Най-важното от урока
Взаимни положения: Права спрямо окръжност бива външна (\(d > r\), 0 точки), допирателна (\(d = r\), 1 точка) или секуща (\(d < r\), 2 точки).
Допирателна: Перпендикулярна е на радиуса в допирната точка (\(t \perp OT\)). Допирателните отсечки от обща външна точка са равни (\(MT_1 = MT_2\)), а правата през центъра разполовява ъгъла между тях.
Хорди и диаметри: Диаметър \(\perp\) хорда разполовява хордата и дъгите ѝ. Успоредните хорди отсичат равни дъги.
Разстояние и дължина: Връзката \(r^2 = d^2 + (c/2)^2\) показва, че равните хорди са на равно разстояние от центъра, а по-дългата хорда лежи по-близо до него.
Допирателна: Перпендикулярна е на радиуса в допирната точка (\(t \perp OT\)). Допирателните отсечки от обща външна точка са равни (\(MT_1 = MT_2\)), а правата през центъра разполовява ъгъла между тях.
Хорди и диаметри: Диаметър \(\perp\) хорда разполовява хордата и дъгите ѝ. Успоредните хорди отсичат равни дъги.
Разстояние и дължина: Връзката \(r^2 = d^2 + (c/2)^2\) показва, че равните хорди са на равно разстояние от центъра, а по-дългата хорда лежи по-близо до него.
Взаимното положение на окръжност \(k(O; r)\) и права \(a\) се определя от разстоянието \(d\) от центъра \(O\) до правата (дължината на перпендикуляра \(OP \perp a\)) спрямо радиуса \(r\).
| Разстояние (\(d\)) и радиус (\(r\)) | Наименование на правата | Брой общи точки | Свойство |
|---|---|---|---|
| \(d > r\) | Външна права | 0 | Всички точки от правата са външни за окръжността. |
| \(d = r\) | Допирателна (тангента) | 1 | Общата точка \(T\) се нарича допирна точка. |
| \(d < r\) | Секуща | 2 | Пресича окръжността в две точки, симетрични спрямо петата на перпендикуляра. |
Окръжност има радиус \(r = 5\text{ cm}\). Определете взаимното положение на окръжността и права \(a\), ако разстоянието от центъра до правата е: а) \(3\text{ cm}\); б) \(5\text{ cm}\); в) \(7\text{ cm}\).
а) Понеже \(d = 3 < r = 5\), правата е секуща (2 общи точки).
б) Понеже \(d = 5 = r = 5\), правата е допирателна (1 обща точка).
в) Понеже \(d = 7 > r = 5\), правата е външна за окръжността (нямат общи точки).
б) Понеже \(d = 5 = r = 5\), правата е допирателна (1 обща точка).
в) Понеже \(d = 7 > r = 5\), правата е външна за окръжността (нямат общи точки).
Всяка допирателна към окръжност е перпендикулярна на радиуса, построен в допирната точка:
\[ t \perp OT \quad (T \text{ е допирната точка}) \]
Ако през точка \(M\), външна за окръжност, са прекарани две допирателни с допирни точки \(T_1\) и \(T_2\):
- Допирателните отсечки са равни: \(MT_1 = MT_2\);
- Правата \(OM\) е ъглополовяща на ъгъла между допирателните: \(\angle OMT_1 = \angle OMT_2\);
- Правата \(OM\) е ъглополовяща и на централния ъгъл: \(\angle T_1OM = \angle T_2OM\).
Четириъгълникът \(OT_1MT_2\) има два срещуположни прави ъгъла (\(\angle T_1 = \angle T_2 = 90^\circ\)), следователно \(\angle T_1MT_2 + \angle T_1OT_2 = 180^\circ\).
Ако допирателните \(MT_1\) и \(MT_2\) сключват ъгъл \(60^\circ\), то триъгълникът \(\triangle MT_1T_2\) е равнобедрен с ъгъл \(60^\circ\), следователно е равностранен (\(MT_1 = MT_2 = T_1T_2\)).
Диаметър, който е перпендикулярен на хорда, разполовява хордата и принадлежащите ѝ дъги:
\[ MN \perp AB \implies AP = PB, \quad \widehat{AN} = \widehat{BN}, \quad \widehat{AM} = \widehat{BM} \]
Обратна теорема: Диаметър, който минава през средата на дъга (или през средата на хорда, която не е диаметър), е перпендикулярен на тази хорда.
Дъгите, заключени между две успоредни хорди, са равни:
\[ AB \parallel CD \implies \widehat{AC} = \widehat{BD} \implies AC = BD \]
Всеки вписан ъгъл, чиито рамене минават през краищата на диаметър (ъгъл, вписан в полуокръжност), е прав (\(90^\circ\)).
Връзка между радиус \(r\), разстояние до хордата \(d\) и дължина на хордата \(c\):
\[ r^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 \]
(следствие от Питагоровата теорема за правоъгълния триъгълник с катети \(d\) и \(\frac{c}{2}\) и хипотенуза радиуса \(r\))
В една окръжност:
- Равните хорди се намират на равни разстояния от центъра (\(c_1 = c_2 \iff d_1 = d_2\));
- От две неравни хорди, по-голямата се намира на по-малко разстояние от центъра (\(c_1 > c_2 \iff d_1 < d_2\)).
В окръжност с радиус \(r = 10\text{ cm}\) е построена хорда на разстояние \(6\text{ cm}\) от центъра. Намерете дължината на хордата.
Прилагаме формулата: \(r^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\):
\[ 10^2 = 6^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 \implies 100 = 36 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 \implies \left(\frac{c}{2}\right)^2 = 64 \]
\[ \frac{c}{2} = 8 \implies c = 16\text{ cm} \]
Отговор: Дължината на хордата е \(16\text{ cm}\).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Към окръжност с радиус \(r = 8\text{ cm}\) от външна точка \(M\) е построена допирателна с допирна точка \(T\). Разстоянието от центъра \(O\) до точката \(M\) е \(17\text{ cm}\). Намерете дължината на допирателната отсечка \(MT\).
Тъй като \(MT\) е допирателна, радиусът в допирната точка е перпендикулярен на правата: \(\angle OTM = 90^\circ\).
По Питагоровата теорема за \(\triangle OTM\): \[ OM^2 = OT^2 + MT^2 \implies 17^2 = 8^2 + MT^2 \] \[ 289 = 64 + MT^2 \implies MT^2 = 225 \implies MT = 15\text{ cm} \] Отговор: \(MT = 15\text{ cm}\).
По Питагоровата теорема за \(\triangle OTM\): \[ OM^2 = OT^2 + MT^2 \implies 17^2 = 8^2 + MT^2 \] \[ 289 = 64 + MT^2 \implies MT^2 = 225 \implies MT = 15\text{ cm} \] Отговор: \(MT = 15\text{ cm}\).
Задача 2 (Средна): През външна точка \(M\) към окръжност са прекарани две допирателни \(MA\) и \(MB\), които сключват ъгъл \(60^\circ\). Сборът от дължините им е \(MA + MB = 18\text{ cm}\).
а) Намерете дължината на хордата \(AB\).
б) Намерете мярката на централния ъгъл \(\angle AOB\).
а) Намерете дължината на хордата \(AB\).
б) Намерете мярката на централния ъгъл \(\angle AOB\).
а) Тъй като допирателните отсечки от външна точка са равни, \(MA = MB = \frac{18}{2} = 9\text{ cm}\). В \(\triangle AMB\) имаме \(MA = MB\) и \(\angle AMB = 60^\circ\), следователно триъгълникът е равностранен и \(AB = MA = 9\text{ cm}\).
б) Четириъгълникът \(OAMB\) има прави ъгли при върховете \(A\) и \(B\) (\(OA \perp MA\), \(OB \perp MB\)). Сборът на ъглите в четириъгълника е \(360^\circ\): \[ \angle AOB = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] Отговор: а) \(AB = 9\text{ cm}\); б) \(\angle AOB = 120^\circ\).
б) Четириъгълникът \(OAMB\) има прави ъгли при върховете \(A\) и \(B\) (\(OA \perp MA\), \(OB \perp MB\)). Сборът на ъглите в четириъгълника е \(360^\circ\): \[ \angle AOB = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] Отговор: а) \(AB = 9\text{ cm}\); б) \(\angle AOB = 120^\circ\).
Задача 3 (Средна): Хорда \(AB\) в окръжност дели окръжността на две дъги с мерки в отношение \(1 : 5\).
а) Намерете мярката на по-малката дъга \(AB\) и съответния ѝ централен ъгъл.
б) Ако през точките \(A\) и \(B\) са построени допирателни към окръжността, пресичащи се в точка \(M\), намерете острия ъгъл между хордата \(AB\) и всяка от допирателните, както и \(\angle AMB\).
а) Намерете мярката на по-малката дъга \(AB\) и съответния ѝ централен ъгъл.
б) Ако през точките \(A\) и \(B\) са построени допирателни към окръжността, пресичащи се в точка \(M\), намерете острия ъгъл между хордата \(AB\) и всяка от допирателните, както и \(\angle AMB\).
а) Сборът на мерките на двете дъги е \(360^\circ\):
\[ 1x + 5x = 360^\circ \implies 6x = 360^\circ \implies x = 60^\circ \]
По-малката дъга \(\widehat{AB} = 60^\circ\), откъдето централният ъгъл \(\angle AOB = 60^\circ\).
б) Триъгълникът \(\triangle AOB\) е равнобедрен (\(OA = OB = r\)) с ъгъл при върха \(60^\circ\), следователно е равностранен: \(\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ\).
Допирателната \(MA \perp OA\), следователно \(\angle MAB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Аналогично \(\angle MBA = 30^\circ\).
В \(\triangle AMB\): \(\angle AMB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ\).
Отговор: а) \(\widehat{AB} = 60^\circ\), \(\angle AOB = 60^\circ\); б) ъгъл между хордата и допирателните: \(30^\circ\); \(\angle AMB = 120^\circ\).
б) Триъгълникът \(\triangle AOB\) е равнобедрен (\(OA = OB = r\)) с ъгъл при върха \(60^\circ\), следователно е равностранен: \(\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ\).
Допирателната \(MA \perp OA\), следователно \(\angle MAB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Аналогично \(\angle MBA = 30^\circ\).
В \(\triangle AMB\): \(\angle AMB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ\).
Отговор: а) \(\widehat{AB} = 60^\circ\), \(\angle AOB = 60^\circ\); б) ъгъл между хордата и допирателните: \(30^\circ\); \(\angle AMB = 120^\circ\).
Задача 4 (Трудна): През външна точка \(M\) към окръжност са построени две допирателни \(MT_1\) и \(MT_2\) с дължина по \(14\text{ cm}\). Върху по-малката дъга \(\widehat{T_1 T_2}\) е избрана точка \(P\), през която е построена трета допирателна, пресичаща отсечките \(MT_1\) и \(MT_2\) съответно в точките \(C\) и \(D\). Намерете периметъра на триъгълника \(\triangle MCD\).
Периметърът на \(\triangle MCD\) е равен на:
\[ P_{\triangle MCD} = MC + CD + MD = MC + (CP + PD) + MD \]
От свойството на равните допирателни отсечки от външна точка към окръжност имаме:
\[ CP = CT_1 \quad \text{и} \quad PD = DT_2 \]
Заместваме в израза за периметъра:
\[ P_{\triangle MCD} = MC + CT_1 + DT_2 + MD = (MC + CT_1) + (MD + DT_2) = MT_1 + MT_2 \]
Тъй като \(MT_1 = MT_2 = 14\text{ cm}\):
\[ P_{\triangle MCD} = 14 + 14 = 28\text{ cm} \]
Отговор: \(P_{\triangle MCD} = 28\text{ cm}\).
