Ротация

Избери решение на задача:

Дадено: 
\( k(O; r = 2 \text{ cm}) \)
\( M \in k \)
\( \rho' = \rho(O; +30^\circ) \)
\( \rho'' = \rho(O; -30^\circ) \)

Търсим: 
а) \( M' = \rho'(M) \)
б) \( M'' = \rho''(M) \)
в) \( M'M'' = ? \)а)\( M' = \rho'(M) \)
При ротация \( \rho'(O; +30^\circ) \) за точка \( M \rightarrow M' \) следва:\[ \angle MOM' = 30^\circ \]\[ OM = OM' = r \Rightarrow M' \in k \]
б)\( M'' = \rho''(M) \)
При ротация \( \rho''(O; -30^\circ) \) за точка \( M \rightarrow M'' \) следва:\[ \angle MOM'' = |-30^\circ| = 30^\circ \]\[ OM = OM'' = r \Rightarrow M'' \in k \]
в)\( M'M'' = ? \)
Намираме мярката на \( \angle M'OM'' \):\[ \angle M'OM'' = \angle MOM' + \angle MOM'' = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]Разглеждаме \( \triangle M'OM'' \):
От \( OM' = OM'' = r \) и \( \angle M'OM'' = 60^\circ \) следва, че \( \triangle M'OM'' \) е равностранен.
Тогава:\[ M'M'' = OM' = r = 2 \text{ cm} \]

Постройте окръжност \( k \) с център точка \( O \) и радиус \( r = 2 \text{ cm} \). Разположете точка \( M \) върху окръжността, така че отсечката \( OM \) да е хоризонтална и да сочи надясно от \( O \). Начертайте радиуса \( OM \). От точка \( O \), отмерете ъгъл от \( 30^\circ \) спрямо радиуса \( OM \) в посока, обратна на часовниковата стрелка (положителна посока), и отбележете точка \( M' \) върху окръжността. Начертайте радиуса \( OM' \) и поставете етикет \( 30^\circ \) за ъгъла \( \angle MOM' \). След това, отново от точка \( O \), отмерете ъгъл от \( 30^\circ \) спрямо радиуса \( OM \) по посока на часовниковата стрелка (отрицателна посока), и отбележете точка \( M'' \) върху окръжността. Начертайте радиуса \( OM'' \) и поставете етикет \( 30^\circ \) за ъгъла \( \angle MOM'' \). Накрая свържете точките \( M' \) и \( M'' \) с пунктирана отсечка. Уверете се, че всички точки \( O, M, M', M'' \) са ясно обозначени.

Стъпка 1: Припомняме определението за ротация
Ротацията е геометрично преобразувание, което завърта точките в равнината около даден център \( O \) на определен ъгъл \( \alpha \). 
Ако точка \( X' \) е образ на точка \( X \) при ротация \( \rho(O; \alpha) \), то са изпълнени две условия:
1. Разстоянието от центъра до точката се запазва, т.е. \( OX = OX' \).
2. Ъгълът на завъртане е \( \angle XOX' = |\alpha| \). 
Посоката на завъртане се определя от знака на ъгъла: положителен знак означава завъртане обратно на часовниковата стрелка, а отрицателен – по посока на часовниковата стрелка.

а) Намираме \( M' = \rho'(M) \)
Стъпка 2: Прилагаме определението за ротация \( \rho' \)
По условие точката \( M \) лежи на окръжността \( k(O, r = 2 \text{ cm}) \). Това означава, че разстоянието от центъра \( O \) до \( M \) е равно на радиуса: 
\[ OM = r = 2 \text{ cm} \]
Разглеждаме ротацията \( \rho' = \rho(O; +30^\circ) \). Тъй като \( M' \) е образът на \( M \), от свойствата на ротацията следва, че:
\[ OM' = OM = r \]
Това показва, че точката \( M' \) се намира на разстояние \( r \) от центъра \( O \), следователно \( M' \) също лежи на окръжността \( k \).

Ъгълът на завъртане е \( 30^\circ \) в положителна посока, следователно:
\[ \angle MOM' = 30^\circ \]

б) Намираме \( M'' = \rho''(M) \)
Стъпка 3: Прилагаме определението за ротация \( \rho'' \)
Аналогично разглеждаме ротацията \( \rho'' = \rho(O; -30^\circ) \). За образа \( M'' \) на точката \( M \) е в сила:
\[ OM'' = OM = r \]
Следователно точката \( M'' \) също лежи на окръжността \( k \).

Ъгълът на завъртане е \( 30^\circ \) в отрицателна посока, следователно:
\[ \angle MOM'' = 30^\circ \]

в) Намираме дължината на отсечката \( M'M'' \)
Стъпка 4: Определяме ъгъла между двата образа
За да намерим дължината на отсечката \( M'M'' \), първо трябва да разгледаме триъгълника \( \triangle M'OM'' \).
Нека намерим ъгъла при върха \( O \) в този триъгълник. Тъй като лъчите \( OM' \) и \( OM'' \) се намират от двете различни страни на лъча \( OM \), то общият ъгъл \( \angle M'OM'' \) е сборът от двата ъгъла на ротация:
\[ \angle M'OM'' = \angle MOM' + \angle MOM'' \]
\[ \angle M'OM'' = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]

Стъпка 5: Разглеждаме вида на получения триъгълник
В \( \triangle M'OM'' \) имаме две страни, които са равни на радиуса на окръжността:
\[ OM' = OM'' = r \]
Следователно триъгълникът е равнобедрен с основа \( M'M'' \).
Ние обаче вече пресметнахме, че ъгълът между бедрата му е \( 60^\circ \). Равнобедрен триъгълник с ъгъл от \( 60^\circ \) е равностранен. 
Щом \( \triangle M'OM'' \) е равностранен, то всичките му страни са равни:
\[ M'M'' = OM' = OM'' = r \]
Тъй като по условие \( r = 2 \text{ cm} \), получаваме дължината на търсената отсечка:
\[ M'M'' = 2 \text{ cm} \]

Кратък запис на решението:

а)
\[ M \rightarrow M' \text{ при } \rho'(O; +30^\circ) \Rightarrow \angle MOM' = 30^\circ, OM' = OM = r \Rightarrow M' \in k \]
б)
\[ M \rightarrow M'' \text{ при } \rho''(O; -30^\circ) \Rightarrow \angle MOM'' = 30^\circ, OM'' = OM = r \Rightarrow M'' \in k \]
в)
\[ \angle M'OM'' = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]
В \( \triangle M'OM'' \): \( OM'=OM''=r \) и \( \angle M'OM'' = 60^\circ \Rightarrow \triangle M'OM'' \) е равностранен.
\[ M'M'' = r = 2 \text{ cm} \]

Най-важното от урока

Ротацията се определя от център, ъгъл и посока (положителна: обратно на часовника, отрицателна: по часовника).
При ротация около $O$ на ъгъл $\alpha$, точка $X$ отива в $X'$ така, че $OX = OX'$ и $\angle XOX' = \alpha$.
Ключово свойство: Ротацията е еднаквост, т.е. запазва разстояния, ъгли и форми. За да завъртите фигура, завъртете нейните основни точки.

Положителна посока на въртене е тази, която е обратна на движението на часовниковата стрелка.

Отрицателна посока на въртене е тази, която съвпада с движението на часовниковата стрелка.

{Диаграма на триъгълник ABC, обхождан в посока, обратна на часовниковата стрелка, илюстрираща положителна ориентация.}

Триъгълник, чиито върхове се обхождат в положителна посока, е положително ориентиран.
{Диаграма на триъгълник PQR, обхождан в посока на часовниковата стрелка, илюстрираща отрицателна ориентация.}

{Диаграма на триъгълник PQR, обхождан в посока на часовниковата стрелка, илюстрираща отрицателна ориентация.}

Триъгълник, чиито върхове се обхождат в отрицателна посока, е отрицателно (обратно) ориентиран.

Дадена е ротация на ъгъл $\alpha = -60^\circ$. В каква посока се извършва въртенето?

Отговор: Посоката е отрицателна (по часовниковата стрелка), защото ъгълът е със знак минус.

Ротация (въртене) е геометрична трансформация, определена от три елемента: център на ротация $O$, ъгъл на ротация $\alpha$ и посока (положителна или отрицателна).

При ротация всяка точка $X$ се изобразява в точка $X'$, така че:

Разстоянието до центъра се запазва: $OX = OX'$.
Ъгълът между лъчите $OX$ и $OX'$ е равен на ъгъла на ротация: $\angle XOX' = \alpha$.
Центърът на ротация остава на мястото си: $O \rightarrow O$.

${Диаграма, показваща точка A, която се върти до точка A' около център O на ъгъл $\alpha$.}$ На чертежа точка $A$ е завъртяна до $A'$ около център $O$ на ъгъл $\alpha$ в положителна посока.

Точка M е на разстояние 7 cm от точка O. Какво ще бъде разстоянието $OM'$, ако $M'$ е образът на M при ротация с център O?

Отговор: Ротацията запазва разстоянията до центъра. Следователно, $OM' = OM = 7$ cm.

Ротацията е еднаквост (движение). Това означава, че тя запазва формата и размера на фигурите.

При ротация:

Образът на отсечка е отсечка, равна на дадената. $AB = A'B'$
Образът на ъгъл е ъгъл, равен на дадения. $\angle pCq = \angle p'C'q'$
Образът на окръжност е окръжност, равна на дадената. $k(L,r) \cong k'(L',r)$

{Илюстрация на триъгълник ABC, завъртян до триъгълник A'B'C' около център O.}

Ако $\triangle ABC$ се завърти до $\triangle A'B'C'$, то двата триъгълника са еднакви: $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Квадрат има страна с дължина 5 cm. Каква фигура ще бъде неговият образ след ротация и каква ще бъде дължината на страната ѝ?

Отговор: Образът ще бъде квадрат, еднакъв на първоначалния. Дължината на страната му също ще бъде 5 cm.

Задачи за упражнение

Лесна: Даден е квадрат $ABCD$. Построяваме образа му $A'B'C'D'$ при ротация с център $A$ и ъгъл $+90^\circ$. В коя точка ще се изобрази върхът $B$?

Търсим точка $B'$ така, че $AB = AB'$ и $\angle BAB' = 90^\circ$ в положителна посока. В квадрата $ABCD$ имаме $AB=AD$ и $\angle DAB = 90^\circ$. Следователно, образът на точка $B$ е точка $D$.

Средна: Отсечка $MN$ с дължина 6 cm се върти около точка $O$, която не лежи на отсечката, на ъгъл $-45^\circ$. Каква е дължината на образа $M'N'$ и какъв ъгъл сключват правите $MN$ и $M'N'$?

Ротацията е еднаквост, затова дължината на образа е равна на дължината на оригинала: $M'N' = MN = 6$ cm. Ъгълът между права и нейния образ при ротация е равен на ъгъла на ротация, т.е. 45°.

Трудна: Даден е равностранен $\triangle ABC$. Точка $M$ е средата на страната $AB$. Да се намери образът на $\triangle AMC$ при ротация с център $M$ и ъгъл $+180^\circ$.

Нека ротацията е $R(M, +180^\circ)$.
1. Центърът $M$ се изобразява в себе си: $M \rightarrow M$.
2. Точка $A$ е на правата $MB$ и $MA = MB$. При ротация на $+180^\circ$ около $M$, точка $A$ се изобразява в точка $B$.
3. Търсим образа $C'$ на $C$. Той трябва да е такъв, че $MC = MC'$ и $\angle CMC' = 180^\circ$. Това означава, че $M$ е среда на отсечката $CC'$.
Образът на $\triangle AMC$ е $\triangle BMC'$, където $M$ е средата на $CC'$.

91. Ротация

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Припомняме определението за ротация

а) Намираме \( M' = \rho'(M) \)

Стъпка 2: Прилагаме определението за ротация \( \rho' \)

б) Намираме \( M'' = \rho''(M) \)

Стъпка 3: Прилагаме определението за ротация \( \rho'' \)

в) Намираме дължината на отсечката \( M'M'' \)

Стъпка 4: Определяме ъгъла между двата образа

Стъпка 5: Разглеждаме вида на получения триъгълник

Кратък запис на решението:

а)

б)

в)

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Припомняме определението за ротация

а) Намираме \( M' = \rho'(M) \)

Стъпка 2: Прилагаме определението за ротация \( \rho' \)

б) Намираме \( M'' = \rho''(M) \)

Стъпка 3: Прилагаме определението за ротация \( \rho'' \)

в) Намираме дължината на отсечката \( M'M'' \)

Стъпка 4: Определяме ъгъла между двата образа

Стъпка 5: Разглеждаме вида на получения триъгълник

Кратък запис на решението:

а)

б)

в)

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: