65. Събиране и изваждане на рационални дроби

а) Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Когато рационалните дроби имат еднакъв знаменател, събираме техните числители и запазваме знаменателя непроменен. \[ \frac{2}{x-4} + \frac{3}{x-4} = \frac{2+3}{x-4} = \frac{5}{x-4} \]

б) Събиране на дроби с еднакви знаменатели (с параметри)

Аналогично на предходния пример, тъй като знаменателят \( x^2-4 \) е общ за двете дроби, просто събираме числителите. \[ \frac{2a}{x^2-4} + \frac{3b}{x^2-4} = \frac{2a+3b}{x^2-4} \]

в) Привеждане към най-малък общ знаменател (НОЗ)

За да съберем дробите, първо трябва да разложим знаменателите на множители. Използваме формулата за разлика на квадрати \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \). \[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \] НОЗ е \( (x-2)(x+2) \). Разширяваме първата дроб с \( (x+2) \), а втората с \( (x-2) \): \[ \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{x+2+x-2+x}{x^2-4} \] Сега съкращаваме противоположните числа в числителя: \[ = \frac{x + \cancel{2} + x - \cancel{2} + x}{x^2-4} = \frac{3x}{x^2-4} \]

г) Използване на формула за разлика на кубове и смяна на знак

Разлагаме \( x^3-1 \) по формулата \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \): \[ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \] Забелязваме, че знаменателят на втората дроб е \( 1-x \). За да стане еднакъв с множителя в НОЗ, променяме знака пред дробта и в знаменателя: \( \frac{1}{1-x} = -\frac{1}{x-1} \). НОЗ е \( (x-1)(x^2+x+1) \). \[ \frac{x^2}{x^3-1} - \frac{1 \cdot (x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{x \cdot (x-1)}{(x^2+x+1)(x-1)} \] \[ = \frac{x^2 - (x^2+x+1) + x(x-1)}{x^3-1} = \frac{x^2 - x^2 - x - 1 + x^2 - x}{x^3-1} \] Съкращаваме \( \cancel{x^2} \) и \( -\cancel{x^2} \): \[ = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^3-1} \]

д) Събиране на дроби и цяло число

Записваме числото 2 като дроб \( \frac{2}{1} \). НОЗ отново е \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \). \[ \frac{1 \cdot (x+2)}{x^2-4} + \frac{1 \cdot (x-2)}{x^2-4} + \frac{2 \cdot (x^2-4)}{x^2-4} \] \[ = \frac{x+2+x-2+2x^2-8}{x^2-4} \] Съкращаваме \( \cancel{2} \) и \( -\cancel{2} \): \[ = \frac{2x^2 + 2x - 8}{x^2-4} \] Можем да изнесем общ множител 2 в числителя: \[ = \frac{2(x^2+x-4)}{x^2-4} \]

а) \( \frac{2+3}{x-4} = \frac{5}{x-4} \) б) \( \frac{2a+3b}{x^2-4} \) в) \( \frac{x+2+x-2+x}{x^2-4} = \frac{3x}{x^2-4} \) г) \( \frac{x^2-(x^2+x+1)+x(x-1)}{x^3-1} = \frac{x^2-x^2-x-1+x^2-x}{x^3-1} = \frac{x^2-2x-1}{x^3-1} \) д) \( \frac{x+2+x-2+2(x^2-4)}{x^2-4} = \frac{2x+2x^2-8}{x^2-4} = \frac{2(x^2+x-4)}{x^2-4} \)