Най-важното от урока
Ключови изводи:
Методът на полагане е мощен инструмент за опростяване на системи уравнения.
Методът на полагане е мощен инструмент за опростяване на системи уравнения.
- Търси повтарящи се изрази: Ако забележиш израз като \((x+y)\) или \(\frac{x}{y}\) на няколко места, го замести с нова променлива \(u\).
- Реши за новата променлива: След полагането, ще получиш по-просто уравнение (често квадратно) само за \(u\). Намери неговите корени.
- Върни се към старите променливи: Всеки корен за \(u\) ще ти даде ново, по-просто уравнение за \(x\) и \(y\). Реши получените системи, за да намериш крайния отговор.
- Не забравяй ДС: Ако имаш дроби, провери дали решенията ти не водят до знаменател, равен на нула.
Ако в едно от уравненията на системата се повтаря един и същ израз, можем да го заместим с нова променлива (да го "положим"). Това опростява уравнението и често го свежда до квадратно уравнение спрямо новата променлива.
В системата
\[ \begin{cases} (x+y)^2 - 2(x+y) = 15 \\ xy = 6 \end{cases} \]
виждаме, че изразът \(x+y\) се повтаря. Полагаме \(u = x+y\).
Първото уравнение става \(u^2 - 2u = 15\), или \(u^2 - 2u - 15 = 0\). Неговите корени са \(u_1 = 5\) и \(u_2 = -3\).
За всяка стойност на \(u\) решаваме нова, по-проста система:
- При \(u=5\), решаваме \( \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \), което дава решения \((2; 3)\) и \((3; 2)\).
- При \(u=-3\), решаваме \( \begin{cases} x+y = -3 \\ xy = 6 \end{cases} \), което няма реални решения.
В системата \( \begin{cases} (x-y)^2 + 3(x-y) - 4 = 0 \\ x+y=7 \end{cases} \), положете \(u=x-y\) и намерете стойностите на \(u\).
След полагане първото уравнение става \(u^2 + 3u - 4 = 0\).
Корените са \(u_1 = 1\) и \(u_2 = -4\).
Корените са \(u_1 = 1\) и \(u_2 = -4\).
Когато в уравнение имаме дроб и нейната реципрочна (обърната) стойност, полагането свежда уравнението до квадратно.
В системата \( \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} \)
Стъпка 1: Полагаме \(u = \frac{x}{y}\). Тогава \(\frac{y}{x} = \frac{1}{u}\).
Стъпка 2: Първото уравнение става \(u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}\). След привеждане под общ знаменател получаваме \(2u^2 - 5u + 2 = 0\), чиито корени са \(u_1 = 2\) и \(u_2 = \frac{1}{2}\).
Стъпка 3: Решаваме две системи:
Стъпка 1: Полагаме \(u = \frac{x}{y}\). Тогава \(\frac{y}{x} = \frac{1}{u}\).
Стъпка 2: Първото уравнение става \(u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}\). След привеждане под общ знаменател получаваме \(2u^2 - 5u + 2 = 0\), чиито корени са \(u_1 = 2\) и \(u_2 = \frac{1}{2}\).
Стъпка 3: Решаваме две системи:
- При \(u=2 \implies \frac{x}{y}=2 \implies x=2y\). Заместваме във второто уравнение и намираме решения.
- При \(u=\frac{1}{2} \implies \frac{x}{y}=\frac{1}{2} \implies y=2x\). Заместваме и решаваме.
Опростете първото уравнение на системата \( \begin{cases} \frac{2x+y}{x-y} + \frac{x-y}{2x+y} = 2 \\ x+y=1 \end{cases} \) чрез полагане.
Полагаме \(u = \frac{2x+y}{x-y}\). Уравнението става \(u + \frac{1}{u} = 2\).
Това се свежда до \((u-1)^2 = 0\), откъдето \(u=1\).
Следователно \(\frac{2x+y}{x-y} = 1 \implies 2x+y = x-y \implies x = -2y\).
Това се свежда до \((u-1)^2 = 0\), откъдето \(u=1\).
Следователно \(\frac{2x+y}{x-y} = 1 \implies 2x+y = x-y \implies x = -2y\).
Ако в системата се повтарят два различни сложни израза, можем да положим всеки от тях с нова променлива. Така получаваме по-проста система (често линейна) за новите променливи.
Дадена е системата: \( \begin{cases} \frac{2}{x+y} + \frac{4}{2x-y} = 5 \\ \frac{4}{x+y} - \frac{2}{2x-y} = 2 \end{cases} \)
Стъпка 1: Полагаме \(u = \frac{2}{x+y}\) и \(v = \frac{2}{2x-y}\).
Стъпка 2: Системата се преобразува в линейна система за \(u\) и \(v\): \[ \begin{cases} u + 2v = 5 \\ 2u - v = 2 \end{cases} \] Решенията на тази система са \(u= \frac{9}{5}\) и \(v=\frac{8}{5}\).
Стъпка 3: Връщаме се към \(x\) и \(y\) чрез нова система: \[ \begin{cases} \frac{2}{x+y} = \frac{9}{5} \\ \frac{2}{2x-y} = \frac{8}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} x+y = \frac{10}{9} \\ 2x-y = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \end{cases} \] Решаването на тази система дава стойностите за \(x\) и \(y\).
Стъпка 1: Полагаме \(u = \frac{2}{x+y}\) и \(v = \frac{2}{2x-y}\).
Стъпка 2: Системата се преобразува в линейна система за \(u\) и \(v\): \[ \begin{cases} u + 2v = 5 \\ 2u - v = 2 \end{cases} \] Решенията на тази система са \(u= \frac{9}{5}\) и \(v=\frac{8}{5}\).
Стъпка 3: Връщаме се към \(x\) и \(y\) чрез нова система: \[ \begin{cases} \frac{2}{x+y} = \frac{9}{5} \\ \frac{2}{2x-y} = \frac{8}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} x+y = \frac{10}{9} \\ 2x-y = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \end{cases} \] Решаването на тази система дава стойностите за \(x\) и \(y\).
Какво полагане бихте използвали за системата \( \begin{cases} 3(x+2y) - \frac{2}{x-y} = 4 \\ 2(x+2y) + \frac{1}{x-y} = 5 \end{cases} \)?
Подходящо е да се положи \(u = x+2y\) и \(v = \frac{1}{x-y}\). Системата става:
\[ \begin{cases} 3u - 2v = 4 \\ 2u + v = 5 \end{cases} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Решете системата, като използвате подходящо полагане:
\[ \begin{cases} (x+y)^2 - 4(x+y) + 3 = 0 \\ x-y = 3 \end{cases} \]
Полагаме \(u = x+y\). Първото уравнение става \(u^2 - 4u + 3 = 0\), с корени \(u_1=1, u_2=3\).
Случай 1: \(x+y=1\) и \(x-y=3\). Събираме двете уравнения и получаваме \(2x=4 \implies x=2, y=-1\). Решение \((2; -1)\).
Случай 2: \(x+y=3\) и \(x-y=3\). Събираме ги и получаваме \(2x=6 \implies x=3, y=0\). Решение \((3; 0)\).
Отговор: \((2; -1)\) и \((3; 0)\).
Случай 1: \(x+y=1\) и \(x-y=3\). Събираме двете уравнения и получаваме \(2x=4 \implies x=2, y=-1\). Решение \((2; -1)\).
Случай 2: \(x+y=3\) и \(x-y=3\). Събираме ги и получаваме \(2x=6 \implies x=3, y=0\). Решение \((3; 0)\).
Отговор: \((2; -1)\) и \((3; 0)\).
Средна: Решете системата:
\[ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ xy = 3 \end{cases} \]
Полагаме \(u = \frac{x}{y}\). Първото уравнение е \(u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3}\).
Преобразуваме до \(3u^2 - 10u + 3 = 0\), с корени \(u_1=3, u_2=\frac{1}{3}\).
Случай 1: \(\frac{x}{y}=3 \implies x=3y\). Заместваме във второто уравнение: \((3y)y=3 \implies 3y^2=3 \implies y^2=1\). Получаваме \(y_1=1, x_1=3\) и \(y_2=-1, x_2=-3\). Решения \((3; 1)\) и \((-3; -1)\).
Случай 2: \(\frac{x}{y}=\frac{1}{3} \implies y=3x\). Заместваме във второто уравнение: \(x(3x)=3 \implies 3x^2=3 \implies x^2=1\). Получаваме \(x_3=1, y_3=3\) и \(x_4=-1, y_4=-3\). Решения \((1; 3)\) и \((-1; -3)\).
Отговор: \((3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3)\).
Преобразуваме до \(3u^2 - 10u + 3 = 0\), с корени \(u_1=3, u_2=\frac{1}{3}\).
Случай 1: \(\frac{x}{y}=3 \implies x=3y\). Заместваме във второто уравнение: \((3y)y=3 \implies 3y^2=3 \implies y^2=1\). Получаваме \(y_1=1, x_1=3\) и \(y_2=-1, x_2=-3\). Решения \((3; 1)\) и \((-3; -1)\).
Случай 2: \(\frac{x}{y}=\frac{1}{3} \implies y=3x\). Заместваме във второто уравнение: \(x(3x)=3 \implies 3x^2=3 \implies x^2=1\). Получаваме \(x_3=1, y_3=3\) и \(x_4=-1, y_4=-3\). Решения \((1; 3)\) и \((-1; -3)\).
Отговор: \((3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3)\).
Трудна: Решете системата:
\[ \begin{cases} x^2y + xy^2 = 20 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4} \end{cases} \]
Преобразуваме уравненията:
\[ \begin{cases} xy(x+y) = 20 \\ \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{4} \end{cases} \]
Полагаме \(u=xy\) и \(v=x+y\). Системата става:
\[ \begin{cases} uv = 20 \\ \frac{v}{u} = \frac{5}{4} \end{cases} \]
От второто уравнение изразяваме \(v = \frac{5u}{4}\) и заместваме в първото:
\(u \cdot \frac{5u}{4} = 20 \implies 5u^2 = 80 \implies u^2 = 16 \implies u = \pm 4\).
Случай 1: \(u=4 \implies v = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5\). Решаваме \(\begin{cases} xy=4 \\ x+y=5 \end{cases}\). Решенията са \((1; 4)\) и \((4; 1)\).
Случай 2: \(u=-4 \implies v = \frac{5 \cdot (-4)}{4} = -5\). Решаваме \(\begin{cases} xy=-4 \\ x+y=-5 \end{cases}\). Решенията са \((-1; -4)\) и \((-4; -1)\).
Отговор: \((1; 4), (4; 1), (-1; -4), (-4; -1)\).
\(u \cdot \frac{5u}{4} = 20 \implies 5u^2 = 80 \implies u^2 = 16 \implies u = \pm 4\).
Случай 1: \(u=4 \implies v = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5\). Решаваме \(\begin{cases} xy=4 \\ x+y=5 \end{cases}\). Решенията са \((1; 4)\) и \((4; 1)\).
Случай 2: \(u=-4 \implies v = \frac{5 \cdot (-4)}{4} = -5\). Решаваме \(\begin{cases} xy=-4 \\ x+y=-5 \end{cases}\). Решенията са \((-1; -4)\) и \((-4; -1)\).
Отговор: \((1; 4), (4; 1), (-1; -4), (-4; -1)\).
