Най-важното от урока
Теорема на Талес: Ако две прави са пресечени от успоредни помежду си прави, получените отсечки са пропорционални.
Ако \(AB || A_1B_1\), то \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \).
Обратна теорема: Ако отсечките са пропорционални, то правите са успоредни.
Ако \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \), то \(AB || A_1B_1\).
Следствия: Теоремата може да се прилага и за части от раменете, например \( \frac{OA}{AA_1} = \frac{OB}{BB_1} \).
Ако \(AB || A_1B_1\), то \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \).
Обратна теорема: Ако отсечките са пропорционални, то правите са успоредни.
Ако \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \), то \(AB || A_1B_1\).
Следствия: Теоремата може да се прилага и за части от раменете, например \( \frac{OA}{AA_1} = \frac{OB}{BB_1} \).
Ако две пресичащи се в точка \(O\) прави са пресечени от две успоредни прави \(AB\) и \(A_1B_1\), то получените отсечки върху пресичащите се прави са пропорционални.
\[ \text{Ако } AB || A_1B_1, \text{ то } \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \]
На чертежа е дадено, че \(AB || A_1B_1\). Ако \(OA = 4\) cm, \(OA_1 = 10\) cm и \(OB = 6\) cm, то можем да намерим \(OB_1\):
\[ \frac{4}{10} = \frac{6}{OB_1} \implies 4 \cdot OB_1 = 10 \cdot 6 \implies 4 \cdot OB_1 = 60 \implies OB_1 = 15 \text{ cm} \]
Дадено е, че \(MN || PQ\). Намерете \(x = OQ\), ако \(OM=5\), \(MP=3\) и \(ON=10\).
От чертежа \(OP = OM + MP = 5 + 3 = 8\).
Прилагаме теоремата на Талес: \[ \frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ} \implies \frac{5}{8} = \frac{10}{x} \] \[ 5x = 8 \cdot 10 \implies 5x = 80 \implies x = 16 \]
Прилагаме теоремата на Талес: \[ \frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ} \implies \frac{5}{8} = \frac{10}{x} \] \[ 5x = 8 \cdot 10 \implies 5x = 80 \implies x = 16 \]
Ако върху две пресичащи се в точка \(O\) прави са взети точки \(A, A_1\) и \(B, B_1\) така, че да е изпълнено равенството на отношенията \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} \), то правите \(AB\) и \(A_1B_1\) са успоредни.
\[ \text{Ако } \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1}, \text{ то } AB || A_1B_1 \]
Дадени са точките \(A, A_1\) и \(B, B_1\) върху раменете на ъгъл с връх \(O\). Проверяваме дали \(AB || A_1B_1\), ако \(OA=3\), \(OA_1=9\), \(OB=4\) и \(OB_1=12\).
Изчисляваме отношенията: \[ \frac{OA}{OA_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OB}{OB_1} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Тъй като отношенията са равни, следва че \(AB || A_1B_1\).
Изчисляваме отношенията: \[ \frac{OA}{OA_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OB}{OB_1} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Тъй като отношенията са равни, следва че \(AB || A_1B_1\).
Върху раменете на \(\angle pOq\) са взети точките \(M, N\) по лъча \(p\) и \(P, Q\) по лъча \(q\). Успоредни ли са правите \(MP\) и \(NQ\), ако \(OM=6\), \(ON=8\), \(OP=9\) и \(OQ=12\)?
Проверяваме равенството от обратната теорема:
\[ \frac{OM}{ON} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
\[ \frac{OP}{OQ} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
Тъй като \( \frac{OM}{ON} = \frac{OP}{OQ} \), следва че \(MP || NQ\).
Ако \(AB || A_1B_1\), освен основната пропорция, са в сила и други пропорции, които свързват отсечките между успоредните прави.
Следствие 1: \[ \frac{OA}{AA_1} = \frac{OB}{BB_1} \]
Следствие 2: \[ \frac{OA_1}{AA_1} = \frac{OB_1}{BB_1} \]
Ако \(AB || A_1B_1\), \(OA = 8\), \(AA_1 = 4\) и \(OB=10\), можем да намерим \(BB_1\):
\[ \frac{OA}{AA_1} = \frac{OB}{BB_1} \implies \frac{8}{4} = \frac{10}{BB_1} \implies 2 = \frac{10}{BB_1} \implies BB_1 = 5 \]
На чертежа \(MN || BC\). Ако \(AM = 12\), \(MB = 3\) и \(AN=16\), намерете \(NC\).
Прилагаме Следствие 1, където точка \(A\) играе ролята на \(O\):
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \implies \frac{12}{3} = \frac{16}{NC} \]
\[ 4 = \frac{16}{NC} \implies 4 \cdot NC = 16 \implies NC = 4 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Дадено е, че \(DE || BC\). Ако \(AD = 8\), \(DB = 4\) и \(AE = 10\), намерете \(EC\).
Прилагаме следствие от теоремата на Талес за \(\triangle ABC\) и правата \(DE\):
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \implies \frac{8}{4} = \frac{10}{EC} \]
\[ 2 = \frac{10}{EC} \implies EC = 5 \]
Средна: В трапец \(ABCD\) (\(AB || CD\)), бедрата \(AD\) и \(BC\) се пресичат в точка \(M\). Намерете \(BC\), ако \(MC = 5\) cm, \(AD = 12\) cm и \(MD = 6\) cm.
От \(CD || AB\) и теоремата на Талес за \(\angle AMB\) следва:
\[ \frac{MD}{MA} = \frac{MC}{MB} \]
Знаем, че \(MA = MD + DA = 6 + 12 = 18\) cm. Нека \(BC = x\), тогава \(MB = MC + CB = 5 + x\).
\[ \frac{6}{18} = \frac{5}{5+x} \implies \frac{1}{3} = \frac{5}{5+x} \]
\[ 1 \cdot (5+x) = 3 \cdot 5 \implies 5 + x = 15 \implies x = 10 \text{ cm} \]
Следователно \(BC = 10\) cm.
Трудна: В \(\triangle ABC\) точка \(M\) е от страната \(AB\), а точка \(N\) е от страната \(AC\). Проверете дали четириъгълникът \(MNCB\) е трапец, ако \(AM = 4\), \(AB = 12\), \(AC = 15\) и \(NC = 5\).
За да бъде \(MNCB\) трапец, трябва основите му \(MN\) и \(BC\) да са успоредни. Ще проверим това с обратната теорема на Талес.
Първо намираме дължините на съответните отсечки:
\(AN = AC - NC = 15 - 5 = 10\).
Сега проверяваме пропорцията: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Тъй като \( \frac{1}{3} \neq \frac{2}{3} \), равенството не е изпълнено. Следователно \(MN\) не е успоредна на \(BC\) и четириъгълникът \(MNCB\) не е трапец.
\(AN = AC - NC = 15 - 5 = 10\).
Сега проверяваме пропорцията: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Тъй като \( \frac{1}{3} \neq \frac{2}{3} \), равенството не е изпълнено. Следователно \(MN\) не е успоредна на \(BC\) и четириъгълникът \(MNCB\) не е трапец.
