93. Намиране На Елементи На Равнобедрен И На Правоъгълен Трапец Упражнение

Начертай равнобедрен трапец ABCD. Разположи точка A долу вляво, точка B долу вдясно, точка C горе вдясно и точка D горе вляво, така че AB е по-голямата основа, а CD е по-малката. Отбележи дължината на бедрото BC като 6 cm. Начертай диагонала AC. Маркирай ъгъла между диагонала AC и основата AB като ∠BAC = 30°. Маркирай ъгъла между диагонала AC и бедрото AD като ∠CAD = 15°. Отбележи, че общият ъгъл при върха A е ∠DAB = 45° и, тъй като трапецът е равнобедрен, ъгълът при върха B е ∠ABC = 45°. Начертай височината CH от върха C към основата AB, като точка H лежи на отсечката AB. Отбележи правия ъгъл при точка H (∠CHB = 90°).

Стъпка 1: Намиране на ъглите при основата на трапеца

От даденото условие имаме равенството: \[ \angle BAC = 2\angle CAD = 30^\circ \] От него можем да определим големините на двата ъгъла: \[ \angle BAC = 30^\circ \] \[ 2\angle CAD = 30^\circ \Rightarrow \angle CAD = 15^\circ \] Целият ъгъл при върха \( A \) на трапеца е сборът от тези два ъгъла: \[ \angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ \] Тъй като по условие трапецът \( ABCD \) е равнобедрен, ъглите при голямата му основа са равни: \[ \angle ABC = \angle DAB = 45^\circ \]

Стъпка 2: Намиране на височината на трапеца

Построяваме височината \( CH \perp AB \) (\( H \in AB \)). Разглеждаме правоъгълния \( \triangle HBC \) (\( \angle CHB = 90^\circ \)). Знаем дължината на хипотенузата \( BC = 6 \) cm и ъгъла \( \angle HBC = 45^\circ \). Използваме тригонометричната функция синус, която е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата: \[ \sin 45^\circ = \frac{CH}{BC} \] Заместваме известните стойности и изразяваме височината \( CH \): \[ CH = BC \cdot \sin 45^\circ = \cancel{6}^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}_1} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \]

Стъпка 3: Намиране на диагонала на трапеца

Разглеждаме правоъгълния \( \triangle AHC \) (\( \angle CHA = 90^\circ \)). За него вече знаем катета \( CH = 3\sqrt{2} \) cm и ъгъла \( \angle HAC = \angle BAC = 30^\circ \). Отново прилагаме функцията синус за ъгъл \( 30^\circ \): \[ \sin 30^\circ = \frac{CH}{AC} \] Изразяваме търсения диагонал \( AC \) и заместваме стойностите: \[ AC = \frac{CH}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot 2 = 6\sqrt{2} \text{ cm} \] В равнобедрения трапец диагоналите са равни, следователно диагоналът е \( 6\sqrt{2} \) cm.

\( \angle BAC = 30^\circ \) и \( \angle CAD = 15^\circ \Rightarrow \angle A = 45^\circ \). За равнобедрен трапец \( \angle B = \angle A = 45^\circ \). Построяваме височина \( CH \perp AB \). В \( \triangle HBC \): \( CH = BC \cdot \sin 45^\circ = \cancel{6}^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}_1} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \). В \( \triangle AHC \): \( AC = \frac{CH}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).