(7x - 3) \)

б)

\( (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \)

в)

\( D = 25 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -1 \Rightarrow (x - 4)(x + 1) \)

г)

\( D_1 = 121 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -\frac{7}{5} \Rightarrow (x - 3)(5x + 7) \)

д)

\( (3x - 4)^2 \)

е)

\( D = -3 < 0 \Rightarrow \text{неразложим} \)

ж)

\( D = 81 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -3 \Rightarrow (2x - 3)(x + 3) \)

з)

\( D = 41 \Rightarrow 4\left(x - \frac{-3 + \sqrt{41}}{8}\right)\left(x - \frac{-3 - \sqrt{41}}{8}\right) \)

и)

\( D = 49 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 3 \Rightarrow -(2x + 1)(x - 3) \)

й)

\( -(5x - 3)^2 \)

к)

\( D_1 = -6 < 0 \Rightarrow \text{неразложим} \)

л)

\( D = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = 1 \Rightarrow -(4x - 3)(x - 1) \)

м)

\( D = -119 < 0 \Rightarrow \text{неразложим} \)

н)

\( D = 49 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \frac{1}{5} \Rightarrow (3x - 2)(5x - 1) \)

о)

\( D_1 = 9 \Rightarrow -2\left(x - \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right) \)

п)

\( D = 9 - 8\sqrt{5} < 0 \Rightarrow \text{неразложим} \)