61. Обединение И Сечение На Числови Интервали

а) \([-3; 0]\) и \((-1; +\infty)\)

Стъпка 1: Изобразяване на числовата ос и нанасяне на крайните точки

Първо, чертаем една числова ос. След това нанасяме върху нея всички крайни точки от дадените интервали в нарастващ ред. В този случай точките са \(-3\), \(-1\) и \(0\).
Начертайте хоризонтална линия, представляваща числовата ос, простираща се отляво надясно. В десния край на линията поставете стрелка, показваща посоката на нарастване. Вдясно от стрелката поставете етикет \(+\infty\). Нанесете три точки върху числовата ос, маркирайки ги с малки, плътни кръгчета. Тези точки трябва да бъдат етикетирани съответно с \(-3\), \(-1\) и \(0\). Позиционирайте етикетите директно под съответните маркирани точки на оста, като спазвате реда отляво надясно и пропорционалното разстояние между тях.

Стъпка 2: Изобразяване на интервалите върху числовата ос

Сега ще изобразим всеки интервал поотделно върху числовата ос. За интервала \([-3; 0]\), който включва крайните си точки, ще използваме плътни точки в \(-3\) и \(0\), и ще начертаем отсечка между тях. За интервала \((-1; +\infty)\), който не включва крайната си точка, ще използваме празна точка в \(-1\) и ще начертаем лъч, започващ от \(-1\) и продължаващ надясно към \(+\infty\).
Изобразете интервала \([-3; 0]\) над числовата ос на ниво \(y=0.3\). На хоризонтална позиция \(-3\), поставете плътна точка (●) на ниво \(y=0.3\). Свържете точката \(-3\) от числовата ос с тази плътна точка чрез къса вертикална отсечка. На хоризонтална позиция \(0\), поставете плътна точка (●) на ниво \(y=0.3\). Свържете точка \(0\) от числовата ос с тази плътна точка чрез къса вертикална отсечка. Между тези две плътни точки начертайте дебела хоризонтална отсечка. Изобразете интервала \((-1; +\infty)\) под числовата ос на ниво \(y=-0.3\). На хоризонтална позиция \(-1\), поставете празна точка (○) на ниво \(y=-0.3\). Свържете точка \(-1\) от числовата ос с тази празна точка чрез четвърт-окръжност (дъга), която тръгва от числовата ос и завършва при празната точка, извита надясно и нагоре към числовата ос. От тази празна точка, начертайте дебел хоризонтален лъч, простиращ се надясно до края на числовата ос.

Стъпка 3: Намиране на сечението на интервалите

Сечението на два интервала е общата част, в която те се застъпват. Като погледнем графичното представяне, виждаме, че двата интервала се застъпват между \(-1\) и \(0\). Точката \(-1\) не принадлежи на втория интервал \((-1; +\infty)\), следователно тя няма да принадлежи и на сечението. Затова използваме кръгла скоба при \(-1\). Точката \(0\) принадлежи на първия интервал \([-3; 0]\), следователно тя ще принадлежи и на сечението. Затова използваме квадратна скоба при \(0\). Така сечението на интервалите е \((-1; 0]\).

б) \((-\infty; 2)\) и \([-5; 4]\)

Стъпка 1: Изобразяване на числовата ос и нанасяне на крайните точки

Чертаем числова ос и нанасяме върху нея крайните точки от дадените интервали в нарастващ ред. В този случай точките са \(-5\), \(2\) и \(4\).
Начертайте права хоризонтална линия, която представлява числовата ос. В левия край на линията поставете стандартна стрелка, обозначаваща символа \(-\infty\). Върху числовата ос нанесете три ясни точки, представени като малки, плътни кръгчета. Разположете тези точки в нарастващ ред отляво надясно, като ги отбележите съответно с математическите символи \(-5\), \(2\) и \(4\). Всеки надпис трябва да бъде позициониран директно под съответното кръгче върху числовата ос. Осигурете визуално адекватно и относително пропорционално разстояние между маркираните точки, без да е необходим строг мащаб.

Стъпка 2: Изобразяване на интервалите върху числовата ос

Изобразяваме всеки интервал. За интервала \((-\infty; 2)\) ще използваме празна точка в \(2\) и ще начертаем лъч, започващ от \(2\) и продължаващ наляво към \(-\infty\). За интервала \([-5; 4]\), който включва крайните си точки, ще използваме плътни точки в \(-5\) и \(4\), и ще начертаем отсечка между тях.
Над числовата ос, на определено вертикално разстояние, изобразете интервала \((-\infty; 2)\) със синя, дебела линия. Отбележете позицията на числото \(2\) с празно кръгче (○). От центъра на това кръгче начертайте хоризонтален лъч, простиращ се наляво към \(-\infty\), завършващ със стрелка. Свържете празното кръгче при \(2\) с точка \(2\) на числовата ос чрез син, дебел дъгов елемент, който се извива от кръгчето към числовата ос, символизирайки изключване на точката \(2\). Под числовата ос, на същото определено вертикално разстояние, изобразете интервала \([-5; 4]\) със синя, дебела линия. Отбележете позицията на числото \(-5\) с плътно кръгче (●) и позицията на числото \(4\) също с плътно кръгче (●). Свържете тези две плътни кръгчета с хоризонтална отсечка. От плътното кръгче при \(-5\) начертайте къса, синя, дебела вертикална отсечка надолу към точка \(-5\) на числовата ос, образуваща прав ъгъл при свързването, символизирайки включване на точката \(-5\). Аналогично, от плътното кръгче при \(4\) начертайте къса, синя, дебела вертикална отсечка надолу към точка \(4\) на числовата ос, образуваща прав ъгъл при свързването, символизирайки включване на точката \(4\).

Стъпка 3: Намиране на сечението на интервалите

Общата част на двата интервала е областта, в която те се припокриват. От графиката виждаме, че това е интервалът между \(-5\) и \(2\). Точката \(-5\) принадлежи на интервала \([-5; 4]\), така че тя ще принадлежи и на сечението. Използваме квадратна скоба. Точката \(2\) не принадлежи на интервала \((-\infty; 2)\), така че тя няма да принадлежи и на сечението. Използваме кръгла скоба. Следователно, сечението е \([-5; 2)\).

в) \((-\infty; -1]\) и \([-1; 6)\)

Стъпка 1: Изобразяване на числовата ос и нанасяне на крайните точки

Чертаем числова ос и нанасяме върху нея крайните точки. В този случай точките са \(-1\) и \(6\).
Начертайте дълга хоризонтална линия, представляваща числовата ос. В левия край на линията поставете стрелка, сочеща наляво и обозначаваща \(-\infty\). Десният край на линията да завършва без стрелка. Маркирайте две отчетливи точки върху числовата ос. Първата точка, отляво, да е \(-1\), а втората точка, отдясно, да е \(6\). Разположете точките пропорционално по оста. Етикетирайте всяка точка с нейната числова стойност, поставена директно под съответната точка.

Стъпка 2: Изобразяване на интервалите върху числовата ос

Изобразяваме всеки интервал. За интервала \((-\infty; -1]\) ще използваме плътна точка в \(-1\) и ще начертаем лъч, продължаващ наляво към \(-\infty\). За интервала \([-1; 6)\) ще използваме плътна точка в \(-1\) и празна точка в \(6\), и ще начертаем отсечка между тях.
Над числовата ос, на височина 0.3 единици, начертайте дебел син хоризонтален лъч. Лъчът започва от хоризонтална координата \(-1\) и се простира безкрайно наляво към \(-\infty\). При хоризонтална координата \(-1\), свържете лъча с числовата ос с къса дебела синя вертикална отсечка, завършваща с прав ъгъл при числовата ос, за да обозначите включването на \(-1\). Под числовата ос, на дълбочина 0.3 единици, начертайте дебела синя хоризонтална отсечка. Отсечката свързва хоризонталните координати \(-1\) и \(6\). При хоризонтална координата \(-1\), свържете отсечката с числовата ос с къса дебела синя вертикална отсечка, завършваща с прав ъгъл при числовата ос, за да обозначите включването на \(-1\). При хоризонтална координата \(6\), свържете отсечката с числовата ос с дебела синя дъга, за да обозначите изключването на \(6\).

Стъпка 3: Намиране на сечението на интервалите

Припокриването на тези два интервала е само в една точка - \(-1\). Точката \(-1\) принадлежи и на двата интервала (\((-\infty; -1]\) и \([-1; 6)\)). Следователно, сечението е \(\{-1\}\).

а) \([-3; 0]\) и \((-1; +\infty)\)

\[ [-3; 0] \cap (-1; +\infty) = (-1; 0] \]

б) \((-\infty; 2)\) и \([-5; 4]\)

\[ (-\infty; 2) \cap [-5; 4] = [-5; 2) \]

в) \((-\infty; -1]\) и \([-1; 6)\)

\[ (-\infty; -1] \cap [-1; 6) = \{-1\} \]