Най-важното от урока
Питагорова теорема: Използва се при известни две страни за намиране на третата. \(a^2 + b^2 = c^2\). Пример: ако \(a=3, b=4 \Rightarrow c=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Тригонометрични функции: Използват се при известни страна и ъгъл.
Тригонометрични функции: Използват се при известни страна и ъгъл.
- \(\sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c}\)
- \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c}\)
- \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b}\)
Когато са известни хипотенузата и един от острите ъгли, другите елементи се намират чрез тригонометрични функции и свойството на ъглите в правоъгълен триъгълник.
\[ \beta = 90^\circ - \alpha \]
\[ a = c \cdot \sin \alpha \]
\[ b = c \cdot \cos \alpha \]
Ако \( c = 10 \) и \( \alpha = 45^\circ \), то:
\( \beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
\( a = 10 \cdot \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)
\( b = 10 \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)
\( \beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
\( a = 10 \cdot \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)
\( b = 10 \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)
В правоъгълен триъгълник са дадени \( c = 20 \) и \( \alpha = 30^\circ \). Намерете катета \(a\).
\( a = c \cdot \sin \alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \).
Когато са известни един катет и един от острите ъгли, другите елементи се намират чрез различни тригонометрични функции.
\[ \beta = 90^\circ - \alpha \]
\[ c = \frac{a}{\sin \alpha} \]
\[ b = \frac{a}{\operatorname{tg} \alpha} = a \cdot \operatorname{cotg} \alpha \]
Ако \( a = 9 \) и \( \alpha = 60^\circ \), то:
\( \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
\( c = \frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \)
\( b = 9 \cdot \operatorname{cotg} 60^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \)
\( \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
\( c = \frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \)
\( b = 9 \cdot \operatorname{cotg} 60^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \)
В правоъгълен триъгълник са дадени катет \( b = 7 \) и ъгъл \( \alpha = 45^\circ \). Намерете катета \(a\).
Тъй като \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \), то \( a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha = 7 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ = 7 \cdot 1 = 7 \).
Когато са известни двата катета, хипотенузата се намира с Питагорова теорема, а ъглите – чрез функцията тангенс.
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \]
\[ \beta = 90^\circ - \alpha \]
Ако \( a = 4 \) и \( b = 4\sqrt{3} \), то:
\( c = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \)
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha = 30^\circ \)
\( \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
\( c = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \)
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha = 30^\circ \)
\( \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
В правоъгълен триъгълник са дадени катети \( a = 5 \) и \( b = 12 \). Намерете хипотенузата \(c\).
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).
Когато са известни катет и хипотенуза, другият катет се намира с Питагорова теорема, а ъглите – чрез функцията синус.
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]
\[ \beta = 90^\circ - \alpha \]
Ако \( a = 3\sqrt{3} \) и \( c = 6 \), то:
\( b = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \)
\( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ \)
\( \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
\( b = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \)
\( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ \)
\( \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
В правоъгълен триъгълник са дадени хипотенуза \( c = 10 \) и катет \( a = 6 \). Намерете другия катет \(b\).
\( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \).
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен триъгълник с катети \(a=9\) и \(b=12\), намерете хипотенузата \(c\).
Прилагаме Питагорова теорема:
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\).
Отговор: \(c = 15\).
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\).
Отговор: \(c = 15\).
Средна: Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c=12\) и остър ъгъл \(\beta=60^\circ\). Намерете катетите \(a\) и \(b\).
Първо намираме другия ъгъл: \(\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Намираме катет \(a\) (срещу \(\alpha\)): \(a = c \cdot \sin \alpha = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).
Намираме катет \(b\) (срещу \(\beta\)): \(b = c \cdot \sin \beta = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).
Отговор: \(a=6\) и \(b=6\sqrt{3}\).
Намираме катет \(a\) (срещу \(\alpha\)): \(a = c \cdot \sin \alpha = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).
Намираме катет \(b\) (срещу \(\beta\)): \(b = c \cdot \sin \beta = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).
Отговор: \(a=6\) и \(b=6\sqrt{3}\).
Трудна: В правоъгълен триъгълник катетът \(b=5\sqrt{3}\), а прилежащият му остър ъгъл е \(\alpha=30^\circ\). Намерете другия катет \(a\) и хипотенузата \(c\).
Използваме тригонометрична функция, свързваща двата катета и ъгъл \(\alpha\):
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha = 5\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3} = 5\).
Използваме функция, свързваща катет \(b\), хипотенуза \(c\) и ъгъл \(\alpha\):
\(\cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{5\sqrt{3}}{\cos 30^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\).
Отговор: \(a=5\) и \(c=10\).
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha = 5\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3} = 5\).
Използваме функция, свързваща катет \(b\), хипотенуза \(c\) и ъгъл \(\alpha\):
\(\cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{5\sqrt{3}}{\cos 30^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\).
Отговор: \(a=5\) и \(c=10\).
