Най-важното от урока
Едно решение: Правите се пресичат. Пример: \(y=x+1\) и \(y=-x+3\).
Няма решение: Правите са успоредни (еднакъв наклон, различен свободен член). Пример: \(y=2x+1\) и \(y=2x+5\).
Безброй решения: Правите съвпадат (уравненията са еквивалентни). Пример: \(x+y=2\) и \(2x+2y=4\).
Няма решение: Правите са успоредни (еднакъв наклон, различен свободен член). Пример: \(y=2x+1\) и \(y=2x+5\).
Безброй решения: Правите съвпадат (уравненията са еквивалентни). Пример: \(x+y=2\) и \(2x+2y=4\).
Графичното решаване на система от две линейни уравнения с две неизвестни се състои в построяване на графиките на двете уравнения в една координатна система. Решението на системата е пресечната точка на двете прави.
Преобразувайте всяко уравнение във вида \( y = kx + b \).
За всяко уравнение намерете координатите на две точки, като съставите таблица.
Начертайте двете прави в една координатна система.
Определете координатите на пресечната им точка. Те са решението на системата.
Да решим системата:
\[
\begin{cases}
x+y = 6 \\
x-y = 2
\end{cases}
\]
1. Преобразуваме: \( y = 6-x \) и \( y = x-2 \).
2. Чертаем графиките.
3. Пресечната точка е М(4; 2). Решението е \( x=4, y=2 \).
2. Чертаем графиките.
Коя е първата стъпка при графично решаване на системата
\[
\begin{cases}
2x+y = 5 \\
y-x = 2
\end{cases}
\]
Отговор: Да изразим \(y\) от всяко уравнение: \(y = 5 - 2x\) и \(y = x + 2\).
Когато графиките на двете уравнения са прави, които се пресичат в една точка, системата има едно единствено решение. Такава система се нарича съвместима и определена.
Системата
\[
\begin{cases}
x+y = -1 \\
2x-y = -8
\end{cases}
\]
се състои от уравненията на две прави \(y = -x-1\) и \(y = 2x+8\), които се пресичат в точка M(-3; 2).
Следователно системата има едно решение: \(x=-3, y=2\).
Намерете графично решението на системата:
\[
\begin{cases}
y = x \\
y = -x + 4
\end{cases}
\]
Двете прави се пресичат в точка (2; 2).
Отговор: \(x=2, y=2\).
Отговор: \(x=2, y=2\).
Когато графиките на двете уравнения са успоредни прави, те нямат обща точка. Тогава системата няма решение. Такава система се нарича несъвместима.
Две прави са успоредни, когато в уравненията им \(y=kx+b\) коефициентът \(k\) (ъгловият коефициент) е еднакъв.
Да разгледаме системата:
\[
\begin{cases}
x+2y = 3 \\
y + \frac{x}{2} = 0
\end{cases}
\]
Като изразим \(y\), получаваме: \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) и \(y = -\frac{1}{2}x\).
Ъгловите коефициенти са равни (\(k = -\frac{1}{2}\)), следователно правите са успоредни и системата няма решение.
Има ли решение системата
\[
\begin{cases}
y = 3x + 5 \\
y = 3x - 1
\end{cases}
\]
Отговор: Не, защото правите са успоредни (имат еднакъв ъглов коефициент \(k=3\) и различен свободен член).
Когато графиките на двете уравнения съвпадат, те имат безброй много общи точки. Тогава системата има безброй много решения. Такава система се нарича съвместима и неопределена.
Това се случва, когато двете уравнения са еквивалентни (едното може да се получи от другото чрез умножение или деление с число).
Да разгледаме системата:
\[
\begin{cases}
x - y = 3 \\
2x - 2y = 6
\end{cases}
\]
Като разделим второто уравнение на 2, получаваме \(x-y=3\), което е същото като първото уравнение. Графиките им съвпадат.
Всяка точка от правата \(y=x-3\) е решение.
Колко решения има системата
\[
\begin{cases}
x+y=1 \\
3x+3y=3
\end{cases}
\]
Отговор: Безброй много. Ако разделим второто уравнение на 3, ще получим първото. Правите съвпадат.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете графично системата:
\[
\begin{cases}
y = 2x \\
y = 4
\end{cases}
\]
Графиката на \(y=4\) е хоризонтална права. Графиката на \(y=2x\) минава през (0;0) и (1;2).
Пресечната им точка е (2; 4).
Отговор: \(x=2, y=4\).
Отговор: \(x=2, y=4\).
Средна: Решете графично системата:
\[
\begin{cases}
x+y = 5 \\
2x-y = 1
\end{cases}
\]
1. Преобразуваме уравненията: \(y = 5-x\) и \(y = 2x-1\).
2. За \(y=5-x\) избираме точки (0; 5) и (5; 0).
3. За \(y=2x-1\) избираме точки (0; -1) и (1; 1).
4. Чертаем правите и намираме пресечната им точка (2; 3).
Отговор: \(x=2, y=3\).
2. За \(y=5-x\) избираме точки (0; 5) и (5; 0).
3. За \(y=2x-1\) избираме точки (0; -1) и (1; 1).
4. Чертаем правите и намираме пресечната им точка (2; 3).
Отговор: \(x=2, y=3\).
Трудна: Без да чертаете, определете броя на решенията на системата:
\[
\begin{cases}
4x - 2y = 6 \\
y = 2x - 3
\end{cases}
\]
Обосновете отговора си.
Преобразуваме първото уравнение, за да изразим \(y\):
\(4x - 6 = 2y\)
\(y = \frac{4x-6}{2}\)
\(y = 2x - 3\)
Полученото уравнение е идентично с второто уравнение от системата. Това означава, че графиките им са съвпадащи прави.
Отговор: Системата има безброй много решения.
\(4x - 6 = 2y\)
\(y = \frac{4x-6}{2}\)
\(y = 2x - 3\)
Полученото уравнение е идентично с второто уравнение от системата. Това означава, че графиките им са съвпадащи прави.
Отговор: Системата има безброй много решения.
