Най-важното от урока
Пропорционални отсечки: Четири отсечки са пропорционални, ако отношението на дължините на първите две е равно на отношението на вторите две: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \). (Дължините трябва да са в една и съща мерна единица!)
Свойство на сбора: Ако \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), то \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} \).
Средногеометрична: Отсечката \(b\) е средногеометрична на \(a\) и \(c\), ако \(b^2 = a \cdot c\).
Разделяне на отсечка: Ако отсечка AB е разделена на части AM и MB в отношение m:n, можем да означим AM = mx, MB = nx и да използваме \(AB = (m+n)x\).
Свойство на сбора: Ако \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), то \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} \).
Средногеометрична: Отсечката \(b\) е средногеометрична на \(a\) и \(c\), ако \(b^2 = a \cdot c\).
Разделяне на отсечка: Ако отсечка AB е разделена на части AM и MB в отношение m:n, можем да означим AM = mx, MB = nx и да използваме \(AB = (m+n)x\).
Отношение на отсечки се нарича отношението на техните дължини, измерени с една и съща мерна единица.
Четири отсечки a, b, c, d се наричат пропорционални, ако отношението на първите две е равно на отношението на вторите две.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]
Това равенство се нарича пропорция.
Дадени са отсечки с дължини \(a = 4\) cm, \(b = 6\) cm, \(c = 10\) cm, \(d = 15\) cm.
Те са пропорционални, защото:
\[ \frac{a}{b} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad \frac{c}{d} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]
Следователно \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).
Проверете дали отсечки с дължини 2 cm, 5 cm, 6 cm и 15 cm са пропорционални.
Проверяваме дали \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \).
Тъй като \( \frac{6}{15} \) може да се съкрати на 3 до \( \frac{2}{5} \), равенството е вярно.
Отговор: Да, отсечките са пропорционални.
Тъй като \( \frac{6}{15} \) може да се съкрати на 3 до \( \frac{2}{5} \), равенството е вярно.
Отговор: Да, отсечките са пропорционални.
Ако четири отсечки са пропорционални, то сборът (или разликата) на първата и третата се отнася към сбора (или разликата) на втората и четвъртата така, както първата към втората.
Ако \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), то:
Ако \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), то:
- \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} \)
- \( \frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b} \) (при \(b \neq d\))
Ако \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2}{5} \), то според свойството \( \frac{a+c}{b+d} \) също ще бъде равно на \( \frac{2}{5} \).
Дадено е, че отсечките \(a, b, c, d\) са пропорционални и \( \frac{a}{b} = \frac{3}{7} \). На колко е равно отношението \( \frac{a+c}{b+d} \)?
Според свойството на пропорционалните отсечки, \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} \).
Отговор: \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{3}{7} \).
Отговор: \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{3}{7} \).
Отсечката \(b\) се нарича средногеометрична (или среднопропорционална) на отсечките \(a\) и \(c\), ако \(b\) е среден член в пропорцията.
\[ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \quad \text{или} \quad b^2 = a \cdot c \]
Намерете дължината на средногеометричната отсечка на отсечки с дължини 8 cm и 2 cm.
Нека търсената дължина е \(x\). Тогава: \[ x^2 = 8 \cdot 2 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = 4 \text{ cm} \]
Нека търсената дължина е \(x\). Тогава: \[ x^2 = 8 \cdot 2 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = 4 \text{ cm} \]
Намерете средногеометричната на отсечки с дължини 4 cm и 9 cm.
Нека дължината е \(x\).
\[ x^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]
\[ x = 6 \text{ cm} \]
Отсечките \( a_1, a_2, \dots, a_n \) са пропорционални на отсечките \( b_1, b_2, \dots, b_n \), ако е изпълнено:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} \]
Тогава е в сила и свойството:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n} \]
Точките M и N са върху отсечката AB = 45 cm. Намерете AM, MN, NB, ако AM : MN : NB = 4 : 3 : 2.
Означаваме AM = 4x, MN = 3x, NB = 2x.
AB = AM + MN + NB = 4x + 3x + 2x = 9x.
45 = 9x \(\implies\) x = 5.
AM = 4 \(\cdot\) 5 = 20 cm, MN = 3 \(\cdot\) 5 = 15 cm, NB = 2 \(\cdot\) 5 = 10 cm.
Означаваме AM = 4x, MN = 3x, NB = 2x.
AB = AM + MN + NB = 4x + 3x + 2x = 9x.
45 = 9x \(\implies\) x = 5.
AM = 4 \(\cdot\) 5 = 20 cm, MN = 3 \(\cdot\) 5 = 15 cm, NB = 2 \(\cdot\) 5 = 10 cm.
Отсечка с дължина 28 cm е разделена на две части в отношение 3:4. Намерете дължината на по-голямата част.
Нека частите са 3x и 4x.
\[ 3x + 4x = 28 \]
\[ 7x = 28 \implies x=4 \]
Частите са \(3 \cdot 4 = 12\) cm и \(4 \cdot 4 = 16\) cm.
Отговор: По-голямата част е 16 cm.
Отговор: По-голямата част е 16 cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Отсечки с дължини 3 cm, 5 cm и 6 cm са първите три члена на пропорция. Намерете дължината на четвъртата пропорционална отсечка.
Нека четвъртата отсечка е \(x\). Пропорцията е \( \frac{3}{5} = \frac{6}{x} \).
\[ 3 \cdot x = 5 \cdot 6 \]
\[ 3x = 30 \]
\[ x = 10 \text{ cm} \]
Средна: Отсечките AB = 6 cm и CD = 8 cm са пропорционални на отсечките \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\). Ако \(A_1B_1 = 0.9\) dm, намерете дължината на \(C_1D_1\) в сантиметри.
Първо, уеднаквяваме мерните единици: \(A_1B_1 = 0.9\) dm = 9 cm.
Нека \(C_1D_1 = x\). От пропорцията \( \frac{AB}{CD} = \frac{A_1B_1}{C_1D_1} \) получаваме: \[ \frac{6}{8} = \frac{9}{x} \] \[ 6x = 8 \cdot 9 \] \[ 6x = 72 \] \[ x = 12 \text{ cm} \]
Нека \(C_1D_1 = x\). От пропорцията \( \frac{AB}{CD} = \frac{A_1B_1}{C_1D_1} \) получаваме: \[ \frac{6}{8} = \frac{9}{x} \] \[ 6x = 8 \cdot 9 \] \[ 6x = 72 \] \[ x = 12 \text{ cm} \]
Трудна: Точките C и D разделят отсечка AB на три части AC, CD и DB, чиито дължини се отнасят както 2:5:3. Ако най-малката част е 6 cm, намерете дължината на цялата отсечка AB.
Нека дължините са AC = 2x, CD = 5x и DB = 3x.
Най-малката част е AC = 2x. По условие AC = 6 cm. \[ 2x = 6 \implies x=3 \] Дължината на цялата отсечка е AB = AC + CD + DB = 2x + 5x + 3x = 10x. \[ AB = 10 \cdot 3 = 30 \text{ cm} \]
Най-малката част е AC = 2x. По условие AC = 6 cm. \[ 2x = 6 \implies x=3 \] Дължината на цялата отсечка е AB = AC + CD + DB = 2x + 5x + 3x = 10x. \[ AB = 10 \cdot 3 = 30 \text{ cm} \]
