Най-важното от урока
Вектор: Насочена отсечка с дължина и посока. Равенство на вектори означава равни модули и съвпадащи посоки.
Действия с вектори:
Действия с вектори:
- Събиране: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) (триъгълник) или диагонал на успоредник при общо начало.
- Изваждане: \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\).
- Умножение с число: \(|k\vec{u}| = |k||\vec{u}|\); еднопосочни при \(k > 0\), противоположни при \(k < 0\). Условие за колинеарност: \(\vec{v} = k\vec{u}\).
- Среда на отсечка: \(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\).
- Медицентър: дели медианите в отношение \(2:1\) и \(\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).
- В триъгълник: \(MN \parallel AB\) и \(MN = \frac{1}{2}AB\).
- В трапец: \(MN \parallel AB \parallel CD\) и \(m = \frac{a+b}{2}\). Отсечката между средите на диагоналите е \(PQ = \frac{a-b}{2}\).
Насочена отсечка е отсечка, на която единият край е приет за първи (начало), а другият – за втори (край). Означава се с \(\vec{AB}\), където \(A\) е началото, а \(B\) – краят.
Вектор: Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка \(\vec{AB}\). Означава се с малка буква със стрелка (напр. \(\vec{a}\)) или чрез своя представител \(\vec{AB}\).
\[ |\vec{AB}| = AB \quad \text{(дължина или модул на вектора)} \]
\[ |\vec{0}| = 0 \quad \text{(нулев вектор } \vec{AA} = \vec{0} \text{ с дължина 0 и неопределена посока)} \]
Видове взаимно разположение на вектори:
- Колинеарни: лежат на една права или на успоредни прави. Биват еднопосочни (\(\uparrow\uparrow\)) или противопосочни (\(\downarrow\uparrow\)).
- Неколинеарни (разнопосочни): не лежат на една права или на успоредни прави.
- Равни вектори (\(\vec{a} = \vec{b}\)): имат равни дължини и еднакви посоки.
- Противоположни вектори (\(\vec{a} = -\vec{b}\)): имат равни дължини и противоположни посоки (\(\vec{AB} = -\vec{BA}\)).
Даден е успоредник \(ABCD\). Кои вектори с върхове по страните му са равни на \(\vec{AB}\) и кои са противоположни на него?
Тъй като срещуположните страни в успоредника са равни и успоредни:
- Равен на \(\vec{AB}\) е векторът \(\vec{DC}\) (еднаква посока и дължина).
- Противоположни на \(\vec{AB}\) са \(\vec{BA}\) и \(\vec{CD}\) (противоположна посока, еднаква дължина).
1. Правило на триъгълника: Краят на първия вектор е начало на втория. Векторът, съединяващ началото на първия с края на втория, е техният сбор:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
2. Правило на успоредника: Векторите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) се нанасят с общо начало \(A\) (\(\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}\)). Сборът \(\vec{a} + \vec{b}\) е диагоналът \(\vec{AC}\) на построения успоредник \(ABCD\).
Свойства на събирането:
\[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \quad \text{(комутативност)} \]
\[ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \quad \text{(асоциативност)} \]
\[ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}, \quad \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \]
Разликата на два вектора се дефинира като събиране с противоположния:
\[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]
Практическо правило за вектори с общо начало:
\[ \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA} \]
Опростете векторния израз: \(\vec{AP} - \vec{QP} + \vec{MQ} - \vec{MN}\).
Преобразуваме изваждането в събиране:
\[ \vec{AP} - \vec{QP} = \vec{AP} + \vec{PQ} = \vec{AQ} \]
\[ \vec{AQ} + \vec{MQ} - \vec{MN} = \vec{AQ} - \vec{MQ} - \vec{MN} \]
Използваме \(\vec{AQ} - \vec{MQ} = \vec{AQ} + \vec{QM} = \vec{AM}\):
\[ \vec{AM} - \vec{MN} = \vec{AM} + \vec{NM} \]
Ако приложим правилото за общо начало: \(\vec{AM} - \vec{MN}\), алтернативно от първоначалния израз:
\[ \vec{AP} + \vec{PQ} + \vec{QM} - \vec{MN} = \vec{AM} + \vec{NM} \]
Произведение на вектор \(\vec{u}\) с число \(k\) е вектор \(k\vec{u}\), за който:
- Дължината е \(|k\vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}|\);
- Посоката съвпада с тази на \(\vec{u}\), ако \(k > 0\);
- Посоката е противоположна на \(\vec{u}\), ако \(k < 0\);
- Ако \(k = 0\) или \(\vec{u} = \vec{0}\), резултатът е нулевият вектор: \(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\).
Условие за колинеарност:
Два вектора \(\vec{u} \neq \vec{0}\) и \(\vec{v}\) са колинеарни тогава и само тогава, когато съществува число \(k\), такова че:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
Принадлежност към права: Точката \(C\) лежи на правата \(AB\) тогава и само тогава, когато \(\vec{AC} = k\vec{AB}\).
Основни свойства:
\[ (k + m)\vec{u} = k\vec{u} + m\vec{u} \]
\[ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} \]
\[ k(m\vec{u}) = (km)\vec{u} \]
Даден е вектор \(\vec{a}\) с дължина 6 cm. Намерете дължината и посоката на вектора \(\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a}\).
1. Дължина: \(|\vec{b}| = \left|-\frac{2}{3}\right| \cdot |\vec{a}| = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\text{ cm}\).
2. Посока: Тъй като \(k = -\frac{2}{3} < 0\), векторът \(\vec{b}\) е противоположнопосочен на \(\vec{a}\) (\(\vec{b} \downarrow\uparrow \vec{a}\)).
2. Посока: Тъй като \(k = -\frac{2}{3} < 0\), векторът \(\vec{b}\) е противоположнопосочен на \(\vec{a}\) (\(\vec{b} \downarrow\uparrow \vec{a}\)).
Вектор на среда на отсечка:
Точка \(M\) е среда на отсечката \(AB\) тогава и само тогава, когато за всяка произволна точка \(O\) е изпълнено:
\[ \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) \]
Медицентър на триъгълник (\(G\)):
Медианите на триъгълника се пресичат в една обща точка \(G\) (наречена медицентър или център на тежестта), която дели всяка медиана в отношение \(2:1\), считано от съответния връх:
\[ \frac{AG}{GA_1} = \frac{BG}{GB_1} = \frac{CG}{GC_1} = \frac{2}{1} \]
Радиус-вектор на медицентъра:
\[ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) \]
Свойства на лицата при медицентър:
Медицентърът разделя триъгълника на три равнолицеви триъгълника:
\[ S_{\triangle ABG} = S_{\triangle BCG} = S_{\triangle CAG} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \]
Разстоянието от медицентъра до произволна страна е \(\frac{1}{3}\) от височината към тази страна: \(h_g = \frac{1}{3}h\).
В правоъгълен \(\triangle ABC\) с хипотенуза \(AB = 24\text{ cm}\), точка \(G\) е медицентър. Намерете дължината на отсечката \(CG\).
Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от нея:
\[ CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\text{ cm} \]
Медицентърът дели медианата в отношение \(2:1\), считано от върха:
\[ CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\text{ cm} \]
Средна отсечка в триъгълник е отсечка, свързваща средите на две от страните му. Всеки триъгълник има 3 средни отсечки.
Свойство на средната отсечка:
Средната отсечка в триъгълник е успоредна на третата страна и е равна на половината от дължината ѝ:
\[ MN \parallel AB \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2}AB \]
Във векторна форма: \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}\).
Обратна теорема:
Ако права минава през средата на една страна на триъгълник и е успоредна на втора страна, тя разполовява третата страна.
Периметър на триъгълника от средите:
Ако върховете на \(\triangle A_1B_1C_1\) са средите на страните на \(\triangle ABC\):
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} P_{\triangle ABC} \]
Страните на триъгълник са 8 cm, 13 cm и 15 cm. Намерете периметъра на триъгълника, чиито върхове са средите на тези страни.
Периметърът на дадения триъгълник е \(P = 8 + 13 + 15 = 36\text{ cm}\).
Периметърът на триъгълника, образуван от средните отсечки, е равен на половината от първоначалния периметър: \[ P' = \frac{1}{2}P = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\text{ cm} \]
Периметърът на триъгълника, образуван от средните отсечки, е равен на половината от първоначалния периметър: \[ P' = \frac{1}{2}P = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\text{ cm} \]
Трапец е четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни (\(AB \parallel CD\)). Успоредните страни се наричат основи (\(a\) и \(b\)), а неуспоредните – бедра (\(c\) и \(d\)).
Основни свойства:
- Сборът на прилежащите ъгли към всяко бедро е \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle D = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ \]
- Височините, спуснати от малката основа към голямата, са равни: \(h = DD_1 = CC_1\).
- Лице: \(S = \frac{a+b}{2}h\); Периметър: \(P = a + b + c + d\).
Равнобедрен трапец: Трапец, чиито бедра са равни (\(c = d\)).
Теорема-признак и свойство:
Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато ъглите при основата му са равни (\(\angle A = \angle B\)).
В равнобедрен трапец \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) един от ъглите е \(70^\circ\). Намерете останалите три ъгъла.
Тъй като трапецът е равнобедрен, ъглите при голямата основа са равни:
\[ \angle A = \angle B = 70^\circ \]
От свойството на прилежащите ъгли:
\[ \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
\[ \angle C = 180^\circ - \angle B = 110^\circ \]
Средна отсечка на трапец се нарича отсечката, свързваща средите на бедрата му.
Свойство на средната отсечка:
Средната отсечка на трапеца е успоредна на основите му и е равна на тяхната полусума:
\[ MN \parallel AB \parallel CD \quad \text{и} \quad MN = \frac{a+b}{2} \]
Обратна теорема:
Права, която минава през средата на едно от бедрата и е успоредна на основите, разполовява другото бедро.
- Точките \(P\) и \(Q\) са среди съответно на диагоналите \(AC\) и \(BD\).
- \(MP = QN = \frac{b}{2}\) (където \(b\) е малката основа).
- Отсечката между средите на диагоналите е равна на полуразликата на основите: \[ PQ = \frac{a - b}{2} \]
Основите на трапец са \(a = 14\text{ cm}\) и \(b = 6\text{ cm}\). Намерете дължината на средната отсечка и дължината на частта от нея, заключена между диагоналите.
1. Средна отсечка: \(MN = \frac{a+b}{2} = \frac{14+6}{2} = 10\text{ cm}\).
2. Част между диагоналите: \(PQ = \frac{a-b}{2} = \frac{14-6}{2} = 4\text{ cm}\).
2. Част между диагоналите: \(PQ = \frac{a-b}{2} = \frac{14-6}{2} = 4\text{ cm}\).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): В трапец дължината на средната отсечка е \(8\text{ cm}\), а едната от основите е \(5\text{ cm}\). Намерете дължината на другата основа.
Прилагаме формулата за средна отсечка:
\[ m = \frac{a+b}{2} \implies 8 = \frac{a+5}{2} \]
\[ a + 5 = 16 \implies a = 11\text{ cm} \]
Отговор: Другата основа е \(11\text{ cm}\).
Задача 2 (Средна): Точките \(M\) и \(N\) са среди съответно на страните \(AC\) и \(BC\) в \(\triangle ABC\). Ако периметърът на \(\triangle MNC\) е \(15\text{ cm}\), намерете периметъра на \(\triangle ABC\).
Тъй като \(M\) и \(N\) са среди, страните на \(\triangle MNC\) са равни на половината от страните на \(\triangle ABC\):
\[ MC = \frac{1}{2}AC, \quad NC = \frac{1}{2}BC, \quad MN = \frac{1}{2}AB \]
Следователно периметърът на \(\triangle MNC\) е:
\[ P_{\triangle MNC} = \frac{1}{2}(AC + BC + AB) = \frac{1}{2}P_{\triangle ABC} \]
\[ 15 = \frac{1}{2}P_{\triangle ABC} \implies P_{\triangle ABC} = 30\text{ cm} \]
Отговор: Периметърът на \(\triangle ABC\) е \(30\text{ cm}\).
Задача 3 (Средна): В трапец \(ABCD\) със средна отсечка \(MN = 12\text{ cm}\), диагоналите пресичат \(MN\) в точки \(P\) и \(Q\). Ако \(PQ = 4\text{ cm}\), намерете дължините на основите на трапеца.
Нека голямата основа е \(a\), а малката – \(b\). Използваме зависимостите:
\[ \frac{a+b}{2} = 12 \implies a + b = 24 \]
\[ \frac{a-b}{2} = 4 \implies a - b = 8 \]
Събираме двете уравнения почленно:
\[ 2a = 32 \implies a = 16\text{ cm} \]
Заместваме в първото:
\[ 16 + b = 24 \implies b = 8\text{ cm} \]
Отговор: Основите са \(16\text{ cm}\) и \(8\text{ cm}\).
Задача 4 (Трудна): В \(\triangle ABC\) точка \(G\) е медицентър, а \(CD\) е височина (\(CD = 18\text{ cm}\)). Лицето на \(\triangle ABC\) е \(72\text{ cm}^2\). Намерете:
а) Разстоянието от медицентъра \(G\) до страната \(AB\);
б) Дължината на страната \(AB\);
в) Лицето на \(\triangle ABG\).
а) Разстоянието от медицентъра \(G\) до страната \(AB\) е \(h_g = \frac{1}{3}CD\):
\[ h_g = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6\text{ cm} \]
б) От формулата за лице на \(\triangle ABC\):
\[ S = \frac{AB \cdot CD}{2} \implies 72 = \frac{AB \cdot 18}{2} = 9 \cdot AB \implies AB = 8\text{ cm} \]
в) Медицентърът разделя триъгълника на три триъгълника с равни лица:
\[ S_{\triangle ABG} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \cdot 72 = 24\text{ cm}^2 \]
(Проверка: \(S_{\triangle ABG} = \frac{AB \cdot h_g}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24\text{ cm}^2\)).
Отговор: а) \(6\text{ cm}\); б) \(8\text{ cm}\); в) \(24\text{ cm}^2\).
Отговор: а) \(6\text{ cm}\); б) \(8\text{ cm}\); в) \(24\text{ cm}^2\).
