Най-важното от урока
Описана окръжност: Минава през трите върха на триъгълника.
Център (общ случай): Пресечната точка на симетралите на страните. Пример: За \(\triangle ABC\), построяваме симетралите на AB и BC и намираме пресечната им точка O.
Център (правоъгълен \(\triangle\)): Средата на хипотенузата. Пример: Ако хипотенузата е 10 cm, радиусът е 5 cm.
Център (равностранен \(\triangle\)): Пресечната точка на медианите (медицентър).
Център (общ случай): Пресечната точка на симетралите на страните. Пример: За \(\triangle ABC\), построяваме симетралите на AB и BC и намираме пресечната им точка O.
Център (правоъгълен \(\triangle\)): Средата на хипотенузата. Пример: Ако хипотенузата е 10 cm, радиусът е 5 cm.
Център (равностранен \(\triangle\)): Пресечната точка на медианите (медицентър).
Окръжност, която минава през трите върха на един триъгълник, се нарича описана около триъгълника. Самият триъгълник се нарича вписан в окръжността.
Ако върховете A, B и C на \(\triangle ABC\) лежат върху окръжност \(k\), то \(k\) е описана около \(\triangle ABC\).
Какво е необходимото условие, за да може един триъгълник да се нарече "вписан" в дадена окръжност?
Отговор: И трите му върха трябва да лежат върху окръжността.
Центърът на описаната около триъгълник окръжност е пресечната точка на симетралите на страните му. Тази точка е на равни разстояния от трите върха на триъгълника (\(OA = OB = OC = R\)).
За да се намери центърът на описаната окръжност, е достатъчно да се построят симетралите на две от страните на триъгълника. Тяхната пресечна точка е търсеният център.
За да намерим центъра на описаната окръжност около \(\triangle ABC\), построяваме симетралата \(s_1\) на страната AB и симетралата \(s_2\) на страната BC. Пресечната им точка O е центърът на окръжността.
Даден е \(\triangle PQR\). Симетралата на страната PQ и симетралата на страната PR се пресичат в точка K. Какво представлява точка K за триъгълника?
Отговор: Точка K е центърът на описаната около \(\triangle PQR\) окръжност.
Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност е средата на хипотенузата му.
\[ R = \frac{c}{2} \]
където R е радиусът на описаната окръжност, а c е дължината на хипотенузата.
Ако в правоъгълен \(\triangle ABC\) хипотенузата AB е 12 cm, то центърът на описаната окръжност е средата на AB, а радиусът ѝ е \(R = \frac{12}{2} = 6\) cm.
Правоъгълен триъгълник има хипотенуза с дължина 20 cm. Намерете радиуса на описаната около него окръжност.
Отговор: Радиусът е половината от хипотенузата: \(R = \frac{20}{2} = 10\) cm.
В равностранен триъгълник центърът на описаната окръжност съвпада с медицентъра (пресечната точка на медианите).
Причината е, че в равностранния триъгълник медианите, височините, ъглополовящите и симетралите към всяка страна съвпадат.
За да намерим центъра на описаната окръжност около равностранен \(\triangle ABC\), можем да намерим пресечната точка на медианите \(AA_1\) и \(BB_1\).
Какъв е най-бързият начин да намерите центъра на описаната окръжност на равностранен триъгълник, ако са ви дадени върховете му?
Отговор: Да се построят две от медианите му. Тяхната пресечна точка е търсеният център.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm. Намерете радиуса на описаната около него окръжност.
Първо намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\), следователно \(c = 5\) cm.
Радиусът на описаната окръжност е половината от хипотенузата: \(R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) cm.
Радиусът на описаната окръжност е половината от хипотенузата: \(R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) cm.
Средна: Центърът на описаната около \(\triangle ABC\) окръжност е точка O. Разстоянието от O до страната AB е 4 cm. Радиусът на окръжността е 5 cm. Намерете дължината на страната AB.
Нека M е средата на AB. Разстоянието от O до AB е дължината на перпендикуляра \(OM = 4\) cm. \(\triangle OMA\) е правоъгълен с хипотенуза \(OA = R = 5\) cm и катет \(OM = 4\) cm.
От Питагоровата теорема: \(AM^2 + OM^2 = OA^2\).
\(AM^2 + 4^2 = 5^2 \implies AM^2 + 16 = 25 \implies AM^2 = 9 \implies AM = 3\) cm.
Тъй като M е средата на AB, то \(AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3 = 6\) cm.
От Питагоровата теорема: \(AM^2 + OM^2 = OA^2\).
\(AM^2 + 4^2 = 5^2 \implies AM^2 + 16 = 25 \implies AM^2 = 9 \implies AM = 3\) cm.
Тъй като M е средата на AB, то \(AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3 = 6\) cm.
Трудна: В \(\triangle ABC\) е вписан в окръжност с център O. Ако \(\angle ACB = 45^\circ\), намерете градусната мярка на \(\angle AOB\).
\(\triangle AOB\) е равнобедрен (\(OA = OB = R\)). Ъгъл \(\angle AOB\) е централен ъгъл, съответен на дъгата AB. Ъгъл \(\angle ACB\) е вписан ъгъл, съответен на същата дъга.
Мярката на централния ъгъл е два пъти по-голяма от мярката на вписания ъгъл, който се измерва със същата дъга.
\(\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\).
Мярката на централния ъгъл е два пъти по-голяма от мярката на вписания ъгъл, който се измерва със същата дъга.
\(\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\).
